Quiz congruences et arithmétique modulaire en L2

Quiz congruences et arithmétique modulaire en L2 de maths

Dix questions éclair pour tester tes calculs dans les entiers modulo n : inverses, puissances, indicatrice d'Euler, restes chinois, idéaux et clés RSA.

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz rapide entraîne tes réflexes de calcul modulaire : trouver un inverse modulaire de tête, réduire une grande puissance grâce au théorème d'Euler, calculer une indicatrice, résoudre un petit système de congruences, reconnaître un diviseur de zéro ou un idéal de \(\mathbb{Z}\). La dernière série fait fabriquer une clé privée RSA avec de petits nombres premiers, pour vérifier que tu as compris le rôle de chaque paramètre.

Fais-le avant un TD d'algèbre ou la veille d'un partiel : chaque question se règle en quelques lignes de calcul mental. Les mauvaises réponses viennent d'erreurs réelles, comme diviser l'exposant par \(n\) au lieu de \(\varphi(n)\), oublier qu'un élément non premier avec \(n\) n'a pas d'inverse, ou prendre le produit des générateurs pour engendrer un idéal. Refais les calculs ratés à la main avant de recommencer.

Aller plus loin sur congruences et arithmétique modulaire

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Questions fréquentes : congruences et arithmétique modulaire en L2

Comment trouver rapidement un inverse modulo n ?

Pour un petit module, on teste les multiples de l'élément jusqu'à tomber sur 1 modulo \(n\). Sinon, on applique l'algorithme d'Euclide étendu, qui fournit directement une relation de Bézout.

Pourquoi RSA utilise-t-il deux grands nombres premiers ?

Connaître \(n = pq\) ne suffit pas à calculer \(\varphi(n) = (p-1)(q-1)\) sans factoriser \(n\). Or la factorisation de très grands entiers est hors de portée des ordinateurs actuels, ce qui protège la clé privée.

Quand Z/nZ est-il un corps ?

Exactement quand \(n\) est premier : tout élément non nul est alors premier avec \(n\), donc inversible. Si \(n\) est composé, ses facteurs donnent des diviseurs de zéro.

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Inverse de \(\overline{5}\) dans \(\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\) ?

Valeur de \(\varphi(36)\) ?

La classe \(\overline{6}\) est-elle inversible dans \(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\) ?

Reste de \(3^{100}\) dans la division par \(7\) ?

Solutions de \(x \equiv 2 \ [5]\) et \(x \equiv 3 \ [4]\) ?

L'anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est intègre exactement quand \(n\) est :

Dans \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\), que vaut \(\overline{4} \times \overline{9}\) ?

Nombre de carrés non nuls dans \(\mathbb{F}_{11}\) ?

RSA avec \(p = 5\), \(q = 11\) et \(e = 3\) : clé privée \(d\) ?

Idéal \(6\mathbb{Z} + 15\mathbb{Z}\) de \(\mathbb{Z}\) ?

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