Ouverts, fermés et adhérence en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Deux parties du plan définies par des inégalités

On munit \(\mathbb{R}^2\) d’une norme quelconque et l’on pose :

\[U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ xy>1\text{ et }x+y<5\},\qquad F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ x^2+y^2\leq 4\text{ et }y\geq x^3\}.\]

1. Montrer que \(U\) est un ouvert de \(\mathbb{R}^2\).
2. Montrer de même que \(F\) est un fermé de \(\mathbb{R}^2\).
3. Vérifier que \((0,2)\in F\), puis montrer que \(F\) n’est pas un ouvert.

Exercice 2 – Intérieur, adhérence et frontière d’une partie de R

Dans \(\mathbb{R}\), on considère \(A=[0,2[\,\cup\{3\}\cup\big(]4,5[\,\cap\,\mathbb{Q}\big)\).

1. Déterminer l’intérieur de \(A\).
2. Déterminer ensuite l’adhérence de \(A\).
3. En déduire la frontière de \(A\). La partie \(A\) est-elle ouverte ? fermée ?

Exercice 3 – Un graphe fermé par les suites

1. Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) continue. Montrer, à l’aide de suites, que son graphe \(\Gamma=\{(x,f(x)),\ x\in\mathbb{R}\}\) est un fermé de \(\mathbb{R}^2\).
2. On pose \(H=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ x>0\text{ et }xy=1\}\). Montrer, toujours par les suites, que \(H\) est fermé dans \(\mathbb{R}^2\), bien que la condition \(x>0\) soit stricte.

Exercice 4 – Limites en l’origine de deux fonctions

Sur \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), on pose :

\[f(x,y)=\frac{y(2x^2+y^2)}{x^2+y^2},\qquad g(x,y)=\frac{x^2-2y^2}{x^2+y^2}.\]

1. Justifier que l’origine est adhérente à \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\).
2. Montrer que \(|f(x,y)|\leq 2|y|\), puis que \(f\) admet une limite en \((0,0)\), que l’on précisera.
3. Montrer enfin que \(g\) n’a pas de limite en \((0,0)\).

Exercice 5 – Racine carrée, uniforme continuité et caractère lipschitzien

1. Soit \(s\geq t\geq 0\). Montrer que \(\sqrt{s}-\sqrt{t}\leq\sqrt{s-t}\).
2. En déduire que la racine carrée est uniformément continue sur \([0,+\infty[\), en donnant un \(\delta\) explicite.
3. Montrer cependant qu’elle n’est pas lipschitzienne sur \([0,1]\).
4. Montrer enfin qu’elle est \(\frac{1}{2}\)-lipschitzienne sur \([1,+\infty[\).

Exercice 6 – Densité des nombres dyadiques

On note \(\mathcal{D}\) l’ensemble des nombres dyadiques, c’est-à-dire des réels \(p\,2^{-n}\) avec \(p\) entier relatif et \(n\) entier naturel.

1. Pour \(x\in\mathbb{R}\), on pose \(d_n=2^{-n}\lfloor 2^n x\rfloor\). Montrer que \(0\leq x-d_n<2^{-n}\).
2. En déduire que \(\mathcal{D}\) est dense dans \(\mathbb{R}\).
3. Montrer de plus que \(\mathcal{D}\cap[0,1]\) est dense dans \([0,1]\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Ouverts et fermés relatifs de ]0,1]

On note \(X=\,]0,1]\), vu comme partie de \(\mathbb{R}\).

1. Vérifier que \(A=\,]\frac{1}{2},1]\) est ouverte dans \(X\) sans l’être dans \(\mathbb{R}\).
2. Vérifier que \(B=\,]0,\frac{1}{3}]\) est fermée dans \(X\) sans l’être dans \(\mathbb{R}\).
3. Déterminer l’adhérence relative de \(]0,\frac{1}{2}[\) dans \(X\), c’est-à-dire l’ensemble des points de \(X\) adhérents à cette partie.

