Polynôme minimal et lemme des noyaux en maths spé (MP) : cours et méthodes

Une \(\mathbb{K}\)-algèbre est un ensemble \(A\) muni d’une addition, d’une multiplication interne et d’une multiplication par les scalaires, tel que :

• \(A\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et un anneau pour les deux lois internes ;
• pour tous \(\lambda\in\mathbb{K}\) et \(a,b\in A\), on a \(\lambda(ab)=(\lambda a)b=a(\lambda b)\).

Une sous-algèbre est une partie qui contient l’unité et qui est stable par les trois lois. Un morphisme d’algèbres est une application linéaire qui respecte le produit et envoie l’unité sur l’unité.

1. Pour prouver qu’une partie \(B\) est une sous-algèbre, vérifier qu’elle contient l’unité.
2. Montrer ensuite qu’elle est un sous-espace vectoriel.
3. Enfin, établir la stabilité par produit, souvent par un calcul direct sur deux éléments génériques.

L’application \(\varphi_u:P\mapsto P(u)\) est un morphisme d’algèbres de \(\mathbb{K}[X]\) dans \(\mathcal{L}(E)\). En particulier, \((PQ)(u)=P(u)\circ Q(u)=Q(u)\circ P(u)\) : deux polynômes en \(u\) commutent toujours.

Soit \(M=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\) et \(P=X^2-3X+2\). On calcule \(M^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2\). Ainsi, \(P(M)=I_2-3M+2I_2=\begin{pmatrix}0&-6\\0&6\end{pmatrix}\). Ensuite, \(M^2=I_2\) montre que \(X^2-1\) annule \(M\).

Un polynôme \(P\) est annulateur de \(u\) si \(P(u)=0\). L’ensemble \(\mathcal{I}_u=\ker\varphi_u\) de ces polynômes est un idéal de \(\mathbb{K}[X]\), appelé idéal annulateur de \(u\).

Si \(E\) est de dimension finie, \(\mathcal{I}_u\) n’est pas réduit à \(\{0\}\). Il existe donc un unique polynôme unitaire \(\pi_u\) tel que \(\mathcal{I}_u=\pi_u\,\mathbb{K}[X]\). On l’appelle polynôme minimal de \(u\).

L’espace \(\mathcal{L}(E)\) est de dimension \(n^2\). La famille \((\mathrm{Id},u,\dots,u^{n^2})\) compte \(n^2+1\) vecteurs : elle est donc liée. Une relation de dépendance non triviale fournit un polynôme non nul qui annule \(u\). Ensuite, tout idéal non nul de \(\mathbb{K}[X]\) est engendré par un unique polynôme unitaire, ce qui donne \(\pi_u\).

En dimension infinie, l’idéal annulateur peut être nul. Sur \(\mathbb{R}[X]\), la dérivation \(D\) n’est annulée par aucun polynôme non nul. En effet, si \(P=\sum_{k=0}^{d}a_kX^k\) avec \(a_d\neq 0\), alors \(P(D)\) envoie \(X^d\) sur un polynôme de terme constant \(a_d\,d!\neq 0\), car \(D^k(X^d)\) a un terme constant nul pour \(k\neq d\).

Soit \(d=\deg\pi_u\). La famille \((\mathrm{Id},u,\dots,u^{d-1})\) est une base de \(\mathbb{K}[u]\). En particulier, \(\dim\mathbb{K}[u]=\deg\pi_u\).

La famille est libre : une relation non triviale donnerait un polynôme annulateur non nul de degré au plus \(d-1\). Elle est aussi génératrice. En effet, soit \(P\in\mathbb{K}[X]\) ; la division euclidienne s’écrit \(P=Q\pi_u+R\) avec \(\deg R<d\). Comme \(\pi_u(u)=0\), on obtient \(P(u)=R(u)\), qui est combinaison de \(\mathrm{Id},u,\dots,u^{d-1}\).

