Séries alternées et semi-convergence en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Trois tests de convergence absolue

On considère les séries de termes généraux suivants, pour \(n \geqslant 1\) :

\[u_n = \frac{\sin(n^2)}{n^{3/2}}, \qquad v_n = \frac{(1+i)^n}{n \, 2^n}, \qquad w_n = \frac{(-1)^n \, n}{n^2 + 3}.\]

1. Montrer que \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) convergent absolument.
2. Montrer que \(\sum w_n\) ne converge pas absolument.
3. Étudier les variations de \(x \mapsto \dfrac{x}{x^2+3}\) sur \([0, +\infty[\). Comparer \(|w_1|\) et \(|w_2|\), puis montrer que \(\sum w_n\) est semi-convergente.

Exercice 2 – Le critère de Cauchy pour prouver une divergence

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(S_n = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{2k+1}\).

1. Montrer que, pour tout \(n \geqslant 1\), \(S_{2n} – S_n \geqslant \dfrac{n}{4n+1} \geqslant \dfrac{1}{5}\).
2. En déduire, à l’aide du critère de Cauchy, que la série \(\sum \frac{1}{2k+1}\) diverge.
3. Prouver de la même façon la divergence de \(\sum_{k \geqslant 0} \dfrac{2 + \cos k}{2k+1}\).

Exercice 3 – Une suite de Cauchy sans limite explicite

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\cos(2k)}{k(k+2)}\).

1. Trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\dfrac{1}{k(k+2)} = \dfrac{\alpha}{k} + \dfrac{\beta}{k+2}\) pour tout \(k \geqslant 1\).
2. Montrer que, pour tous entiers \(p > n \geqslant 1\), \(|u_p – u_n| \leqslant \dfrac{1}{n+1}\).
3. En déduire que \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\), et que \(|\ell – u_n| \leqslant \dfrac{1}{n+1}\).
4. Donner un rang \(n\) pour lequel \(u_n\) approche \(\ell\) à \(10^{-3}\) près.

Exercice 4 – Une série alternée en ln(n)/n

On étudie la série \(\sum_{n \geqslant 3} (-1)^n \dfrac{\ln n}{n}\).

1. Étudier les variations de \(f : x \mapsto \dfrac{\ln x}{x}\) sur \([1, +\infty[\).
2. Montrer que la série converge.
3. Montrer qu’elle ne converge pas absolument.
4. Préciser le signe du reste \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k \frac{\ln k}{k}\) pour \(n \geqslant 3\).

Exercice 5 – Valeur approchée à un millième près

On note \(S = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n \sqrt{n}}\) et \(S_N\) la somme partielle d’ordre \(N\).

1. Justifier que la série converge, de deux façons différentes.
2. Déterminer le plus petit entier \(N\) tel que le critère spécial garantisse \(|S – S_N| \leqslant 10^{-3}\).
3. Pour cette valeur de \(N\), dire si \(S_N\) est une valeur approchée par excès ou par défaut, et écrire l’encadrement de \(S\) obtenu.

Exercice 6 – Produit de deux séries géométriques de raisons opposées

On considère \(a_n = \dfrac{1}{2^n}\) et \(b_n = \dfrac{(-1)^n}{2^n}\) pour \(n \geqslant 0\).

1. Calculer les sommes \(A = \sum a_n\) et \(B = \sum b_n\).
2. Calculer le terme \(c_n\) du produit de Cauchy des deux séries, en distinguant selon la parité de \(n\).
3. Calculer directement \(\sum c_n\) et vérifier que l’on retrouve \(AB\). Quel théorème justifiait ce résultat à l’avance ?

Pour s’entraîner

Exercice 7 – La série complexe de terme i^n/n

On étudie la série complexe \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{i^n}{n}\).

1. Montrer qu’elle ne converge pas absolument.
2. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de \(\dfrac{i^n}{n}\), en distinguant \(n = 2m\) et \(n = 2m + 1\).
3. Montrer que la série converge.
4. On admet que \(\sum_{m=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{m+1}}{m} = \ln 2\) et \(\sum_{m=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^m}{2m+1} = \dfrac{\pi}{4}\). Calculer la somme de la série.

Exercice 8 – Une famille de séries alternées perturbées

Soit \(\alpha > 0\). Pour \(n \geqslant 2\), on pose \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha} – (-1)^n}\).

