Fonction Gamma et intégrale de Gauss : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « fonction Gamma et intégrale de Gauss », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur les intégrales à paramètre, au semestre 4, juste après l’étude de la fonction Gamma. D’abord, une intégrale simple sur \(]0, 1]\) vous fait rédiger une hypothèse de domination complète, puis dériver deux fois sous le signe intégrale. Ensuite, deux exercices construisent la fonction Gamma : domaine de définition, relation fonctionnelle, continuité, dérivabilité et convexité. Un court exercice relie Gamma à la transformée de Laplace. Enfin, le problème calcule l’intégrale de Gauss par une intégrale à paramètre sur un segment, sans intégrale double. Chaque théorème appliqué doit être nommé, avec toutes ses hypothèses vérifiées.
Ce qu’évalue le contrôle : fonction Gamma et intégrale de Gauss
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Continuité et dérivation sous l’intégrale, Gamma (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Rédiger une hypothèse de domination pour dériver une intégrale à paramètre sur un intervalle quelconque
- Établir le domaine de définition de la fonction Gamma et la relation entre Gamma en x + 1 et Gamma en x
- Démontrer la continuité, la dérivabilité et la convexité de la fonction Gamma
- Calculer une transformée de Laplace d’une puissance par changement de variable
- Calculer l’intégrale de Gauss à l’aide d’une intégrale à paramètre sur un segment
Avant de commencer le devoir
Pour chaque intégrale à paramètre, rédigez les hypothèses dans le même ordre : régularité en \(x\), continuité par morceaux en \(t\), puis domination par une fonction intégrable et indépendante de \(x\). Dominez sur un segment \([a, b]\) du domaine plutôt que sur tout le domaine, car c’est souvent impossible globalement. Ensuite, séparez les bornes 0 et \(+\infty\) pour étudier l’intégrabilité. Enfin, dans le problème, vérifiez la continuité en 0 avant de prolonger une égalité obtenue sur \(]0, +\infty[\).
Le sujet du contrôle : fonction Gamma et intégrale de Gauss
Exercice 1 – Une intégrale dérivée deux fois (4 points)
Pour tout réel \(x > -1\), on pose \(H(x) = \int_0^1 t^x \, \mathrm{d}t\). La figure représente la fonction \(t \mapsto t^x \ln t\) sur \(]0, 1]\) pour trois valeurs de \(x\) : elle tend vers \(-\infty\) en 0 lorsque \(x \leq 0\), ce qui rend l’intégrale impropre.
- Calculer \(H(x)\) pour tout \(x > -1\).
- Soit \(a > -1\). Montrer que, pour tout \(x \geq a\) et tout \(t \in \, ]0, 1]\), on a \(\left|t^x \ln t\right| \leq t^a \left|\ln t\right|\). Prouver ensuite que \(t \mapsto t^a \left|\ln t\right|\) est intégrable sur \(]0, 1]\).
- En déduire que \(H\) est de classe \(C^1\) sur \(]-1, +\infty[\), puis calculer \(\int_0^1 t^x \ln t \, \mathrm{d}t\) pour \(x > -1\).
- Calculer \(\int_0^1 t^2 \ln t \, \mathrm{d}t\). En admettant que l’on peut dériver une seconde fois sous le signe intégrale, calculer aussi \(\int_0^1 (\ln t)^2 \, \mathrm{d}t\).
Exercice 2 – Définition de la fonction Gamma (3 points)
Pour tout réel \(x\), on considère l’intégrale \(\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} \mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d}t\), lorsqu’elle converge.
- Montrer que cette intégrale converge si et seulement si \(x > 0\).
- Établir, par une intégration par parties soigneusement justifiée, que \(\Gamma(x + 1) = x\,\Gamma(x)\) pour tout \(x > 0\).
- Calculer \(\Gamma(1)\), puis en déduire \(\Gamma(n + 1)\) pour tout entier naturel \(n\).
Exercice 3 – Régularité et minimum de Gamma (4,5 points)
On note \(f(x, t) = t^{x-1} \mathrm{e}^{-t}\) pour \(x > 0\) et \(t > 0\). La courbe de \(\Gamma\) est tracée ci-dessous sur \(]0, 4]\) ; elle suggère un minimum entre 1 et 2.
- Soit \(0 < a < b\). Montrer que, pour tout \(x \in [a, b]\) et tout \(t > 0\), \(f(x, t) \leq t^{a-1}\mathrm{e}^{-t} + t^{b-1}\mathrm{e}^{-t}\). Démontrer alors que \(\Gamma\) est continue sur \(]0, +\infty[\).
- Prouver que \(\Gamma\) est de classe \(C^2\) sur \(]0, +\infty[\) et donner une expression intégrale de \(\Gamma^{\prime\prime}(x)\).
- Montrer que \(\Gamma\) est strictement convexe, puis qu’elle atteint son minimum en un unique point \(c\) de \(]1, 2[\).
- Déterminer un équivalent de \(\Gamma(x)\) quand \(x\) tend vers 0 par valeurs positives.
Exercice 4 – Transformée de Laplace d’une puissance (2 points)
Pour \(x > 0\) et \(s > 0\), on pose \(L_x(s) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} \mathrm{e}^{-st} \, \mathrm{d}t\).
- Justifier la convergence de cette intégrale, puis montrer que \(L_x(s) = \frac{\Gamma(x)}{s^x}\).
- Calculer ainsi \(\int_0^{+\infty} t^3 \mathrm{e}^{-2t} \, \mathrm{d}t\) et \(\int_0^{+\infty} t^4 \mathrm{e}^{-3t} \, \mathrm{d}t\).
Exercice 5 – Problème : l’intégrale de Gauss (6,5 points)
On souhaite calculer \(I = \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-u^2} \, \mathrm{d}u\). Pour cela, on pose, pour tout \(y \geq 0\) et tout \(x \geq 0\) :
\[J(y) = \int_0^{y} \mathrm{e}^{-u^2} \, \mathrm{d}u, \quad g(x) = J\left(\sqrt{x}\right)^2 \quad \text{et} \quad h(x) = \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-x(1 + t^2)}}{1 + t^2} \, \mathrm{d}t.\]
- Justifier la convergence de l’intégrale \(I\).
- Montrer que \(h\) est continue sur \([0, +\infty[\) et calculer \(h(0)\).
- Prouver que \(h\) est de classe \(C^1\) sur \([0, +\infty[\). Établir ensuite que, pour tout \(x > 0\), \(h^{\prime}(x) = -\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\sqrt{x}}\,J\left(\sqrt{x}\right)\).
- Calculer \(g^{\prime}(x)\) pour \(x > 0\). En déduire que \(h(x) + g(x) = \frac{\pi}{4}\) pour tout \(x \geq 0\).
- Montrer que \(h\) tend vers 0 en \(+\infty\), puis conclure que \(I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\).
- Déduire de ce qui précède la valeur de \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\), puis celle de \(\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\).
Réviser fonction Gamma et intégrale de Gauss avant le contrôle
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