Dérivée d’un déterminant de fonctions : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : dérivée d’un déterminant de fonctions

Le sujet du contrôle : dérivée d’un déterminant de fonctions

Exercice 1 – Une courbe tracée sur la sphère (4 points)

On munit \(\mathbb{R}^n\) de son produit scalaire canonique \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) et de la norme associée. De plus, toutes les fonctions sont définies sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\).

1. Soit \(f, g : I \to \mathbb{R}^n\) dérivables. Montrer que \(t \mapsto \langle f(t), g(t) \rangle\) est dérivable et donner sa dérivée. En déduire la dérivée de \(t \mapsto \lVert f(t) \rVert^2\). (1,5 point)
2. Prouver alors que \(t \mapsto \lVert f(t) \rVert\) est constante sur \(I\) si et seulement si \(f(t)\) et \(f^{\prime}(t)\) sont orthogonaux pour tout \(t \in I\). (1 point)
3. On considère \(h(t) = \left(\sin t \cos t, \sin^2 t, \cos t\right)\) pour \(t \in \mathbb{R}\), dont la figure montre la trajectoire. Vérifier que \(h\) prend ses valeurs dans la sphère unité, puis calculer \(h^{\prime}(t)\), contrôler directement que \(\langle h(t), h^{\prime}(t) \rangle = 0\) et exprimer \(\lVert h^{\prime}(t) \rVert\). (1,5 point)

Exercice 2 – Un déterminant qui se dérive sans être développé (4 points)

Pour \(t \in \mathbb{R}\), on pose \(g(t) = (\cos t, \sin t, t)\) et on note \(D(t) = \det\left(g(t), g^{\prime}(t), g^{\prime\prime}(t)\right)\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^3\), c’est-à-dire :

\[D(t) = \begin{vmatrix} \cos t & -\sin t & -\cos t \\ \sin t & \cos t & -\sin t \\ t & 1 & 0 \end{vmatrix}.\]

1. Soit \(u, v, w : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3\) dérivables. Justifier que \(\varphi : t \mapsto \det\left(u(t), v(t), w(t)\right)\) est dérivable, puis établir que \(\varphi^{\prime} = \det(u^{\prime}, v, w) + \det(u, v^{\prime}, w) + \det(u, v, w^{\prime})\). (1,5 point)
2. Montrer ensuite que \(D^{\prime}(t) = \det\left(g(t), g^{\prime}(t), g^{\prime\prime\prime}(t)\right)\). (1 point)
3. Calculer \(D^{\prime}(t)\) et \(D(0)\). En déduire ensuite \(D(t)\) pour tout réel \(t\), sans développer le déterminant de départ. (1,5 point)

Exercice 3 – Deux majorations sur la développante du cercle (4 points)

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne et l’on considère \(\gamma(t) = \left(\cos t + t\sin t, \sin t – t\cos t\right)\) pour \(t \geq 0\). Cette courbe, tracée sur la figure pour \(t \in [0, 2\pi]\), est décrite par l’extrémité d’un fil tendu que l’on déroule du cercle unité.

1. Calculer \(\gamma^{\prime}(t)\) et \(\lVert \gamma^{\prime}(t) \rVert\) pour \(t \geq 0\). (1 point)
2. À l’aide de l’inégalité des accroissements finis, montrer que \(\lVert \gamma(x) – \gamma(0) \rVert \leq x^2\) pour tout \(x \geq 0\). (1 point)
3. Calculer \(\gamma^{\prime\prime}(t)\) et sa norme. Écrire ensuite la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 1 entre 0 et \(x\), puis en déduire que \(\lVert \gamma(x) – \gamma(0) \rVert \leq \frac{x^2}{2}\sqrt{1 + x^2}\). (1,5 point)
4. Pour quelles valeurs de \(x > 0\) la seconde majoration est-elle strictement meilleure que la première ? (0,5 point)

Exercice 4 – Problème : la boucle d’une cubique paramétrée (8 points)

Dans un repère orthonormé du plan, on étudie la courbe \(\Gamma\) décrite par le point \(M(t) = \left(x(t), y(t)\right)\), où \(x(t) = t^2 + t\) et \(y(t) = t^3 – 3t\) pour \(t \in \mathbb{R}\).

1. Étudier les variations de \(x\) et de \(y\), puis les rassembler dans un tableau commun où figurent les valeurs en \(-2\), \(-1\), \(-\frac{1}{2}\), \(0\) et \(1\). (1,5 point)
2. Montrer que tous les points de \(\Gamma\) sont réguliers. Préciser alors les points où la tangente est horizontale, puis celui où elle est verticale. (1 point)
3. Déterminer les couples \((t_1, t_2)\) avec \(t_1 \neq t_2\) et \(M(t_1) = M(t_2)\). On pourra poser \(s = t_1 + t_2\) et \(p = t_1 t_2\). (1,5 point)
4. Étudier le quotient \(\frac{y(t)}{x(t)}\) quand \(t \to \pm\infty\) et décrire les branches infinies. Tracer enfin l’allure de \(\Gamma\) en faisant apparaître le point double et les tangentes trouvées. (1,5 point)
5. On pose \(\varphi(t) = \det\left(M(t), M^{\prime}(t)\right)\). Montrer que \(\varphi^{\prime}(t) = \det\left(M(t), M^{\prime\prime}(t)\right)\), calculer ce déterminant et en déduire \(\varphi(t)\) à l’aide de \(\varphi(0)\). (1 point)
6. On admet que l’aire de la boucle parcourue pour \(t \in [-2, 1]\) vaut \(\mathcal{A} = \frac{1}{2}\left\lvert \int_{-2}^{1} \varphi(t)\,\mathrm{d}t \right\rvert\). Calculer cette aire. (1,5 point)

Réviser dérivée d’un déterminant de fonctions avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours dérivation et intégration des fonctions vectorielles ; entraînez-vous sur les exercices dérivation et intégration des fonctions vectorielles avant de retenter le sujet.

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