Exercice 8 – Parties remarquables de M3(R)

On munit \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) d’une norme quelconque.

1. Montrer que \(\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})\) est un ouvert, puis qu’il n’est pas fermé.
2. Montrer que l’ensemble \(\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),\ M^3=0\}\) est fermé, puis qu’il n’est pas ouvert.
3. On admet qu’une matrice est de rang au plus \(1\) si et seulement si tous ses mineurs d’ordre \(2\) sont nuls. Montrer que l’ensemble \(\mathcal{R}_1\) des matrices de rang au plus \(1\) est fermé.

Exercice 9 – Adhérence et intérieur d’une boule

Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé non réduit à \(\{0\}\), \(a\in E\) et \(r>0\).

1. Montrer d’abord que la boule fermée \(B_f(a,r)\) est un fermé de \(E\).
2. Montrer ensuite que l’adhérence de la boule ouverte \(B(a,r)\) est \(B_f(a,r)\).
3. Prouver que \(B(a,r)\) est exactement l’intérieur de \(B_f(a,r)\).
4. Quelle est la frontière de \(B(a,r)\) ?

Exercice 10 – Comatrice d’un produit par densité

Soit \(n\geq 2\). Pour \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on note \(\mathrm{com}(M)\) sa comatrice. On rappelle que \(M\,\mathrm{com}(M)^{\top}=\det(M)I_n\).

1. Montrer que, pour \(M\) inversible, \(\mathrm{com}(M)=\det(M)\,(M^{-1})^{\top}\).
2. En déduire que \(\mathrm{com}(AB)=\mathrm{com}(A)\,\mathrm{com}(B)\) pour toutes matrices \(A,B\) inversibles.
3. Établir cette égalité pour toutes matrices \(A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Exercice 11 – Adhérence du graphe de sin(1/x)

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne et l’on pose \(A=\{(x,\sin(1/x)),\ 0<x\leq 1\}\).

1. Soit \(b\in[-1,1]\). Construire une suite de points de \(A\) qui converge vers \((0,b)\).
2. Montrer que l’adhérence de \(A\) est \(A\cup\big(\{0\}\times[-1,1]\big)\).
3. La partie \(A\) est-elle fermée ?

Exercice 12 – Fonction continue compatible avec les milieux

Soit \(f:[0,1]\to\mathbb{R}\) continue, telle que \(f(0)=1\), \(f(1)=4\) et, pour tous \(x,y\in[0,1]\) :

\[f\Big(\frac{x+y}{2}\Big)=\frac{f(x)+f(y)}{2}.\]

1. Calculer \(f(\frac{1}{2})\), \(f(\frac{1}{4})\) et \(f(\frac{3}{4})\).
2. Montrer par récurrence sur \(n\) que \(f(\frac{p}{2^n})=1+\frac{3p}{2^n}\) pour tout entier \(p\) compris entre \(0\) et \(2^n\).
3. En déduire, à l’aide de l’exercice 6, que \(f(x)=1+3x\) pour tout \(x\in[0,1]\).

Exercice 13 – Distance à une partie

Soit \(A\) une partie non vide d’un espace normé \(E\). On pose \(d(x,A)=\inf_{a\in A}\|x-a\|\) pour \(x\in E\).

1. Montrer que \(|d(x,A)-d(y,A)|\leq\|x-y\|\) pour tous \(x,y\in E\).
2. Montrer ensuite que \(d(x,A)=0\) si et seulement si \(x\in\overline{A}\).
3. Pour \(\rho>0\), montrer que \(V_\rho=\{x\in E,\ d(x,A)<\rho\}\) est un ouvert contenant \(A\).
4. Dans \(\mathbb{R}^2\) euclidien, on prend \(A=\mathbb{Q}\times\{0\}\). Calculer \(d((x,y),A)\) et en déduire \(\overline{A}\).

