Quiz convergence fine des séries en L2

Quiz convergence fine des séries en L2 de maths

Dix questions éclair pour trier convergence absolue et semi-convergence, majorer un reste alterné et reconnaître quand Abel ou Cauchy prennent le relais.

Pour \( \sum_{n\ge1} \dfrac{\cos(n\theta)}{n} \), avec \( \theta \) non multiple de \( 2\pi \), quelle méthode conclut ?

A.Comparaison avec la série harmoniqueB.Abel, car les sommes de cosinus sont bornéesC.Critère des séries alternéesD.Convergence absolue

En réordonnant les termes d'une série semi-convergente, on peut :

A.seulement retrouver la même sommeB.la rendre absolument convergenteC.changer la valeur de la sommeD.seulement obtenir une série divergente

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz express travaille les réflexes sur les séries non positives : distinguer semi-convergence et convergence absolue, vérifier les hypothèses du critère des séries alternées, donner le signe et un majorant du reste, et repérer le piège des équivalents quand le signe change. Tu croises aussi la transformation d'Abel, le produit de Cauchy, la complétude de \( \mathbb{R} \) et les séries complexes.

Utilise-le avant une colle ou un TD sur les séries : vise un score parfait rapidement, puis lis la correction de chaque erreur pour retrouver l'argument manquant. Avant un partiel, rédige ensuite une preuve complète de semi-convergence en citant chaque hypothèse, et entraîne-toi à majorer le reste afin d'encadrer la somme à un nombre de décimales fixé, exercice classique des épreuves écrites.

Aller plus loin sur convergence fine des séries

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Questions fréquentes : convergence fine des séries en L2

Un équivalent suffit-il pour conclure sur une série dont le signe alterne ?

Non : la règle des équivalents exige un terme général de signe fixe à partir d'un rang. On écrit plutôt un développement limité du terme général, puis on traite séparément chaque morceau obtenu.

Quand faut-il penser à la transformation d'Abel ?

Quand le terme général est un produit d'une suite décroissante vers zéro par une suite dont les sommes partielles restent bornées, typiquement un cosinus ou une exponentielle complexe.

Multiplier deux séries convergentes donne-t-il forcément une série qui converge ?

Pas forcément. Le théorème du cours demande la convergence absolue des deux facteurs ; si l'une est seulement semi-convergente, le produit au sens de Cauchy peut diverger.

Quiz convergence fine des séries en L2 de maths

La série \( \sum_{n\ge1} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}} \) est :

Pour \( \sum_{k\ge1} \dfrac{(-1)^k}{k^2} \), le critère des séries alternées majore \( |R_4| \) par :

\( \sum (-1)^n a_n \) converge si \( a_n\to0 \) et si de plus :

Sous le critère des séries alternées, le reste \( R_n=\sum_{k>n}(-1)^k a_k \) a le signe de :

Si on effectue le produit de Cauchy de \( \sum_{n\ge0} 2^{-n} \) avec elle-même, on obtient le terme :

Par complétude de \( \mathbb{R} \), toute suite réelle de Cauchy est :