Quiz annuler une matrice par un polynôme en L2

Toujours avec \(A^2=3A-2I_n\) : \(A\) est-elle diagonalisable ?

A.On ne peut rien dire sans le polynôme caractéristiqueB.Oui, annulateur scindé à racines simplesC.Seulement si \(A\) est symétriqueD.Non, car le spectre est incomplet

Lemme des noyaux, \(P\) et \(Q\) premiers entre eux : \(\mathrm{Ker}\,(PQ)(u)=\) …

A.\(\mathrm{Ker}\,P(u)\cap\mathrm{Ker}\,Q(u)\)B.\(\mathrm{Im}\,P(u)\oplus\mathrm{Im}\,Q(u)\)C.\(\mathrm{Ker}\,P(u)\times\mathrm{Ker}\,Q(u)\)D.\(\mathrm{Ker}\,P(u)\oplus\mathrm{Ker}\,Q(u)\)

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz de deuxième année entraîne les réflexes liés aux polynômes annulateurs : lire le spectre possible dans les racines d’un polynôme qui annule une matrice, en déduire un inverse sans pivot, décider d’une diagonalisabilité par la simplicité des racines, écrire la relation de Cayley-Hamilton en taille 2 et décomposer l’espace grâce au lemme des noyaux. Les dernières questions portent sur le polynôme minimal, les nilpotents et la trigonalisation.

Passe-le avant un TD de réduction ou un partiel de L2 : la plupart des réponses se trouvent en factorisant un polynôme de degré 2. Si tu confonds polynôme minimal et polynôme caractéristique, ou condition de diagonalisation et condition de trigonalisation, reprends le cours sur ces deux points puis recommence. Un score de 9 ou 10 montre que ces automatismes sont acquis.

Aller plus loin sur annuler une matrice par un polynôme

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Questions fréquentes : annuler une matrice par un polynôme en L2

Un polynôme annulateur donne-t-il exactement les valeurs propres ?

Non : il donne seulement des valeurs propres possibles, car toute valeur propre en est racine. Certaines racines peuvent ne pas être valeurs propres ; seul le polynôme minimal a exactement le spectre pour racines.

Comment obtenir l’inverse d’une matrice à partir d’un polynôme annulateur ?

Si le coefficient constant est non nul, on isole l’identité et on factorise par A. L’autre facteur, divisé par la constante, est l’inverse de A.

Quelle différence entre diagonalisable et trigonalisable ?

Trigonalisable équivaut à un polynôme caractéristique scindé. Diagonalisable demande plus : un polynôme annulateur scindé à racines simples, autrement dit un polynôme minimal scindé simple.

Quiz annuler une matrice par un polynôme en L2 de maths

Si \(A^2=3A-2I_n\), le spectre de \(A\) est inclus dans…

Toujours avec \(A^2=3A-2I_n\) : \(A\) est-elle diagonalisable ?

Avec \(A^2=3A-2I_n\), l’inverse de \(A\) vaut…

Une matrice à la fois nilpotente et diagonalisable est…

Cayley-Hamilton pour \(A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) avec \(\mathrm{tr}\,A=5\) et \(\det A=6\) :

Polynôme minimal de \(\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\) ?

Lemme des noyaux, \(P\) et \(Q\) premiers entre eux : \(\mathrm{Ker}\,(PQ)(u)=\) …

En dimension \(n\), l’indice de nilpotence d’un endomorphisme nilpotent est au plus…

Un polynôme annulateur de tout projecteur \(p\) ?

Un endomorphisme en dimension finie est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est…

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

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