Isométries et matrices symétriques en L2 de maths : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Adjoint pour un produit scalaire pondéré

On munit \(\mathbb{R}^2\) du produit scalaire \(\langle x, y\rangle = x_1 y_1 + 3 x_2 y_2\). Soit \(u\) l’endomorphisme de matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) dans la base canonique.

1. Vérifier que la base canonique est orthogonale mais pas orthonormée pour ce produit.
2. Déterminer la matrice de \(u^{*}\) dans la base canonique.
3. Contrôler le résultat en calculant \(\langle u(x), y\rangle\) et \(\langle x, u^{*}(y)\rangle\) pour \(x, y\) quelconques.
4. L’endomorphisme \(u\) est-il symétrique pour ce produit scalaire ?

Exercice 2 – Une matrice orthogonale de taille 3

Soit

\[M = \frac{1}{15}\begin{pmatrix} 5 & -14 & 2 \\ 10 & 5 & 10 \\ 10 & 2 & -11 \end{pmatrix}.\]

1. Montrer que \(M\) est orthogonale.
2. En déduire \(M^{-1}\) sans calcul d’inverse.
3. Calculer \(\det M\). La matrice \(M\) appartient-elle à \(\mathcal{SO}_3(\mathbb{R})\) ?

Exercice 3 – Rotations et réflexions du plan

Dans \(\mathbb{R}^2\) euclidien usuel, on considère

\[M = \frac{1}{13}\begin{pmatrix} 5 & 12 \\ 12 & -5 \end{pmatrix}, \qquad N = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}.\]

1. Identifier \(M\) et \(N\) : nature, axe ou angle (on donnera \(\cos\) et \(\sin\) de l’angle).
2. Calculer \(NM\) et \(MN\), puis identifier ces deux isométries.
3. Expliquer, sans calcul, pourquoi \(NM\) et \(MN\) ne pouvaient pas être des rotations.

La figure montre l’axe de \(M\) et l’action de \(N\) sur le vecteur \(e_1\).

Exercice 4 – Deux projecteurs sur le même plan

Dans \(\mathbb{R}^3\) euclidien usuel, soit \(\Pi\) le plan d’équation \(x – 2y + 2z = 0\). On pose

\[P = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 8 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 4 \\ -2 & 4 & 5 \end{pmatrix}, \qquad Q = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

1. Vérifier que \(P^2 = P\) et \(Q^2 = Q\), et que \(P\) et \(Q\) ont pour image \(\Pi\).
2. Déterminer le noyau de chacune.
3. Laquelle est la projection orthogonale sur \(\Pi\) ? Relier la réponse à la symétrie des matrices.

Exercice 5 – Diagonaliser une matrice symétrique 2 par 2

Soit \(A = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}\).

1. Calculer les valeurs propres de \(A\).
2. Déterminer une matrice orthogonale \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(A = P D P^{\top}\).
3. Décrire l’image du cercle unité par \(A\).

Exercice 6 – Positivité selon un paramètre

Pour \(t\) réel, on pose \(A_t = \begin{pmatrix} t & 2 \\ 2 & t – 3 \end{pmatrix}\).

1. Montrer qu’une matrice symétrique réelle de taille 2 est définie positive si et seulement si sa trace et son déterminant sont strictement positifs.
2. Déterminer les valeurs de \(t\) pour lesquelles \(A_t\) est définie positive.
3. Pour quelles valeurs de \(t\) la matrice \(A_t\) est-elle positive sans être définie positive ?

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Adjoints sur un espace de matrices

L’espace \(E\) des matrices carrées réelles de taille \(n\) est euclidien pour \(\langle X, Y\rangle = \operatorname{tr}(X^{\top} Y)\). Soit \(A\) et \(B\) deux éléments de \(E\). Pour \(X\) dans \(E\), on pose \(u(X) = AX\), \(v(X) = XB\) et \(\tau(X) = X^{\top}\).

1. Déterminer \(u^{*}\) et \(v^{*}\).
2. Montrer que \(\tau\) est à la fois une isométrie et un endomorphisme symétrique. Quelle est sa nature géométrique ?
3. Montrer que \(u\) est une isométrie si et seulement si \(A\) est orthogonale.
4. À quelle condition sur \(A\) l’endomorphisme \(u\) est-il symétrique ?

Exercice 8 – Noyau et image de l’adjoint

Soit \(u\) un endomorphisme d’un espace euclidien \(E\).