Exercice 14 – Sous-espace d’intérieur non vide

1. Soit \(H\) un sous-espace vectoriel d’un espace normé \(E\). Montrer que si \(H\) contient une boule \(B(a,r)\) avec \(r>0\), alors \(H=E\).
2. Pour \(n\geq 2\), montrer que l’ensemble \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) des matrices symétriques est un fermé d’intérieur vide de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Pour approfondir

Exercice 15 – Fonctions nulles en 0 et choix de la norme

Soit \(E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})\), muni soit de \(\|f\|_\infty=\sup_{[0,1]}|f|\), soit de \(\|f\|_1=\int_0^1|f(t)|\,\mathrm{d}t\). On pose \(A=\{f\in E,\ f(0)=0\}\) et, pour \(n\geq 1\), \(f_n(x)=\min(nx,1)\).

1. Montrer que \(A\) est fermé dans \((E,\|\cdot\|_\infty)\).
2. Calculer \(\|f_n-1\|_1\), où \(1\) désigne la fonction constante. En déduire que \(A\) n’est pas fermé dans \((E,\|\cdot\|_1)\).
3. Montrer en revanche que \(A\) est dense dans \((E,\|\cdot\|_1)\).
4. Montrer par ailleurs que \(A\) est d’intérieur vide pour chacune des deux normes.
5. Que peut-on en déduire sur les normes \(\|\cdot\|_\infty\) et \(\|\cdot\|_1\) ?

Exercice 16 – Valeurs d’adhérence d’une suite

Soit \((u_n)\) une suite d’un espace normé \(E\). On appelle valeur d’adhérence de \((u_n)\) toute limite d’une suite extraite de \((u_n)\), et l’on note \(V\) leur ensemble. Pour \(n\in\mathbb{N}\), on pose \(T_n=\{u_k,\ k\geq n\}\).

1. Montrer que \(V\subset\overline{T_n}\) pour tout \(n\).
2. Réciproquement, soit \(\ell\in\bigcap_{n}\overline{T_n}\). Construire une extraction \(\varphi\) telle que \(\|u_{\varphi(k)}-\ell\|<\frac{1}{k+1}\) pour tout \(k\).
3. En déduire que \(V=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\overline{T_n}\), puis que \(V\) est fermé.
4. Dans \(\mathbb{C}\), déterminer \(V\) pour \(u_n=\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\pi/3}\).

Exercice 17 – Problème : sous-groupes additifs de R et cosinus des entiers

Soit \(G\) un sous-groupe de \((\mathbb{R},+)\) non réduit à \(\{0\}\). On pose \(a=\inf\big(G\cap\,]0,+\infty[\big)\).

1. Justifier que \(a\) est bien défini et que \(a\geq 0\).
2. On suppose \(a>0\). Montrer que \(a\in G\), puis que \(G=a\mathbb{Z}\).
3. On suppose \(a=0\). Montrer que \(G\) est dense dans \(\mathbb{R}\).
4. On admet que \(\pi\) est irrationnel. Montrer que \(G=\mathbb{Z}+2\pi\mathbb{Z}\) est dense dans \(\mathbb{R}\).
5. En déduire que l’adhérence de \(\{\cos n,\ n\in\mathbb{N}\}\) est le segment \([-1,1]\).

Exercice 18 – Problème : prolongement d’une fonction uniformément continue

Soit \(f:\,]0,1]\to\mathbb{R}\) uniformément continue.

1. Soit \((x_n)\) une suite de \(]0,1]\) qui tend vers \(0\). Montrer que \((f(x_n))\) est une suite de Cauchy, donc qu’elle converge.
2. Montrer que la limite de \((f(x_n))\) ne dépend pas de la suite \((x_n)\) choisie. En déduire que \(f\) admet une limite finie en \(0\).
3. Prouver, grâce à la question 2, que la fonction \(x\mapsto\sin(1/x)\) n’est pas uniformément continue sur \(]0,1]\).
4. Établir l’uniforme continuité de \(h:x\mapsto x\sin(1/x)\) sur \(]0,1]\).
5. Montrer enfin que \(h\) n’est pas lipschitzienne sur \(]0,1]\).

Pour aller plus loin

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