Séries et sommation des équivalents en maths spé (MP) : cours et méthodes

Soit \((u_n)_{n\geqslant 0}\) une suite de \(E\). La série \(\sum u_n\) est la suite des sommes partielles \(S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k\). Elle converge si \((S_n)\) admet une limite \(S\) dans \(E\) ; on note alors \(S=\sum_{k=0}^{+\infty}u_k\). Dans ce cas, le reste d’ordre \(n\) est \(R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k\), et \((R_n)\) tend vers \(0\).

Le terme général d’une série convergente tend vers \(0\). Lorsque cette condition nécessaire échoue, on dit que la série diverge grossièrement.

La série \(\sum u_n\) est absolument convergente si la série réelle positive \(\sum \lVert u_n\rVert\) converge.

En dimension finie, une série absolument convergente converge, et \(\left\lVert \sum_{k=0}^{+\infty}u_k\right\rVert\leqslant \sum_{k=0}^{+\infty}\lVert u_k\rVert\).

Fixons une base et notons \(N_\infty\) la norme « plus grande coordonnée en module ». Par équivalence des normes, il existe \(c>0\) tel que \(N_\infty\leqslant c\lVert\cdot\rVert\). Ainsi, chaque coordonnée \(u_{n,i}\) vérifie \(|u_{n,i}|\leqslant c\lVert u_n\rVert\). Par comparaison de séries positives, \(\sum u_{n,i}\) converge absolument dans \(\mathbb{K}\), donc converge. Toutes les coordonnées convergent, donc \(\sum u_n\) converge. Pour finir, on majore \(\lVert S_n\rVert\) par \(\sum_{k\leqslant n}\lVert u_k\rVert\) grâce à l’inégalité triangulaire. Il reste à faire tendre \(n\) vers l’infini, la norme étant continue.

Prenons \(z=\frac{4}{5}e^{i\pi/3}\) et la série \(\sum_{k\geqslant 0} z^k\) dans \(\mathbb{C}\), vu comme le plan \(\mathbb{R}^2\). D’abord, \(|z^k|=(4/5)^k\) est le terme d’une série géométrique convergente : la série converge absolument. Ensuite, \(S_n=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}\) et \(z^{n+1}\to 0\), donc la somme vaut \(\dfrac{1}{1-z}\). Enfin, le reste se calcule exactement : \(R_n=\dfrac{z^{n+1}}{1-z}\), de module \(\dfrac{(4/5)^{n+1}}{|1-z|}\).

On considère des réels \(u_n\) strictement positifs dont le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) admet une limite \(\ell\in[0,+\infty]\).

• Si \(\ell<1\), la série \(\sum u_n\) converge.
• Si \(\ell>1\), la série diverge grossièrement.
• Si \(\ell=1\), on ne peut rien conclure.

Supposons \(\ell<1\) et choisissons \(q\) strictement entre \(\ell\) et \(1\). Il existe un rang \(N\) à partir duquel \(u_{n+1}\leqslant q\,u_n\). Par récurrence, \(u_n\leqslant u_N\,q^{\,n-N}\) pour \(n\geqslant N\). Le majorant est le terme d’une série géométrique convergente, donc \(\sum u_n\) converge. Supposons maintenant \(\ell>1\). À partir d’un certain rang, \(u_{n+1}\geqslant u_n\), donc la suite positive \((u_n)\) croît et ne tend pas vers \(0\).

Pour \(u_n=1/n\) et pour \(v_n=1/n^2\), le rapport tend vers \(1\) dans les deux cas. Pourtant, \(\sum u_n\) diverge et \(\sum v_n\) converge. Le cas \(\ell=1\) est donc réellement indécidable par cette règle.

