QCM : Fourier, Dirichlet et Parseval en L2 de maths

Réponse A.

Un polynôme trigonométrique est sa propre série de Fourier. Or \(2\cos(2t)=e^{2it}+e^{-2it}\), donc le coefficient de \(e^{2it}\) vaut 1. Le piège 2 confond \(c_2\) avec le coefficient trigonométrique \(a_2\), qui vaut \(c_2+c_{-2}\). Ensuite, \(\frac{1}{2}\) divise une fois de trop. Enfin, 0 croit à tort que le cosinus n’a pas de coefficient exponentiel.

Réponse B.

La formule d’Euler donne \(\sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\). Le coefficient de \(e^{it}\) vaut donc \(\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}\), puisque \(\frac{1}{i}=-i\). Le piège \(\frac{i}{2}\) est le coefficient \(c_{-1}\). Ensuite, \(\frac{1}{2}\) oublie le \(i\) du dénominateur, comme pour un cosinus. Enfin, 1 est le coefficient \(b_1\), qui appartient à l’autre écriture.

Réponse A.

On linéarise : \(2\cos^2(3t)\) vaut \(1+\cos(6t)\). Le cosinus de \(6t\) a une moyenne nulle sur une période, donc il reste \(\frac{1}{2}\). Le piège 1 traite \(\cos(3t)\) comme une fonction de norme 1, ce qui vaut pour \(e^{3it}\) seulement. Ensuite, 0 confond avec le produit \(\cos(3t)\cos(5t)\). Enfin, \(\pi\) oublie le facteur \(\frac{1}{2\pi}\).

Réponse D.

Par imparité, tous les \(a_n\) sont nuls, et \(b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(nt)\,\mathrm{d}t=\frac{2\left(1-(-1)^n\right)}{n\pi}\). Pour \(n=1\), on obtient \(\frac{4}{\pi}\). Le piège \(\frac{2}{\pi}\) intègre seulement sur \(]0,\pi[\) sans doubler. Ensuite, 1 confond la valeur du créneau avec son coefficient. Enfin, 4 oublie le facteur \(\frac{1}{\pi}\).

Réponse D.

Le théorème de Dirichlet demande que \(f\) soit \(C^1\) par morceaux. Sous cette hypothèse, on obtient en chaque point la demi-somme des limites à gauche et à droite. La continuité par morceaux ne suffit pas, car elle ne contrôle pas les pentes. De façon plus surprenante, même la continuité ne suffit pas : certaines fonctions continues ont une série de Fourier divergente en un point.

Réponse C.

Le créneau est \(C^1\) par morceaux, donc le théorème de Dirichlet s’applique. En 0, \(s\) tend vers 1 par la droite et vers \(-1\) par la gauche. Ainsi, la série converge vers leur demi-somme, 0. On le vérifie directement : tous les termes \(b_n\sin(0)\) sont nuls. Le piège 1 prend la limite à droite seule, et la divergence ne se produit pas.

Réponse D.

L’inégalité de Bessel majore \(\sum|c_n|^2\) par la moyenne de \(|f|^2\) sur une période. Une série convergente a un terme général qui tend vers 0, donc \(c_n\) tend vers 0. En revanche, \(\sum|c_n|\) peut diverger : pour le créneau, \(|c_n|\) est de l’ordre de \(\frac{1}{n}\). Par conséquent, la majoration en \(\frac{1}{n^2}\) est fausse en général.

Réponse C.

Une fonction continue et \(C^1\) par morceaux a une série de Fourier normalement convergente. Or \(|t|\), prolongée par périodicité, est continue, avec des coefficients en \(\frac{1}{n^2}\). À l’inverse, la dent de scie et le créneau sautent en \(\pi\) ou en 0. Le piège de la fonction carrée est plus fin : \(t^2\) sur \([0,2\pi[\) saute de \(4\pi^2\) à 0. Une somme de fonctions continues uniformément convergente serait continue.

Réponse C.

Par parité, \(b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}t\sin(nt)\,\mathrm{d}t\). Une intégration par parties donne \(\int_0^{\pi}t\sin(nt)\,\mathrm{d}t=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}\). On en déduit la formule annoncée. On contrôle avec \(b_1=2\), qui est positif comme la pente. Le piège \((-1)^n\) perd le signe moins de l’intégration par parties. Ensuite, \(\frac{2}{n}\) oublie que \(\cos(n\pi)\) alterne.

Réponse B.

La moyenne de \(s^2\) sur une période vaut 1. Parseval donne donc \(1=\frac{1}{2}\sum b_n^2=\frac{8}{\pi^2}\sum_{n\text{ impair}}\frac{1}{n^2}\). Ainsi, la somme sur les impairs vaut \(\frac{\pi^2}{8}\). Le piège \(\frac{\pi^2}{6}\) donne la somme sur tous les entiers. Ensuite, \(\frac{\pi^2}{4}\) oublie le facteur \(\frac{1}{2}\) devant la somme. Enfin, \(\frac{\pi^2}{16}\) le compte deux fois.

Réponse A.

Comme \(q\) est continue et \(C^1\) par morceaux, d’après Dirichlet, sa série vaut \(q(0)=0\) en 0. Il vient \(\sum\frac{4(-1)^n}{n^2}=-\frac{\pi^2}{3}\), puis la somme alternée cherchée vaut \(\frac{\pi^2}{12}\). Le piège négatif oublie de changer \((-1)^n\) en \((-1)^{n+1}\). Ensuite, \(\frac{\pi^2}{6}\) perd l’alternance des signes. Enfin, \(\frac{\pi^2}{3}\) oublie de diviser par 4.

Réponse B.

Parseval s’écrit \(\frac{\pi^4}{5}=\left(\frac{\pi^2}{3}\right)^2+\frac{1}{2}\sum\frac{16}{n^4}\). Donc \(8\,\zeta(4)=\frac{\pi^4}{5}-\frac{\pi^4}{9}=\frac{4\pi^4}{45}\), ce qui donne \(\frac{\pi^4}{90}\) après division par 8. Le piège \(\frac{\pi^4}{180}\) oublie le facteur \(\frac{1}{2}\). Ensuite, \(\frac{\pi^4}{40}\) néglige le carré du terme constant. Enfin, \(\frac{\pi^4}{96}\) est la somme sur les seuls impairs.