QCM : Sous-espaces stables et spectre en maths spé (MP)

Réponse A.

Pour des sous-espaces de dimension finie, la somme est directe exactement lorsque sa dimension égale le total des dimensions, ici \(3\). Or la somme est contenue dans \(\mathbb{R}^2\), donc elle est au plus un plan. Le piège principal se contente des intersections deux à deux : ce critère ne suffit qu’avec deux sous-espaces. De plus, l’énoncé suppose les droites distinctes, ce qui écarte l’idée de deux droites égales.

Réponse B.

Tout vecteur se décompose de façon unique en \(x=\sum x_i\), avec \(p_i(x)=x_i\). Par conséquent, la somme des projecteurs redonne \(x\). Ensuite, \(p_j(x)\) appartient à \(F_j\), dont la composante sur \(F_i\) est nulle si \(i\neq j\). Le piège \(p_i\circ p_j=p_j\) confond avec \(p_j\circ p_j\). Enfin, le produit de tous les projecteurs est nul dès que \(p\geq 2\).

Réponse C.

Le produit par blocs suit la règle du produit matriciel, en respectant l’ordre des facteurs. Le bloc en haut à droite vaut donc \(A\cdot B+B\cdot D\). Le piège \(2AB\) suppose que \(B\) et \(D\) commutent, ou même que \(D=A\). Ensuite, \(B^2\) calcule bloc par bloc comme un produit terme à terme. Enfin, \(DB\) inverse l’ordre, ce qui n’a souvent même pas de sens pour des tailles différentes.

Réponse A.

Pour une matrice triangulaire par blocs, \(\det M=\det A\times\det D=-6\), quel que soit le bloc \(C\). De plus, multiplier une matrice de taille \(5\) par \(2\) multiplie son déterminant par \(2^5=32\). Donc \(\det(2M)=-192\). Le piège \(-12\) traite le déterminant comme linéaire. Ensuite, \(-48\) n’utilise que la taille de \(D\). Enfin, \(-6\) oublie le facteur \(2\).

Réponse B.

La stabilité signifie que \(u(e_1)\) et \(u(e_2)\) restent dans \(P\). Autrement dit, les deux premières colonnes ont des coordonnées nulles sur \(e_3\) et \(e_4\), ce qui annule le bloc en bas à gauche. Le piège du bloc en haut à droite traduit la stabilité du plan engendré par \(e_3\) et \(e_4\). Par ailleurs, la forme diagonale par blocs exige les deux stabilités à la fois.

Réponse D.

Un vecteur propre de \(u_F\) est un vecteur non nul de \(F\) tel que \(u(x)=\lambda x\). C’est donc aussi un vecteur propre de \(u\). La réciproque est fausse : pour \(F=\{0\}\) ou une droite propre, le spectre induit est plus petit. Ensuite, un plan stable par une rotation de l’espace autour d’un axe n’est pas propre. Enfin, un bloc triangulaire non nul empêche le supplémentaire d’être stable.

Réponse B.

Pour chaque \(k\) entre \(0\) et \(n\), on a \(u(X^k)=kX^k\). Ainsi, chaque monôme est un vecteur propre, et la base canonique diagonalise \(u\). Le spectre contient donc \(n+1\) valeurs, sans aucun polynôme caractéristique à calculer. Le piège sans \(0\) oublie les constantes, dont la dérivée est nulle. Par ailleurs, \(\{0\}\) confond \(u\) avec la dérivation, qui est nilpotente.

Réponse D.

Les colonnes de \(K\) sont égales, donc \(K\) est de rang \(1\) et son noyau est un plan : \(0\) est valeur propre. De plus, \(K\) envoie le vecteur \((1,1,1)\) sur \((6,6,6)\), d’où la valeur propre \(6\). Le piège \(\{2\}\) lit les coefficients comme des valeurs propres, ce qui ne vaut que pour une matrice triangulaire. Ensuite, \(\{6\}\) oublie le noyau non trivial.

Réponse C.

La matrice \(R\) représente le quart de tour du plan, qui ne laisse aucune droite invariante. En effet, \(R\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) mène à \((\lambda^2+1)x=0\), impossible pour un réel \(\lambda\) et \(x\neq0\). Le piège \(\{i,-i\}\) donne le spectre complexe. Ensuite, \(\{1,-1\}\) correspond à une symétrie. Enfin, \(R\) est inversible.

Réponse A.

Supposons \(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0\). En appliquant \(u-\lambda_3\mathrm{id}\), on élimine \(x_3\), puis on recommence avec \(\lambda_2\) : il reste \(a_1(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_1-\lambda_3)x_1=0\), donc \(a_1=0\). Ainsi, par récurrence, la famille est libre. Le piège de la somme propre échoue, car les valeurs propres diffèrent. Cependant, rien n’impose \(\dim E=3\), ni un produit scalaire.

Réponse D.

Des espaces propres associés à des valeurs différentes ne se chevauchent pas : leur somme est directe. Le total cherché est donc la dimension d’un sous-espace de \(E\), au plus \(5\). De plus, chacun contient au moins une droite, d’où un total d’au moins \(3\). Le piège « toujours \(5\) » suppose l’endomorphisme diagonalisable. De même, « toujours \(3\) » impose des droites propres, ce que rien ne garantit.

Réponse C.

Comme \(u\) et \(v\) commutent, \(u\) appliqué à \(v(x)\) donne \(v\) appliqué à \(\lambda x\), soit \(\lambda\,v(x)\). Donc \(v(x)\) reste dans le sous-espace propre de \(u\), qui est stable par \(v\). Or ce sous-espace est une droite, si bien que \(v(x)=\mu x\). Le piège « même valeur » impose \(\mu=\lambda\) sans raison. De même, \(u\circ v\) agit sur \(x\) par \(\lambda\mu\), pas par \(\lambda^2\).