QCM : Séries alternées et semi-convergence en L2 de maths

Réponse C.

Deux approximations décimales de \(\sqrt{2}\) d’ordres \(p\) et \(q\), avec \(p\leqslant q\), diffèrent d’au plus \(10^{-p}\) : la suite est donc de Cauchy. Sa limite réelle \(\sqrt{2}\) est irrationnelle, si bien qu’elle ne converge pas dans \(\mathbb{Q}\). Ainsi, \(\mathbb{Q}\) n’est pas complet. La suite \((1/n)\) est bien de Cauchy, mais elle converge vers 0, qui est rationnel. Les deux autres ne sont pas de Cauchy.

Réponse A.

Dans \(\mathbb{R}\), qui est complet, être de Cauchy équivaut à converger ; appliqué à \((S_n)\), cela donne le critère de Cauchy des séries. La condition à \(p\) fixé est plus faible : pour la série harmonique, \(S_{n+p}-S_n\leqslant\frac{p}{n+1}\) tend vers 0 à \(p\) fixé, et pourtant elle diverge. En effet, l’écart \(q-p\) doit pouvoir dépendre de \(n\).

Réponse A.

Pour tout \(n\), la valeur absolue du terme est au plus \(n^{-3/2}\). Or l’exposant \(\frac{3}{2}\) dépasse 1, donc la série de Riemann associée converge. Par comparaison, la série converge absolument, donc elle converge. Le piège du critère des séries alternées échoue, car le signe de \(\cos(2n)\) ne change pas à chaque rang. De plus, semi-convergente signifierait que la série des valeurs absolues diverge.

Réponse C.

La suite \(n^{-1/3}\) décroît vers 0 ; les séries alternées donnent donc la convergence. Cependant, l’exposant \(\frac{1}{3}\) est inférieur à 1, si bien que la série des valeurs absolues diverge. La série en \(n^{-3/2}\) converge absolument. Celle en \(\frac{n}{n+1}\) diverge grossièrement, puisque son terme ne tend pas vers 0. Enfin, la série harmonique diverge.

Réponse D.

La décroissance rend les suites \((S_{2n})\) et \((S_{2n+1})\) adjacentes, à condition que leur écart \(a_{2n+1}\) tende vers 0. Sans la limite nulle, la série diverge grossièrement : c’est le cas de \(a_n=1+\frac{1}{n}\). Le piège sans monotonie est plus subtil. En effet, avec \(a_n\) positive de limite nulle mais non décroissante, la série peut diverger, comme le montre la septième question.

Réponse B.

Pour une série alternée vérifiant le critère, le reste ne dépasse pas, en valeur absolue, le premier terme négligé : \(|R_n|\leqslant\frac{1}{(n+1)^3}\). Il suffit donc que \((n+1)^3\geqslant 1000\), soit \(n+1\geqslant 10\). Le piège \(n=10\) majore le reste par \(\frac{1}{n^3}\), ce qui décale d’un rang. Quant à 999, il oublie la puissance 3.

Réponse C.

On décompose \(\sum u_n\) : la partie alternée converge, tandis que la moitié de la série harmonique diverge. Par conséquent, la série diverge. La comparaison par équivalents exige des termes de signe fixe : c’est le piège principal. De même, le critère des séries alternées ne s’applique pas, car \(|u_n|\) n’est pas décroissante, bien qu’elle tende vers 0.

Réponse D.

Comme \(e^{2i}\neq 1\), les sommes partielles de \(\sum e^{2ik}\) restent bornées. La transformation d’Abel, analogue discret de l’intégration par parties, conclut alors avec la suite \(\frac{1}{n}\), décroissante et de limite nulle. En revanche, le module du terme vaut \(\frac{1}{n}\), donc la convergence n’est pas absolue. De plus, les signes de \(\cos(2n)\) n’alternent pas régulièrement.

Réponse B.

La somme géométrique vaut \(\frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}}\). Son numérateur est de module au plus 2, et \(|1-e^{i\theta}|=2|\sin\frac{\theta}{2}|\) grâce à l’angle moitié. On obtient donc une borne indépendante de \(n\). Le piège \(n+1\) est vrai, mais inutile, car il n’est pas borné. Quant à \(1/|\sin\theta|\), il explose aussi en \(\theta=\pi\).

Réponse B.

Par définition, \(c_n=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^{n-k}}{k!\,(n-k)!}=\frac{(1-1)^n}{n!}\), grâce à la formule du binôme. Donc \(c_n=0\) dès que \(n\geqslant 1\). Ce résultat est cohérent, puisque les deux séries convergent absolument vers \(e\) et \(e^{-1}\), dont le produit vaut 1. Le piège en \((n!)^2\) multiplie terme à terme. Quant à \(\frac{2^n}{n!}\), il oublie les signes.

Réponse D.

Ici, \(|c_n|=\sum_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\). Or, par l’inégalité arithmético-géométrique, chaque produit \((k+1)(n+1-k)\) est au plus \(\left(\frac{n}{2}+1\right)^2\), donc \(|c_n|\geqslant\frac{2(n+1)}{n+2}\geqslant 1\). Ainsi, la série diverge grossièrement. Conclure à une convergence vers le carré de la somme applique le théorème du produit de Cauchy sans son hypothèse : il faut qu’au moins une des deux séries converge absolument.

Réponse A.

On regroupe par paquets de trois termes, ce qui est permis car les termes tendent vers 0 et les paquets ont une taille fixe. Le paquet de rang \(k\) vaut \(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)\). On retrouve donc la moitié de la série initiale. Le piège \(\ln 2\) oublie qu’une série semi-convergente peut changer de somme par réarrangement.