Diagonalisation de matrices à paramètre : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : diagonalisation de matrices à paramètre

Le sujet du contrôle : diagonalisation de matrices à paramètre

Exercice 1 – Directions propres lues sur une figure (3 points)

On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\), identifiée à l’endomorphisme canoniquement associé de \(\mathbb{R}^2\). La figure ci-dessous représente quatre vecteurs \(\vec{u} = (1, 1)\), \(\vec{v} = (2, 1)\), \(\vec{w} = (1, 0)\) et \(\vec{z} = (0, 1)\), en bleu, ainsi que leurs images par \(A\), en orange.

1. Repérer sur la figure deux vecteurs propres de \(A\), puis le confirmer par le calcul en précisant les valeurs propres associées. (1 point)
2. Sans calculer le polynôme caractéristique, justifier que \(A\) est diagonalisable. Donner alors une matrice inversible \(P\), son inverse et une matrice diagonale \(D\) telles que \(A = PDP^{-1}\). (1 point)
3. Soient \((x_n)\) et \((y_n)\) les suites réelles telles que \(x_0 = 1\), \(y_0 = 0\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(x_{n+1} = 5x_n – 2y_n\) et \(y_{n+1} = x_n + 2y_n\). Calculer \(A^n\), puis en déduire \(x_n\) et \(y_n\) en fonction de \(n\). (1 point)

Exercice 2 – Une famille de matrices à paramètre (4 points)

Le paramètre \(a\) décrit \(\mathbb{R}\), et l’on étudie la matrice

\[M_a = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -a & 1 & a+1 \end{pmatrix}.\]

1. Calculer le produit de \(M_a\) par le vecteur colonne \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Que peut-on en conclure ? (0,5 point)
2. Montrer que le polynôme caractéristique de \(M_a\) vaut \(\chi_{M_a} = (X-1)(X-2)(X-a)\). Une indication : ajouter d’abord à la première colonne de \(XI_3 – M_a\) les deux autres. (1 point)
3. Discuter, selon la valeur de \(a\), la diagonalisabilité de \(M_a\). Les cas \(a = 1\) et \(a = 2\) seront traités avec soin, car ils demandent un calcul de rang. (1,5 point)
4. On suppose \(a \neq 2\). Déterminer un vecteur propre associé à chaque valeur propre, puis donner explicitement une matrice inversible \(P_a\) telle que \(P_a^{-1} M_a P_a = \mathrm{diag}(1, 2, a)\). Vérifier enfin que la même formule convient encore lorsque \(a = 1\). (1 point)

Exercice 3 – Le cas critique : trigonalisation et puissances (4 points)

Dans cet exercice, \(a = 2\) et l’on note simplement

\[M = M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.\]

On pose aussi \(e = (1, 0, 1)\) et \(f = (1, 1, 1)\), vus comme vecteurs colonnes.

1. Résoudre le système \((M – 2I_3)X = f\), puis vérifier que \(g = (0, 0, 1)\) en est une solution. (1 point)
2. Montrer que \((e, f, g)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). Écrire ensuite la matrice \(T\) qui représente dans cette base l’application \(X \mapsto MX\), sans effectuer de produit de trois matrices, et donner la matrice de passage \(P\) ainsi que \(P^{-1}\). (1 point)
3. Écrire \(T = \Delta + N\) avec \(\Delta\) diagonale et \(N\) nilpotente. Après avoir vérifié que \(\Delta\) et \(N\) commutent, calculer \(T^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). (1 point)
4. En déduire \(M^n\), puis contrôler le résultat pour \(n = 1\). (1 point)

Exercice 4 – Matrices de rang 1 (4 points)

Soit \(n \geq 2\). On se donne deux colonnes réelles non nulles \(U\) et \(V\) à \(n\) lignes, puis on pose \(A = UV^{\top} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On note \(s = V^{\top}U\), qui est un réel.

1. Montrer que \(A\) est de rang 1, que \(\mathrm{tr}(A) = s\) et que \(AU = sU\). (1 point)
2. Déterminer le noyau de \(A\) et sa dimension. En déduire que \(\chi_A = X^{n-1}(X – s)\), en citant précisément les résultats du cours utilisés. (1 point)
3. Établir que la diagonalisabilité de \(A\) équivaut à la condition \(\mathrm{tr}(A) \neq 0\). (1 point)
4. Application. On considère les deux matrices
   \[R = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 1 & -3 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad S = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 3 & 3 & -3 \end{pmatrix}.\]
   Dire laquelle est diagonalisable, puis donner pour elle une matrice de passage et la matrice diagonale associée. (1 point)

Exercice 5 – Problème : un jeton sur trois cases (5 points)

Un jeton se déplace sur trois cases \(A\), \(B\) et \(C\). Le réel \(p\) appartient à \(\left]0\,;\frac{1}{2}\right]\). À chaque seconde, le jeton change de case ou reste sur place selon les probabilités portées par les flèches du graphe suivant, indépendamment de son passé.

Le jeton part de la case \(A\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), on note \(a_n\), \(b_n\) et \(c_n\) les probabilités qu’il soit en \(A\), en \(B\) ou en \(C\) après \(n\) secondes, puis \(X_n\) le vecteur colonne de coordonnées \(a_n\), \(b_n\), \(c_n\).

Partie A : réduction de la matrice de transition

1. Justifier par la formule des probabilités totales qu’il existe une matrice \(M\), à expliciter, telle que \(X_{n+1} = MX_n\) pour tout \(n\). (0,5 point)
2. Montrer que \(1\) est valeur propre de la transposée de \(M\), donc de \(M\). Établir ensuite que \(\chi_M = (X-1)\left(X – \frac{1}{2}\right)\left(X – r\right)\), où \(r = \frac{1-4p}{2}\). (1 point)
3. Montrer que \(M\) est diagonalisable pour tout \(p\) de l’intervalle, puis vérifier que les colonnes de
   \[P = \begin{pmatrix} 2p & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 2p & -1 & 1 \end{pmatrix}\]
   sont des vecteurs propres. On admet que \(P^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{1+4p} & \frac{1}{1+4p} & \frac{1}{1+4p} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2(1+4p)} & \frac{-2p}{1+4p} & \frac{1}{2(1+4p)} \end{pmatrix}\). (1 point)

Partie B : comportement en temps long

4. Exprimer \(X_n\) à l’aide de \(P\), puis montrer que \(b_n = \dfrac{1 – r^n}{1 + 4p}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). (1 point)
5. Déterminer la limite de \(X_n\). Décrire ensuite la suite \((b_n)\) lorsque \(p = \frac{1}{4}\), puis lorsque \(p = \frac{1}{2}\). (1 point)
6. Prouver directement, à partir des relations de récurrence, que \(a_n – c_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\). (0,5 point)

Réviser diagonalisation de matrices à paramètre avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours polynôme caractéristique, diagonalisation, trigonalisation ; entraînez-vous sur les exercices polynôme caractéristique, diagonalisation, trigonalisation avant de retenter le sujet.

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