1. Vérifier que \(u_n\) est bien défini et que \(u_n \to 0\).
2. Établir l’identité \(u_n – \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}} = \dfrac{1}{n^{\alpha} \big( n^{\alpha} – (-1)^n \big)}\).
3. Déterminer, selon \(\alpha\), la nature de \(\sum u_n\).
4. Pour quelles valeurs de \(\alpha\) la série est-elle semi-convergente ?

Exercice 9 – Sinus et logarithme : Abel en action

On étudie la série \(\sum_{n \geqslant 2} \dfrac{\sin n}{\ln n}\).

1. Montrer que, pour tous \(2 \leqslant p \leqslant q\), \(\left| \sum_{k=p}^{q} \sin k \right| \leqslant \dfrac{1}{\sin(1/2)}\).
2. Montrer que la série converge.
3. Montrer que \(|\sin n| \geqslant \dfrac{1 – \cos(2n)}{2}\), puis que la série ne converge pas absolument.

La figure compare les sommes partielles de la série et celles de la série des valeurs absolues, réduites d’un facteur 20.

Exercice 10 – La série de terme z^n/n sur le cercle unité

Pour \(z \in \mathbb{C}\), on considère la série \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{z^n}{n}\).

1. Étudier le cas \(|z| < 1\), puis le cas \(|z| > 1\).
2. On suppose \(|z| = 1\) et \(z \neq 1\). Montrer que la série converge, mais pas absolument.
3. Que se passe-t-il pour \(z = 1\) ? Décrire l’ensemble des \(z\) pour lesquels la série converge.
4. En déduire que, pour \(\theta \in \, ]0, 2\pi[\), les séries \(\sum \frac{\cos(n\theta)}{n}\) et \(\sum \frac{\sin(n\theta)}{n}\) convergent.

Exercice 11 – Produits de séries géométriques de raisons différentes

Soient \(x\) et \(y\) deux réels de \(]-1, 1[\).

1. On suppose \(x \neq y\). Montrer que le produit de Cauchy de \(\sum x^n\) et \(\sum y^n\) a pour terme \(c_n = \dfrac{x^{n+1} – y^{n+1}}{x – y}\).
2. En déduire la valeur de \(\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{3^{n+1} – 2^{n+1}}{6^n}\).
3. Élever au carré la série géométrique de raison \(1/4\) pour obtenir la somme de \(\sum_{n \geqslant 0} \dfrac{n+1}{4^n}\).
4. Multiplier encore le résultat par la même série géométrique pour obtenir la somme de \(\sum_{n \geqslant 0} \dfrac{(n+1)(n+2)}{4^n}\).

Exercice 12 – Un produit de Cauchy qui diverge

Soit \(\alpha \in \, ]0, 1/2]\). On pose \(a_n = b_n = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)^{\alpha}}\) pour \(n \geqslant 0\), et l’on note \(\sum c_n\) le produit de Cauchy de \(\sum a_n\) par \(\sum b_n\).

1. Montrer que \(\sum a_n\) converge.
2. Montrer que \(c_n = (-1)^n \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{\big( (k+1)(n-k+1) \big)^{\alpha}}\).
3. Montrer que \((k+1)(n-k+1) \leqslant \left( \dfrac{n+2}{2} \right)^2\) pour \(0 \leqslant k \leqslant n\).
4. En déduire que \(|c_n| \geqslant \dfrac{2(n+1)}{n+2}\), puis que \(\sum c_n\) diverge.
5. Expliquer pourquoi ce résultat ne contredit pas le théorème du cours.

Exercice 13 – Regroupement par paquets de trois

On définit la suite \((u_n)\) par blocs de trois termes : pour tout \(k \in \mathbb{N}\),

\[u_{3k} = \frac{1}{k+1}, \qquad u_{3k+1} = u_{3k+2} = -\frac{1}{2(k+1)}.\]

1. Calculer \(v_k = u_{3k} + u_{3k+1} + u_{3k+2}\).
2. Montrer que la série \(\sum u_n\) converge et donner sa somme.
3. La série converge-t-elle absolument ?
4. Le critère spécial des séries alternées permettait-il de conclure ?

La figure montre les sommes partielles : elles retombent à zéro à la fin de chaque paquet.

Exercice 14 – Produit de Cauchy et coefficients binomiaux

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(E(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}\).

1. Justifier que cette série converge absolument pour tout réel \(x\).
2. Calculer le terme général du produit de Cauchy de \(\sum \frac{x^n}{n!}\) et de \(\sum \frac{y^n}{n!}\). En déduire que \(E(x) E(y) = E(x+y)\).
3. Calculer directement le produit de Cauchy de \(\sum \frac{1}{n!}\) et de \(\sum \frac{(-1)^n}{n!}\), puis la valeur de \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\) en fonction de \(e = E(1)\).
4. Montrer que \(E(x)\) ne s’annule jamais.

