Quiz nature des séries à termes positifs en L2

Quiz nature des séries à termes positifs en L2 de maths

Dix questions courtes pour décider en quelques secondes si une série positive converge, calculer une somme simple et estimer un reste ou une somme partielle.

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz express entraîne les réflexes de base sur les séries à termes positifs. Tu y reconnais une divergence grossière, tu calcules la somme d'une série géométrique et d'une série télescopique, tu compares aux séries de Riemann et de Bertrand, tu appliques la règle de d'Alembert et tu utilises la comparaison avec une intégrale pour estimer la vitesse de croissance des sommes partielles, ou celle de décroissance des restes.

Lance-le juste avant un TD de deuxième année ou un partiel d'analyse : il ne faut qu'une ligne de calcul par question. Si une réponse te surprend, vérifie d'abord le signe du terme général, puisque toutes les règles de comparaison supposent ce signe fixé au-delà d'un indice donné. Pour aller plus loin, reprends chaque question en rédigeant la justification complète, comme on l'attend dans une copie d'examen.

Aller plus loin sur nature des séries à termes positifs

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Questions fréquentes : nature des séries à termes positifs en L2

Un terme général qui tend vers 0 suffit-il pour la convergence ?

Non. Le terme \(1/n\) tend vers 0 alors que la série harmonique diverge. La limite nulle est seulement une condition nécessaire.

Dans quel cas le critère du quotient reste-t-il muet ?

Lorsque le rapport \(u_{n+1}/u_n\) tend vers 1. C'est le cas de toutes les séries de Riemann, convergentes ou non, donc il faut alors une autre méthode.

Pourquoi exige-t-on des termes positifs pour comparer par équivalents ?

Le résultat repose sur la croissance des sommes partielles. Avec des signes variables, deux termes équivalents peuvent donner une série convergente et une série divergente.

Quiz nature des séries à termes positifs en L2 de maths

Nature de \(\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n\sqrt{n}}\) ?

Nature de \(\sum_{n \geq 2} \dfrac{1}{\sqrt{n}\, \ln n}\) ?

\(\sum \dfrac{1}{n (\ln n)^{\beta}}\) converge si et seulement si :

Que vaut \(\sum_{n \geq 0} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n\) ?

Que vaut \(\sum_{n \geq 1} \dfrac{2}{n(n+2)}\) ?

Pourquoi \(\sum \dfrac{n}{n+3}\) diverge-t-elle ?

\(u_n = \dfrac{n^2}{3^n}\). Limite de \(u_{n+1}/u_n\) ?

Pour conclure avec \(u_n \sim v_n\), hypothèse indispensable :

Équivalent de \(\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}\) quand \(n \to +\infty\) ?

Équivalent du reste \(\sum_{k > n} \dfrac{1}{k^2}\) ?

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

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Questions fréquentes : nature des séries à termes positifs en L2