Cherchons \(\pi_B\) pour \(B=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&5\end{pmatrix}\). D’abord, \(B\) n’est pas une homothétie, donc \(\deg\pi_B\geq 2\). Ensuite, on teste \((X-2)(X-5)\) : le produit \((B-2I_3)(B-5I_3)\) a pour coefficient \((1,2)\) la valeur \(1\times(-3)=-3\neq 0\). Enfin, \((X-2)^2(X-5)\) annule \(B\), par un calcul par blocs. Comme \(\pi_B\) divise ce polynôme et contient les deux racines (voir la partie 3), on conclut que \(\pi_B=(X-2)^2(X-5)\).

1. Chercher une relation simple entre les puissances de la matrice, par exemple \(M^2=cM\). Elle fournit souvent un annulateur de degré 2.
2. Sinon, calculer \(\chi_M\) : il annule \(M\) et \(\pi_M\) le divise.
3. Lister les diviseurs unitaires qui contiennent toutes les valeurs propres, du plus petit degré au plus grand.
4. Tester ces candidats dans l’ordre : le premier qui annule \(M\) est \(\pi_M\).

Soit \(U\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) la matrice dont tous les coefficients valent 1. Chaque coefficient de \(U^2\) est une somme de quatre produits égaux à 1, donc \(U^2=4U\). Ainsi, \(X^2-4X\) annule \(U\). Or \(U\) n’est pas une homothétie, donc aucun polynôme de degré 1 ne l’annule. Par conséquent, \(\pi_U=X(X-4)\). Ce polynôme est simplement scindé : \(U\) est diagonalisable. De plus, \(U\) est de rang 1, donc 0 a pour multiplicité 3, et la trace 4 donne la valeur propre 4, simple.

Si \(u(x)=\lambda x\), alors \(P(u)(x)=P(\lambda)x\) pour tout polynôme \(P\). Par conséquent, si \(P\) annule \(u\), toute valeur propre de \(u\) est racine de \(P\).

Par récurrence, \(u^k(x)=\lambda^kx\) pour tout \(k\). On combine ensuite linéairement. Si \(P(u)=0\) et si \(x\neq 0\) est un vecteur propre associé à \(\lambda\), alors \(P(\lambda)x=0\), donc \(P(\lambda)=0\).

Les racines de \(\pi_u\) dans \(\mathbb{K}\) sont exactement les valeurs propres de \(u\).

D’une part, \(\pi_u\) annule \(u\), donc toute valeur propre en est racine. D’autre part, soit \(\lambda\) une racine de \(\pi_u\) ; on écrit \(\pi_u=(X-\lambda)Q\). Comme \(\deg Q<\deg\pi_u\), on a \(Q(u)\neq 0\). Il existe donc \(y\) tel que \(x=Q(u)(y)\neq 0\). Alors \((u-\lambda\,\mathrm{Id})(x)=\pi_u(u)(y)=0\), et \(\lambda\) est valeur propre.

1. Repérer dans l’énoncé une relation du type \(u^3=4u\) ou \(A^2+A=2I_n\).
2. La traduire en un polynôme annulateur \(P\), puis factoriser \(P\).
3. Conclure que \(\mathrm{Sp}(u)\) est inclus dans l’ensemble des racines de \(P\).
4. Pour savoir quelles racines sont vraiment valeurs propres, chercher des vecteurs propres ou utiliser une information de plus (trace, rang, déterminant).

Soit \(A\in\mathcal{M}_5(\mathbb{R})\) telle que \(A^2=A+2I_5\) et \(\mathrm{tr}\,A=4\). Le polynôme \(X^2-X-2=(X-2)(X+1)\) annule \(A\), donc \(\mathrm{Sp}(A)\subset\{2,-1\}\). Ce polynôme est simplement scindé ; nous verrons en partie 4 que \(A\) est alors diagonalisable. Notons \(a\) et \(b\) les dimensions des sous-espaces propres associés à 2 et à \(-1\). D’une part, \(a+b=5\). D’autre part, \(2a-b=4\). On obtient \(a=3\) et \(b=2\). Finalement, \(\det A=2^3(-1)^2=8\).

On se donne des polynômes \(P_1,\dots,P_r\) sans facteur commun deux à deux, de produit \(P\). Le noyau de \(P(u)\) se découpe alors ainsi :

\[\ker P(u)=\bigoplus_{i=1}^{r}\ker P_i(u).\]

En outre, chaque projection sur l’un des noyaux, parallèlement aux autres, s’écrit comme un polynôme en \(u\).