Étudions \(u_n=\dfrac{(3n)!}{(n!)^3\,30^n}\). Le terme est strictement positif. On simplifie le rapport : \[\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^3\cdot 30}=\frac{3(3n+2)(3n+1)}{30\,(n+1)^2}.\] Le numérateur et le dénominateur sont de degré 2, donc le rapport tend vers \(\dfrac{27}{30}=\dfrac{9}{10}\). Comme \(9/10<1\), la série converge.

1. Vérifier que le terme est strictement positif, ou passer à la norme.
2. Écrire le rapport et simplifier les factorielles avant tout calcul de limite.
3. Pour les puissances \(n^n\), utiliser \(\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\to e^{-1}\).
4. Si la limite vaut 1, changer d’outil : équivalent, comparaison série-intégrale ou minoration directe.

On suppose \(f\) positive, décroissante et continue par morceaux sur \([a,+\infty[\). Alors, dès que l’entier \(k\) vérifie \(k\geqslant a+1\),\[\int_{k}^{k+1}f(t)\,\mathrm{d}t\leqslant f(k)\leqslant\int_{k-1}^{k}f(t)\,\mathrm{d}t.\]

Sous les mêmes hypothèses, la série \(\sum f(n)\) converge si et seulement si la suite \(\left(\int_a^n f\right)_n\) est bornée, c’est-à-dire si et seulement si \(f\) est intégrable sur \([a,+\infty[\). Dans le cas convergent, pour \(n\geqslant a\) : \[\int_{n+1}^{+\infty}f\leqslant R_n\leqslant\int_{n}^{+\infty}f.\]

Cherchons un équivalent de \(S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\). La fonction \(f(t)=1/\sqrt{t}\) est positive et décroissante sur \([1,+\infty[\). D’une part, en sommant \(\int_k^{k+1}f\leqslant f(k)\) pour \(1\leqslant k\leqslant n\), on obtient \(S_n\geqslant 2\sqrt{n+1}-2\). D’autre part, en sommant \(f(k)\leqslant\int_{k-1}^k f\) pour \(2\leqslant k\leqslant n\), on obtient \(S_n\leqslant 1+2\sqrt{n}-2=2\sqrt{n}-1\). Les deux bornes sont équivalentes à \(2\sqrt{n}\). Par encadrement, \(S_n\sim 2\sqrt{n}\).

1. Écrire le terme sous la forme \(f(k)\) et vérifier la monotonie de \(f\), au moins à partir d’un certain rang.
2. Écrire les deux inégalités du lemme, en séparant éventuellement les premiers termes.
3. Sommer, puis calculer les intégrales avec une primitive.
4. Conclure par encadrement, en vérifiant que les deux bornes ont le même équivalent.

La fonction \(g(t)=\frac{1}{t\ln t}\) est positive et décroissante sur \([2,+\infty[\), comme inverse d’un produit de fonctions positives croissantes. Une primitive est \(\ln(\ln t)\), qui tend vers \(+\infty\). Par conséquent, \(\sum_{k\geqslant 2}\frac{1}{k\ln k}\) diverge, et l’encadrement donne \(\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k\ln k}\sim\ln(\ln n)\). De même, pour \(h(t)=\frac{1}{t(\ln t)^2}\), une primitive est \(-\frac{1}{\ln t}\). La série associée converge donc, et son reste vérifie \(\sum_{k>n}\frac{1}{k(\ln k)^2}\sim\frac{1}{\ln n}\).

Soit \((v_n)\) positive avec \(\sum v_n\) convergente, et \((u_n)\) réelle ou complexe.

• Si \(u_n=O(v_n)\), alors \(\sum u_n\) converge absolument et \(\sum_{k>n}u_k=O\left(\sum_{k>n}v_k\right)\).
• Si \(u_n=o(v_n)\), alors \(\sum_{k>n}u_k=o\left(\sum_{k>n}v_k\right)\).
• Si \(u_n\sim v_n\), alors \(\sum u_n\) converge et \(\sum_{k>n}u_k\sim\sum_{k>n}v_k\).