Exercice 15 – Encadrer une somme alternée de carrés impairs

On note \(G = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\) et \(S_N\) ses sommes partielles.

1. Montrer que la série converge absolument et vérifie les hypothèses du critère spécial.
2. Calculer \(S_2\) et \(S_3\) sous forme de fractions, puis montrer que \(0{,}908 \leqslant G \leqslant 0{,}929\).
3. Déterminer le plus petit \(N\) qui garantit \(|G – S_N| \leqslant 10^{-4}\) par le critère spécial.
4. Pour ce rang, \(S_N\) est-elle une valeur approchée par excès ou par défaut ?

Pour approfondir

Exercice 16 – Équivalent du reste d’une série alternée

On pose \(a_k = \dfrac{1}{\sqrt{k}}\) pour \(k \geqslant 1\), et \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k a_k\) pour \(n \geqslant 0\).

1. Justifier l’existence de \(R_n\). Montrer que \(R_n = (-1)^{n+1} \rho_n\), où \(\rho_n = \sum_{j=0}^{+\infty} (-1)^j a_{n+1+j} \geqslant 0\).
2. Montrer que \(\rho_n + \rho_{n+1} = a_{n+1}\).
3. On pose \(d_k = a_k – a_{k+1}\). Montrer que \(d_k = \dfrac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}\,(\sqrt{k} + \sqrt{k+1})}\), puis que \((d_k)\) décroît vers \(0\).
4. En déduire que \((\rho_n)\) est décroissante.
5. Montrer que \(\dfrac{a_{n+1}}{2} \leqslant \rho_n \leqslant \dfrac{a_n}{2}\) pour \(n \geqslant 1\), puis que \(R_n \sim \dfrac{(-1)^{n+1}}{2\sqrt{n}}\).

Exercice 17 – La règle d’Abel générale

Soient \((a_n)\) une suite réelle monotone et bornée, et \(\sum b_n\) une série complexe convergente.

1. Justifier que \((a_n)\) converge vers un réel \(\ell\) et que les sommes partielles de \(\sum b_n\) sont bornées.
2. On suppose \((a_n)\) décroissante. Montrer que \(\sum a_n b_n\) converge, en écrivant \(a_n b_n = (a_n – \ell) b_n + \ell \, b_n\).
3. Traiter le cas où \((a_n)\) est croissante.
4. Application : montrer que \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{n} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n\) est semi-convergente. On admettra que \(\left( (1 + 1/n)^n \right)\) est croissante de limite \(e\).
5. Montrer que l’hypothèse de monotonie ne peut pas être supprimée, avec \(a_n = 1 + \dfrac{(-1)^n}{\ln n}\) et \(b_n = \dfrac{(-1)^n}{\ln n}\) pour \(n \geqslant 2\).

Exercice 18 – Problème – Réarranger la série harmonique alternée

On rappelle que \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2\) et que \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + \varepsilon_n\), avec \(\varepsilon_n \to 0\). Soient \(p\) et \(q\) deux entiers naturels non nuls. On réarrange la série ainsi : on prend les \(p\) premiers inverses d’entiers impairs avec le signe plus, puis les \(q\) premiers inverses d’entiers pairs avec le signe moins, puis les \(p\) impairs suivants, puis les \(q\) pairs suivants, et ainsi de suite. On note \(T_n\) la somme des \(n\) premiers termes de la série obtenue.

1. Montrer que, pour tout \(N \geqslant 1\), \(\sum_{j=1}^{N} \dfrac{1}{2j-1} = H_{2N} – \dfrac{1}{2} H_N\).
2. Exprimer \(T_{m(p+q)}\) à l’aide de \(H_{2pm}\), \(H_{pm}\) et \(H_{qm}\).
3. En déduire que \(T_{m(p+q)} \to \ln 2 + \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{p}{q}\) quand \(m \to +\infty\).
4. Montrer que la série réarrangée converge, et donner sa somme.
5. Calculer la somme pour \((p, q) = (1, 1)\), \((2, 1)\) et \((1, 3)\).
6. Trouver un couple \((p, q)\) pour lequel la série réarrangée a une somme nulle.
7. Expliquer pourquoi ces résultats ne contredisent pas le théorème sur les séries absolument convergentes.

Pour aller plus loin

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