Traitons le cas \(r=2\) ; le cas général s’en déduit par récurrence. Comme \(P_1\wedge P_2=1\), il existe \(U_1,U_2\) tels que \(U_1P_1+U_2P_2=1\). En évaluant en \(u\), on obtient \(\mathrm{Id}=U_1(u)P_1(u)+U_2(u)P_2(u)\).

Soit \(x\in\ker P(u)\). On pose \(x_2=U_1(u)P_1(u)(x)\) et \(x_1=U_2(u)P_2(u)(x)\), de sorte que \(x=x_1+x_2\). Ensuite, \(P_2(u)(x_2)=U_1(u)P(u)(x)=0\), car les polynômes en \(u\) commutent. De même, \(P_1(u)(x_1)=0\). Enfin, si \(x\) appartient aux deux noyaux, l’égalité de Bézout donne \(x=0\). L’inclusion réciproque est immédiate.

Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(u\) est diagonalisable ;
2. \(u\) est annulé par un polynôme scindé à racines simples sur \(\mathbb{K}\) ;
3. \(\pi_u\) est scindé à racines simples sur \(\mathbb{K}\).

Si \(u\) est diagonalisable de valeurs propres distinctes \(\lambda_1,\dots,\lambda_r\), le polynôme \(\prod_{i}(X-\lambda_i)\) annule \(u\) sur chaque vecteur d’une base propre. Donc (1) entraîne (2). Ensuite, \(\pi_u\) divise tout annulateur, et un diviseur d’un polynôme simplement scindé l’est aussi : (2) entraîne (3). Enfin, si \(\pi_u=\prod_i(X-\lambda_i)\) avec des \(\lambda_i\) distincts, le lemme des noyaux donne \(E=\bigoplus_i\ker(u-\lambda_i\mathrm{Id})\), d’où (1).

1. Traduire l’hypothèse en un polynôme annulateur \(P\).
2. Vérifier que \(P\) est scindé sur \(\mathbb{K}\) et que ses racines sont simples (par exemple avec \(P\wedge P^{\prime}=1\)).
3. Conclure à la diagonalisabilité, puis préciser les sous-espaces propres grâce au lemme des noyaux.

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) telle que \(A^4=A\). Le polynôme \(X^4-X=X(X-1)(X^2+X+1)\) a pour racines \(0\), \(1\), \(j\) et \(\bar{j}\), toutes distinctes. Ainsi, \(A\) est diagonalisable sur \(\mathbb{C}\). En revanche, sur \(\mathbb{R}\), le même polynôme n’est pas scindé : une matrice réelle vérifiant \(A^4=A\) n’est pas forcément diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Soit \(F\) un sous-espace stable par un endomorphisme \(u\) diagonalisable. L’endomorphisme \(u_F\) induit sur \(F\) est encore diagonalisable.

Pour tout endomorphisme \(u\) d’un espace de dimension finie, \(\chi_u(u)=0\). Par conséquent, \(\pi_u\) divise \(\chi_u\), et \(\deg\pi_u\leq n\).

Fixons un vecteur \(x\) non nul. La suite \(x,u(x),u^2(x),\dots\) finit par devenir liée ; soit \(p\) la longueur maximale d’un début libre de cette suite. Ces \(p\) vecteurs engendrent un sous-espace \(F\) stable par \(u\), et \(u^{p}(x)=-\sum_{k=0}^{p-1}a_ku^{k}(x)\). La matrice de \(u_F\) dans cette base est une matrice compagnon, de polynôme caractéristique \(Q=X^p+\sum_{k<p}a_kX^k\). Donc \(Q(u)(x)=0\). Enfin, en complétant la base, \(\chi_{u_F}=Q\) divise \(\chi_u\), d’où \(\chi_u(u)(x)=0\). Ceci vaut pour tout \(x\).

1. Inverse. Écrire \(\chi_A=XQ+c\) avec \(c=\chi_A(0)=(-1)^n\det A\). Si \(c\neq 0\), alors \(A\,Q(A)=-cI_n\), donc \(A^{-1}=-\frac{1}{c}Q(A)\).
2. Puissances. Faire la division euclidienne \(X^m=Q_m\,\chi_A+R_m\), avec \(\deg R_m<n\). Alors \(A^m=R_m(A)\).
3. Pour trouver \(R_m\), évaluer l’égalité aux racines de \(\chi_A\), et dériver en cas de racine multiple.