Traitons le cas \(o\). Soit \(\varepsilon>0\). Il existe \(N\) tel que \(|u_k|\leqslant\varepsilon v_k\) pour \(k\geqslant N\). Pour \(n\geqslant N\), en sommant de \(n+1\) à l’infini, on obtient \(\left|\sum_{k>n}u_k\right|\leqslant\varepsilon\sum_{k>n}v_k\). C’est exactement la définition du \(o\). Ensuite, le cas \(\sim\) en découle, car \(u_n\sim v_n\) signifie \(u_n-v_n=o(v_n)\).

Cherchons un équivalent du reste \(R_n=\sum_{k>n}\sin\left(\frac{1}{k^2}\right)\). D’abord, \(\sin(1/k^2)\sim 1/k^2\), terme positif d’une série convergente. Ensuite, \(\frac{1}{k^2}\sim\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\), dont le reste vaut exactement \(\frac{1}{n}\) par télescopage. En appliquant deux fois le théorème, on obtient \(R_n\sim\dfrac{1}{n}\).

Soit \((v_n)\) positive avec \(\sum v_n\) divergente, et \((u_n)\) réelle ou complexe.

• Si \(u_n=O(v_n)\), alors \(\sum_{k=0}^{n}u_k=O\left(\sum_{k=0}^{n}v_k\right)\).
• Si \(u_n=o(v_n)\), alors \(\sum_{k=0}^{n}u_k=o\left(\sum_{k=0}^{n}v_k\right)\).
• Si \(u_n\sim v_n\), alors \(\sum u_n\) diverge et \(\sum_{k=0}^{n}u_k\sim\sum_{k=0}^{n}v_k\).

Traitons encore le cas \(o\), et notons \(V_n=\sum_{k\leqslant n}v_k\), qui tend vers \(+\infty\). Soit \(\varepsilon>0\) et \(N\) tel que \(|u_k|\leqslant\varepsilon v_k\) pour \(k\geqslant N\). Pour \(n\geqslant N\), \[\left|\sum_{k=0}^{n}u_k\right|\leqslant\left|\sum_{k=0}^{N-1}u_k\right|+\varepsilon V_n.\] Le premier terme est une constante \(C_N\). Or \(V_n\to+\infty\), donc \(C_N\leqslant\varepsilon V_n\) à partir d’un certain rang. Finalement, la somme est majorée en module par \(2\varepsilon V_n\), ce qui prouve le \(o\).

Soit \(T_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+\sqrt{k}}\). Le terme est équivalent à \(\frac{1}{2k}\), positif, et \(\sum\frac{1}{2k}\) diverge. Par sommation des équivalents, \(T_n\sim\frac{1}{2}H_n\), où \(H_n\) est la somme harmonique. Comme \(H_n\sim\ln n\) par comparaison série-intégrale, on conclut que \(T_n\sim\dfrac{\ln n}{2}\).

Posons \(w_k=\frac{1}{k}-\ln(k+1)+\ln k=\frac{1}{k}-\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)\). Un développement limité donne \(w_k\sim\frac{1}{2k^2}\), terme positif d’une série convergente. Par télescopage, \(\sum_{k=1}^{n}w_k=H_n-\ln(n+1)\). Cette suite converge donc vers une limite notée \(\gamma\), la constante d’Euler. Pour le terme suivant, on utilise le cas convergent : \[H_n-\ln(n+1)-\gamma=-\sum_{k>n}w_k\sim-\sum_{k>n}\frac{1}{2k^2}\sim-\frac{1}{2n}.\] Enfin, \(\ln(n+1)=\ln n+\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\). On obtient finalement \(H_n=\ln n+\gamma+\dfrac{1}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\).