1. Démontrer que \(\ker u^{*} = (\operatorname{Im} u)^{\perp}\), puis que \(\operatorname{Im} u^{*} = (\ker u)^{\perp}\).
2. En déduire que \(u\) et \(u^{*}\) ont le même rang.
3. Application : dans \(\mathbb{R}^3\) usuel, \(u\) a pour matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}\). Déterminer \(\ker u\), \(\operatorname{Im} u\), puis \(\ker u^{*}\) et \(\operatorname{Im} u^{*}\) sous forme d’équations ou de vecteurs directeurs.

Exercice 9 – Classer une isométrie de déterminant moins un

On reprend la matrice \(M\) de l’exercice 2, vue comme isométrie \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) euclidien orienté usuel.

1. Montrer que \(f\) n’est pas une réflexion.
2. Déterminer la droite \(D = \ker(f + \mathrm{id})\).
3. On sait que \(f = r \circ s\), où \(s\) est la réflexion de plan \(D^{\perp}\) et \(r\) une rotation d’axe \(D\) et d’angle \(\varphi\). Déterminer \(\cos\varphi\).
4. En orientant \(D\) par \(a = (1, 1, -3)\), déterminer le signe puis la valeur de \(\sin\varphi\).

Exercice 10 – Matrice d’une rotation quart de tour

Dans \(\mathbb{R}^3\) euclidien orienté usuel, soit \(a = \frac{1}{3}(2, 1, 2)\) et \(r\) la rotation d’axe orienté par \(a\) et d’angle \(\pi/2\).

1. Montrer que, pour \(x\) orthogonal à \(a\), on a \(r(x) = a \wedge x\).
2. En décomposant un vecteur quelconque \(x\) selon \(\mathbb{R} a\) et \(a^{\perp}\), établir \(r(x) = \langle a, x\rangle a + a \wedge x\).
3. En déduire la matrice \(R\) de \(r\) dans la base canonique.
4. Vérifier le résultat avec la trace et avec le vecteur \(a\).

Exercice 11 – Valeur propre double et base orthonormée

Soit

\[A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -2 \\ -4 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 5 \end{pmatrix}.\]

1. Montrer que 6 est valeur propre de \(A\) et déterminer le sous-espace propre associé.
2. En déduire la troisième valeur propre et un vecteur propre associé.
3. Déterminer une matrice orthogonale \(P\) telle que \(P^{\top} A P\) soit diagonale.
4. La matrice \(A\) est-elle positive ? Déterminer le minimum de \(X^{\top} A X\) pour \(\|X\| = 1\).

Exercice 12 – Matrice de Gram de trois vecteurs

Soit \(v_1, \ldots, v_p\) des vecteurs d’un espace euclidien. Leur matrice de Gram est \(G = (\langle v_i, v_j\rangle)_{1 \leq i, j \leq p}\).

1. Montrer que \(G\) est symétrique positive. On pourra calculer \(Y^{\top} G Y\) pour \(Y\) dans \(\mathbb{R}^p\).
2. Montrer que \(G\) est définie positive si et seulement si la famille \((v_1, \ldots, v_p)\) est libre.
3. Application : dans \(\mathbb{R}^3\) usuel, \(v_1 = (1, 2, 0)\), \(v_2 = (0, 1, -1)\) et \(v_3 = (2, 5, -1)\). Calculer \(G\), son déterminant, et expliquer le résultat.

Exercice 13 – Somme de carrés et définie positivité

Pour \(a\) réel, on considère

\[B_a = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}.\]

1. Écrire la forme quadratique \(q_a(x, y, z) = X^{\top} B_a X\).
2. Écrire \(q_a\) comme somme de carrés de formes linéaires, plus un terme en \(z^2\).
3. En déduire les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(B_a\) est définie positive, puis positive.
4. Pour \(a = 1\), trouver un vecteur non nul \(X\) tel que \(B_1 X = 0\).

Exercice 14 – Extremums d’une forme quadratique sur le cercle

Soit \(q(x, y) = 3x^2 + 8xy – 3y^2\) sur \(\mathbb{R}^2\) euclidien usuel.

1. Écrire la matrice symétrique \(S\) de \(q\) et la diagonaliser en base orthonormée.
2. Quelles sont la plus grande et la plus petite valeur prise par \(q\) lorsque \(x^2 + y^2 = 1\) ? Préciser en quels points.
3. Décrire la nature des lignes de niveau \(q = 5\) et \(q = -5\).

