Quiz densités, exponentielle et gaussienne en L2

Quiz densités, exponentielle et gaussienne en L2 de maths

Dix réflexes sur les variables à densité à vérifier vite : normaliser une densité, absence de mémoire, lois images, sommes indépendantes et approximation gaussienne.

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz express fait travailler les automatismes sur les lois à densité de deuxième année de licence : trouver la constante qui fait d'une fonction une densité, utiliser l'absence de mémoire de la loi exponentielle, transformer une gaussienne par une fonction affine, reconnaître la loi d'une image ou d'une somme. Chaque question demande un réflexe, et la correction s'affiche immédiatement.

Fais-le avant un TD ou une interrogation de probabilités, puis la veille du partiel. Les fausses réponses reprennent les confusions fréquentes : écart type et variance dans les paramètres de la loi normale, intensité et moyenne de l'exponentielle, variances qu'on oublie d'additionner pour une somme indépendante, mauvais paramètres dans l'approximation d'une binomiale. Si une question te résiste, refais le calcul d'intégrale au brouillon puis relance le quiz jusqu'au dix sur dix.

Aller plus loin sur densités, exponentielle et gaussienne

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Questions fréquentes : densités, exponentielle et gaussienne en L2

Comment vérifier qu'une fonction est bien une densité ?

Elle doit être positive, continue sauf en un nombre fini de points, et son intégrale sur R doit valoir 1. C'est cette dernière condition qui fixe la constante.

Que signifie l'absence de mémoire de la loi exponentielle ?

Sachant que la durée a déjà dépassé s, la probabilité qu'elle dépasse encore t de plus est la même qu'au départ. C'est la seule loi à densité qui ait cette propriété.

Dans N(m, s), le second paramètre est-il la variance ou l'écart type ?

Les deux conventions existent selon les cours, d'où l'intérêt de le préciser. Dans ce quiz, le second paramètre est la variance.

Quiz densités, exponentielle et gaussienne en L2 de maths

Pour quelle constante \(c\) la fonction \(c\,x^2\) sur \([0, 3]\), nulle ailleurs, est-elle une densité ?

Espérance d'une loi exponentielle de paramètre \(\lambda = 2\) ?

\(X\) de loi exponentielle de paramètre \(1\) : \(P(X > 5 \mid X > 3)\) ?

Variance de la loi uniforme sur \([2, 8]\) ?

\(X\) de loi \(\mathcal{N}(0, 1)\) : loi de \(3X + 1\) (moyenne, variance) ?

\(U\) uniforme sur \(]0, 1[\) : loi de \(-\ln U\) ?

Somme indépendante de \(\mathcal{N}(1, 4)\) et \(\mathcal{N}(2, 5)\) (moyenne, variance) ?

Loi normale qui approche \(\mathcal{B}(100\,;\,0{,}5)\) (moyenne, variance) ?

Médiane de la loi de fonction de répartition \(1 - e^{-3x}\) sur \([0, +\infty[\) ?

Densité sur \([0, +\infty[\) de la somme de deux exponentielles de paramètre 1 indépendantes ?

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

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Questions fréquentes : densités, exponentielle et gaussienne en L2