1. Trouver un premier équivalent de la somme, par comparaison série-intégrale ou par sommation.
2. Choisir une suite \((a_n)\) explicite dont les différences \(a_{k+1}-a_k\) approchent le terme \(u_k\).
3. Étudier \(u_k-(a_{k+1}-a_k)\) : si sa série converge, la somme vaut \(a_{n+1}+C+o(1)\).
4. Sommer le reste de cette série d’erreurs pour obtenir le terme suivant.

• Pour \(\alpha<1\), \(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^\alpha}\sim\frac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}\), par comparaison série-intégrale.
• Pour \(\alpha=1\), \(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sim\ln n\).
• Pour \(\alpha>1\), \(\sum_{k>n}\frac{1}{k^\alpha}\sim\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}\).
• Pour \(\alpha>-1\), \(\sum_{k=1}^{n}k^\alpha\sim\frac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1}\).
• Pour \(0<q<1\), \(\sum_{k>n}q^k=\frac{q^{n+1}}{1-q}\), et pour \(q>1\), \(\sum_{k=0}^{n}q^k\sim\frac{q^{n+1}}{q-1}\).

Soit \((a_n)_{n\geqslant 1}\) une suite réelle ou complexe qui converge vers \(\ell\). Alors la suite des moyennes \(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\) converge aussi vers \(\ell\). Le résultat reste vrai pour une suite réelle avec \(\ell=+\infty\).

Quitte à remplacer \(a_n\) par \(a_n-\ell\), supposons \(\ell=0\). Soit \(\varepsilon>0\) et \(N\) tel que \(|a_k|\leqslant\varepsilon\) pour \(k>N\). Pour \(n>N\), \[\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k\right|\leqslant\frac{1}{n}\left|\sum_{k=1}^{N}a_k\right|+\frac{n-N}{n}\,\varepsilon.\] Le premier terme tend vers 0 car le numérateur est fixe. Il devient donc inférieur à \(\varepsilon\) pour \(n\) grand, et le module de la moyenne est majoré par \(2\varepsilon\).

Si \(b_{n+1}-b_n\to\ell\), alors \(\dfrac{b_n}{n}\to\ell\). En particulier, si \(\ell\neq 0\), on a \(b_n\sim\ell n\).

Soit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n^2}\). Par récurrence, \(u_n>0\), et \(u_{n+1}\leqslant u_n\). La suite décroît et reste positive, donc elle converge vers \(\ell\geqslant 0\) qui vérifie \(\ell(1+\ell^2)=\ell\), soit \(\ell=0\). Ici, \(g(x)=x-x^3+o(x^3)\), donc on essaie \(\alpha=-2\). Le calcul est exact : \[\frac{1}{u_{n+1}^2}=\frac{(1+u_n^2)^2}{u_n^2}=\frac{1}{u_n^2}+2+u_n^2.\] Ainsi, \(\frac{1}{u_{n+1}^2}-\frac{1}{u_n^2}=2+u_n^2\to 2\). Par le corollaire de Cesàro, \(\frac{1}{u_n^2}\sim 2n\). On conclut que \(u_n\sim\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\).

Soit \(y_0=1\) et \(y_{n+1}=y_n+\frac{1}{y_n^2}\). D’abord, la suite est croissante, donc minorée par 1. Si elle convergeait vers \(\ell\geqslant 1\), on aurait \(\ell=\ell+\frac{1}{\ell^2}\), ce qui est impossible. Donc \(y_n\to+\infty\). Ensuite, développons le cube : \[y_{n+1}^3=y_n^3+3+\frac{3}{y_n^3}+\frac{1}{y_n^6}.\] Ainsi \(y_{n+1}^3-y_n^3\to 3\). Par le corollaire de Cesàro, \(y_n^3\sim 3n\), donc \(y_n\sim(3n)^{1/3}\).

Pour deviner l’exposant, on compare la récurrence à une équation différentielle. Ici, \(y^{\prime}=\frac{1}{y^2}\) donne \(\left(y^3\right)^{\prime}=3\), donc \(y^3\) est affine. C’est exactement la quantité qu’il fallait étudier.

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