Lemme des noyaux et trigonalisation : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « lemme des noyaux et trigonalisation », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente évalue le chapitre des polynômes d’endomorphismes, traité au semestre 3 de L2 après la diagonalisation. Vous commencerez par démontrer le lemme des noyaux pour deux facteurs, puis vous l’appliquerez à un cas simple. Ensuite, trois matrices vous feront chercher un polynôme minimal et relier ses racines à la diagonalisabilité. Le troisième exercice demande de trigonaliser une matrice non diagonalisable, puis d’utiliser le théorème de Cayley-Hamilton pour obtenir son inverse. Enfin, le problème étudie un endomorphisme de l’espace des matrices carrées d’ordre 3, ses projecteurs associés et ses puissances. La forme de Jordan n’est pas au programme de ce sujet.
Ce qu’évalue le contrôle : lemme des noyaux et trigonalisation
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Polynômes annulateurs et trigonalisation (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer le lemme des noyaux pour deux polynômes premiers entre eux à l’aide d’une relation de Bézout
- Déterminer le polynôme minimal d’une matrice et en déduire si elle est diagonalisable
- Trigonaliser une matrice 3×3 en construisant explicitement la matrice de passage
- Calculer l’inverse et les puissances d’une matrice ou d’un endomorphisme grâce à un polynôme annulateur
Avant de commencer le devoir
Rédigez d’abord la question de cours avec soin, car la même relation de Bézout resservira dans le problème. Pour un polynôme minimal, cherchez un polynôme annulateur de petit degré, puis testez ses diviseurs un par un. Lors de la trigonalisation, choisissez le deuxième vecteur de base comme solution de (A − I3)X = v1, ainsi le bloc triangulaire apparaît directement. Enfin, vérifiez toujours votre inverse en calculant le produit avec la matrice de départ.
Le sujet du contrôle : lemme des noyaux et trigonalisation
Exercice 1 – Question de cours : le lemme des noyaux (4 points)
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, \(u \in \mathcal{L}(E)\) et \(P, Q \in \mathbb{K}[X]\) deux polynômes premiers entre eux. D’après le théorème de Bézout, il existe donc \(A, B \in \mathbb{K}[X]\) tels que \(AP + BQ = 1\). Le schéma résume la décomposition attendue.
- Montrer que \(\mathrm{Ker}\,P(u) \cap \mathrm{Ker}\,Q(u) = \{0\}\).
- Prouver ensuite que \(\mathrm{Ker}\,(PQ)(u) = \mathrm{Ker}\,P(u) \oplus \mathrm{Ker}\,Q(u)\), en écrivant tout vecteur \(x\) du premier espace sous la forme \(x = (AP)(u)(x) + (BQ)(u)(x)\).
- Application : on suppose que \(u \circ u = 3u\). En déduire que \(E = \mathrm{Ker}\,u \oplus \mathrm{Ker}\,(u – 3\,\mathrm{id})\), puis exprimer le projecteur sur \(\mathrm{Ker}\,(u – 3\,\mathrm{id})\) parallèlement à \(\mathrm{Ker}\,u\) comme un polynôme en \(u\).
Exercice 2 – Trois polynômes minimaux (4 points)
On considère les trois matrices réelles suivantes :
\[D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\]
- Déterminer le polynôme minimal de \(D\).
- Donner le polynôme caractéristique de \(T\), puis calculer \((T – 3I_3)(T + I_3)\). Quel est alors le polynôme minimal de \(T\) ?
- Calculer \(N^2\) et \(N^3\), puis en déduire le polynôme minimal de \(N\).
- Lesquelles de ces trois matrices sont diagonalisables ? Justifier chaque réponse par le critère portant sur le polynôme minimal.
Exercice 3 – Trigonaliser une matrice 3×3 (6 points)
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\). La figure trace la courbe de son polynôme caractéristique \(\chi_A(x) = \det(xI_3 – A)\).
- Calculer \(\chi_A\) et vérifier que \(\chi_A = (X – 1)^2(X – 2)\), comme le suggère la figure.
- Déterminer les sous-espaces propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
- On pose \(v_1 = (1, 1, 0)\) et \(v_3 = (1, 1, 1)\). Trouver \(v_2\) de la forme \((0, b, c)\) tel que \(Av_2 = v_2 + v_1\). Écrire ensuite la matrice de passage \(P\) de colonnes \(v_1, v_2, v_3\), calculer \(P^{-1}\) et donner \(P^{-1}AP\).
- À l’aide du théorème de Cayley-Hamilton, exprimer \(A^{-1}\) en fonction de \(A^2\), \(A\) et \(I_3\), puis calculer \(A^{-1}\).
- Déterminer le polynôme minimal de \(A\). Que donne alors le lemme des noyaux pour \(\mathbb{R}^3\) ? Préciser une équation de \(\mathrm{Ker}\,(A – I_3)^2\).
Exercice 4 – Problème : un endomorphisme de M3(R) (6 points)
Sur \(E = \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), on définit \(\varphi(M) = 2M – \mathrm{tr}(M)\,I_3\). On note \(\mathcal{H}\) l’hyperplan des matrices de trace nulle. Le schéma, qui n’est pas à l’échelle, représente \(E\) comme la somme de \(\mathcal{H}\) et de la droite \(\mathbb{R}\,I_3\).
- Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(E\). Calculer \(\mathrm{tr}\left(\varphi(M)\right)\), puis vérifier que \(\varphi^2 – \varphi – 2\,\mathrm{id}_E = 0\).
- En déduire le polynôme minimal de \(\varphi\), sa diagonalisabilité, puis ses sous-espaces propres et leurs dimensions.
- Exprimer comme polynômes en \(\varphi\) le projecteur \(p\) sur \(\mathcal{H}\) parallèlement à \(\mathbb{R}\,I_3\) et le projecteur associé \(q = \mathrm{id}_E – p\). Donner aussi \(p(M)\) et \(q(M)\) en fonction de \(M\) et de sa trace.
- Pour \(n \in \mathbb{N}\), établir que \(\varphi^n = \frac{2^n – (-1)^n}{3}\,\varphi + \frac{2^n + 2(-1)^n}{3}\,\mathrm{id}_E\), puis écrire \(\varphi^n(M)\) à l’aide de \(p(M)\) et \(q(M)\).
- Justifier enfin que \(\varphi\) est inversible et donner \(\varphi^{-1}\).
Réviser lemme des noyaux et trigonalisation avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours polynômes annulateurs et trigonalisation ; entraînez-vous sur les exercices polynômes annulateurs et trigonalisation avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L2 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
Télécharger ou imprimer cette fiche «lemme des noyaux et trigonalisation : contrôle de maths en L2» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
