Normes subordonnées et compacité : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : normes subordonnées et compacité

Le sujet du contrôle : normes subordonnées et compacité

Exercice 1 – Normes d’une matrice et série de Neumann (4 points)

Sur \(\mathbb{R}^2\), on note \(\|X\|_\infty = \max(|x|, |y|)\) et \(\|X\|_1 = |x| + |y|\) pour \(X = (x, y)\). Pour une matrice \(M\) de taille 2, \(|||M|||_\infty\) et \(|||M|||_1\) désignent les normes subordonnées associées. On pose \(A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\). La figure montre alors la boule unité de \(\|\cdot\|_\infty\) et son image par \(A\).

1. Montrer que \(\|AX\|_\infty \leq 4\,\|X\|_\infty\) pour tout \(X\), puis trouver un vecteur qui réalise l’égalité. En déduire \(|||A|||_\infty\). (1,5 point)
2. Déterminer de même \(|||A|||_1\), en justifiant la majoration et le cas d’égalité. (1 point)
3. Soit \(B = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/3 \\ 1/4 & 1/2 \end{pmatrix}\). Calculer \(|||B|||_\infty\), puis justifier que la série \(\sum B^k\) converge et que \(I_2 – B\) est inversible d’inverse \(\sum_{k=0}^{+\infty} B^k\). Calculer enfin cet inverse et vérifier que sa norme \(|||\cdot|||_\infty\) est au plus \(6\). (1,5 point)

Exercice 2 – Deux formes linéaires sur les polynômes (4 points)

Pour \(P = \sum_{k=0}^{d} a_k X^k\) dans \(\mathbb{R}[X]\), on pose \(N_1(P) = \sum_{k=0}^{d} |a_k|\) et \(N_\infty(P) = \max_{k} |a_k|\) ; on admet que ce sont deux normes. On considère ensuite les formes linéaires \(\varphi(P) = P^{\prime}(1)\) et \(\psi(P) = \int_0^1 P(t)\,\mathrm{d}t\).

1. Prouver que \(\varphi\) n’est pas continue sur \(\left(\mathbb{R}[X], N_1\right)\). (1,5 point)
2. Établir la continuité de \(\psi\) pour \(N_1\), puis déterminer la valeur exacte de sa norme subordonnée. (1,5 point)
3. Établir que \(\psi\) n’est pas continue sur \(\left(\mathbb{R}[X], N_\infty\right)\). Que peut-on en conclure pour les normes \(N_1\) et \(N_\infty\) ? (1 point)

Exercice 3 – Distances atteintes et point fixe (4 points)

On travaille ici dans un espace normé \(E\) dont la dimension est finie.

1. On se donne un point \(a\) de \(E\) et un fermé \(F\) non vide. Montrer qu’il existe \(x_0 \in F\) tel que \(\|a – x_0\| = d(a, F)\). On pourra d’abord se ramener à l’intersection de \(F\) avec une boule fermée bien choisie. (1,5 point)
2. Dans \(\mathbb{R}^2\) muni de la norme euclidienne, on note \(H\) la branche d’hyperbole \(\{(x, y) : x > 0,\ xy = 1\}\), tracée ci-dessous avec quelques segments \([OM]\). Justifier que \(H\) est fermée, puis calculer \(d(O, H)\) sans calcul différentiel. (1 point)

3. Soit \(K\) un compact non vide de \(E\) et \(f : K \to K\) telle que \(\|f(x) – f(y)\| < \|x – y\|\) pour tous \(x \neq y\) de \(K\). En étudiant le minimum de \(g(x) = \|f(x) – x\|\), prouver que \(f\) admet un unique point fixe. (1,5 point)

Exercice 4 – Connexes ou non connexes par arcs (3 points)

On étudie d’abord deux ensembles de matrices, puis deux régions du plan délimitées par l’hyperbole d’équation \(x^2 – y^2 = 1\) : \(\Omega_1 = \{(x, y) : x^2 – y^2 < 1\}\) et \(\Omega_2 = \{(x, y) : x^2 – y^2 > 1\}\).

1. Montrer que \(GL_n(\mathbb{R})\) n’est pas connexe par arcs. (1 point)
2. Prouver que l’ensemble des matrices nilpotentes de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est connexe par arcs. (0,5 point)
3. Justifier que \(\Omega_1\) est étoilée par rapport à l’origine, donc connexe par arcs. (0,5 point)
4. Démontrer que \(\Omega_2\) n’est pas connexe par arcs, en considérant les points \((2, 0)\) et \((-2, 0)\). (1 point)

Exercice 5 – Problème : une borne supérieure jamais atteinte (5 points)

Soit \(E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})\). Pour \(f \in E\), on note \(\|f\|_\infty = \sup_{t \in [0, 1]} |f(t)|\) et \(\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\,\mathrm{d}t\). On définit enfin l’application \(T\) qui, à \(f \in E\), associe la primitive \(Tf\) de \(f\) nulle en \(0\) : \(Tf(x) = \int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\).

1. Justifier que \(T\) est un endomorphisme de \(E\). Montrer ensuite que \(T\) est continue pour \(\|\cdot\|_\infty\) et que sa norme subordonnée vaut \(1\), cette valeur étant atteinte. (1 point)
2. Prouver que \(\|Tf\|_1 \leq \|f\|_1\) pour tout \(f \in E\). (1 point)
3. Pour \(n \geq 1\), on note \(f_n\) la fonction égale à \(2n(1 – nt)\) sur \(\left[0\,;\frac{1}{n}\right]\) et nulle sur \(\left[\frac{1}{n}\,;1\right]\). Calculer \(\|f_n\|_1\), minorer \(\|Tf_n\|_1\), et en déduire la norme subordonnée de \(T\) pour \(\|\cdot\|_1\). (1 point)
4. Montrer qu’aucune fonction \(f\) non nulle ne vérifie \(\|Tf\|_1 = \|f\|_1\). (1 point)
5. Démontrer que, en dimension finie, la borne supérieure qui définit une norme subordonnée est toujours atteinte. Quelle conséquence la question 4 a-t-elle alors sur la sphère unité de \(\left(E, \|\cdot\|_1\right)\) ? (1 point)

Réviser normes subordonnées et compacité avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours compacité, connexité et applications linéaires continues ; entraînez-vous sur les exercices compacité, connexité et applications linéaires continues avant de retenter le sujet.

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