La figure trace quelques lignes de niveau de \(q\) avec le cercle unité.

Exercice 15 – Matrice hermitienne et matrice unitaire

Dans \(\mathbb{C}^2\) muni du produit scalaire hermitien usuel, on considère

\[H = \begin{pmatrix} 1 & 2i \\ -2i & 1 \end{pmatrix}, \qquad U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}.\]

1. Vérifier que \(H\) est hermitienne et la diagonaliser dans une base orthonormée.
2. Vérifier que \(U\) est unitaire. Calculer ses valeurs propres et vérifier qu’elles sont de module 1.
3. Calculer \(HU\) et \(UH\). Les matrices \(H\) et \(U\) ont-elles une base commune de vecteurs propres ?

Pour approfondir

Exercice 16 – Caractérisations des endomorphismes normaux

Soit \(E\) un espace hermitien et \(u\) un endomorphisme de \(E\). On dit que \(u\) est normal si \(u \circ u^{*} = u^{*} \circ u\).

1. Montrer que \(u\) est normal si et seulement si \(\|u(x)\| = \|u^{*}(x)\|\) pour tout \(x\). On admettra qu’un endomorphisme \(w\) vérifiant \(w^{*} = w\) et \(\langle w(x), x\rangle = 0\) pour tout \(x\) est nul.
2. En déduire que, si \(u\) est normal, \(\ker u = \ker u^{*}\).
3. Montrer que, si \(u\) est normal et \(u(x) = \lambda x\), alors \(u^{*}(x) = \overline{\lambda} x\).
4. En déduire que les sous-espaces propres d’un endomorphisme normal sont deux à deux orthogonaux.
5. La matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) est-elle normale ?

Exercice 17 – Racine carrée d’une matrice positive

Soit \(A\) une matrice symétrique réelle positive de taille \(n\).

1. Montrer qu’il existe une matrice \(B\) symétrique positive telle que \(B^2 = A\).
2. Soit \(B\) une telle matrice. Montrer que \(B\) commute avec \(A\), puis que \(B\) stabilise chaque sous-espace propre de \(A\).
3. Sur le sous-espace propre de \(A\) associé à \(\lambda\), montrer que \(B\) induit \(\sqrt{\lambda} \, \mathrm{id}\). En déduire l’unicité de \(B\).
4. Application : déterminer la racine carrée positive de \(\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\).

Exercice 18 – Problème de la décomposition polaire

Soit \(A\) une matrice réelle inversible de taille \(n\).

1. Montrer que \(A^{\top} A\) est symétrique définie positive.
2. On note \(S\) la racine carrée positive de \(A^{\top} A\) (exercice 17). Justifier que \(S\) est inversible, puis que \(O = A S^{-1}\) est orthogonale.
3. Montrer l’unicité du couple \((O, S)\) avec \(O\) orthogonale, \(S\) symétrique définie positive et \(A = OS\).
4. Application : calculer \(O\) et \(S\) pour \(A = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) et interpréter géométriquement.

Exercice 19 – Problème des rotations comme produits de réflexions

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Pour \(w\) vecteur non nul, \(s_w\) désigne la réflexion d’hyperplan \(w^{\perp}\).

1. Soit \(x \neq y\) deux vecteurs de même norme. Montrer que la réflexion \(s_{x – y}\) échange \(x\) et \(y\).
2. En raisonnant sur la dimension, établir qu’un élément de \(\mathcal{O}(E)\) s’écrit comme produit de \(n\) réflexions au maximum. On conviendra que l’identité est la composée de zéro réflexion.
3. En dimension 3, montrer qu’une rotation différente de l’identité est la composée d’exactement deux réflexions.
4. Application : soit \(R = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 4 & -4 & 7 \\ 8 & 1 & -4 \\ 1 & 8 & 4 \end{pmatrix}\), la rotation de l’exercice 10. Avec \(w_1 = e_1 – R e_1\), calculer \(s_{w_1} R\), reconnaître une réflexion \(s_{w_2}\), et écrire \(R\) comme composée de deux réflexions.
5. Vérifier que les deux plans de réflexion contiennent l’axe de \(R\) et calculer l’angle entre ces plans.

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «isométries et matrices symétriques en L2 de maths : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 433 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.