Soit \(C=\begin{pmatrix}4&-3\\1&0\end{pmatrix}\). On a \(\mathrm{tr}\,C=4\) et \(\det C=3\), donc \(\chi_C=X^2-4X+3=(X-1)(X-3)\). D’abord, \(C^2-4C=-3I_2\) donne \(C^{-1}=\frac{1}{3}(4I_2-C)\). Ensuite, écrivons \(X^m=Q_m\chi_C+a_mX+b_m\). En évaluant en 1 et en 3, il vient \(a_m+b_m=1\) et \(3a_m+b_m=3^m\). Donc \(a_m=\frac{3^m-1}{2}\) et \(b_m=\frac{3-3^m}{2}\). Ainsi, \(C^m=\frac{3^m-1}{2}C+\frac{3-3^m}{2}I_2\).

• \(\pi_u\) divise \(\chi_u\), et \(\chi_u\) divise \(\pi_u^{\,n}\) lorsque \(\chi_u\) est scindé.
• Pour une homothétie \(\lambda\,\mathrm{Id}\), on a \(\pi_u=X-\lambda\) et \(\chi_u=(X-\lambda)^n\).
• Lorsque \(\chi_u\) a \(n\) racines distinctes dans \(\mathbb{K}\), on a \(\pi_u=\chi_u\) et \(u\) est diagonalisable.

On dit que \(u\) est nilpotent lorsqu’une de ses puissances est nulle. Son indice de nilpotence est alors le plus petit entier \(p\geq 1\) vérifiant \(u^p=0\), et dans ce cas \(\pi_u=X^p\).

Soit \(u\) nilpotent d’indice \(p\). Alors :

• \(p\leq n\), donc \(u^n=0\) ;
• \(0\) est la seule valeur propre de \(u\), et \(\chi_u=X^n\) ;
• \(u\) est diagonalisable si et seulement si \(u=0\).

Comme \(\pi_u=X^p\) divise \(\chi_u\), qui est de degré \(n\), on obtient \(p\leq n\). Ensuite, le spectre est l’ensemble des racines de \(\pi_u\), soit \(\{0\}\). Sur \(\mathbb{C}\), \(\chi_u\) est scindé avec pour seule racine 0, donc \(\chi_u=X^n\) ; ce polynôme ne dépend pas du corps choisi. Enfin, \(X^p\) est à racines simples seulement si \(p=1\).

Si \(u\) est nilpotent d’indice \(p\), alors \(\mathrm{Id}-u\) est inversible et \((\mathrm{Id}-u)^{-1}=\sum_{k=0}^{p-1}u^k\). En effet, le produit télescope en \(\mathrm{Id}-u^{p}=\mathrm{Id}\).

Supposons \(\chi_u=\prod_{i=1}^{r}(X-\lambda_i)^{m_i}\) scindé, avec des \(\lambda_i\) distincts. Les sous-espaces caractéristiques \(F_i=\ker(u-\lambda_i\mathrm{Id})^{m_i}\) vérifient :

• \(E=F_1\oplus\cdots\oplus F_r\), chaque \(F_i\) étant stable par \(u\) ;
• \(\dim F_i=m_i\) ;
• l’endomorphisme induit par \(u-\lambda_i\mathrm{Id}\) sur \(F_i\) est nilpotent.

Les facteurs \((X-\lambda_i)^{m_i}\) sont premiers entre eux deux à deux. Par Cayley-Hamilton et le lemme des noyaux, l’espace \(E\) est leur somme directe. La stabilité vient de la commutation de \(u\) avec les polynômes en \(u\). Ensuite, \(u_i=u_{F_i}\) est annulé par \((X-\lambda_i)^{m_i}\), donc son seul spectre possible est \(\{\lambda_i\}\), et \(\chi_{u_i}=(X-\lambda_i)^{\dim F_i}\). Or \(\chi_u=\prod_i\chi_{u_i}\) par la forme diagonale par blocs. En identifiant les exposants, \(\dim F_i=m_i\).

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