Polynôme minimal et lemme des noyaux en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Polynôme minimal d’une matrice triangulaire

On pose \(A=\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\).

1. Calculer \(\chi_A\) et donner le spectre de \(A\).
2. Calculer \((A-3I_3)(A+I_3)\).
3. En déduire le polynôme minimal \(\pi_A\).
4. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Quelle est la dimension de \(\mathbb{R}[A]\) ?

Exercice 2 – Une matrice annulée par un trinôme

Soit \(n\geq 1\) et \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^2-5A+6I_n=0\).

1. Montrer que \(A\) est inversible et exprimer \(A^{-1}\) comme polynôme en \(A\).
2. Montrer que \(\mathrm{Sp}(A)\subset\{2,3\}\).
3. Montrer que \(A\) est diagonalisable.
4. On suppose de plus \(\mathrm{tr}\,A=2n+1\). Déterminer la dimension de chaque sous-espace propre.

Exercice 3 – Une base de K[A] et le calcul de A³

On pose \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\), puis justifier que \(\pi_A=\chi_A\).
2. Donner une base de \(\mathbb{R}[A]\).
3. Exprimer \(A^3\) dans cette base, puis vérifier par un calcul direct.
4. Exprimer \(A^{-1}\) comme combinaison linéaire de \(I_2\) et \(A\).

Exercice 4 – Sous-algèbres de M2(R)

1. Parmi les parties suivantes de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), déterminer les sous-algèbres : les matrices triangulaires supérieures ; les matrices de trace nulle ; l’ensemble \(\Gamma\) des matrices \(\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\) avec \(a,b\) réels.
2. Montrer que \(\varphi:a+ib\mapsto\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\) est un morphisme injectif de \(\mathbb{R}\)-algèbres de \(\mathbb{C}\) dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), d’image \(\Gamma\).
3. On pose \(J=\varphi(i)\). Calculer \(J^2\) et déterminer \(\pi_J\). La matrice \(J\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ? dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) ?

La figure montre l’action de \(J\) sur un vecteur du plan : un quart de tour.

Exercice 5 – Un endomorphisme vérifiant u³ = 4u

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathcal{L}(E)\) tel que \(u^3=4u\).

1. Montrer que \(\mathrm{Sp}(u)\subset\{-2,0,2\}\).
2. Montrer que \(u\) est diagonalisable et écrire \(E\) comme somme directe de trois noyaux.
3. Montrer que \(\mathrm{Im}\,u=\ker(u-2\,\mathrm{Id})\oplus\ker(u+2\,\mathrm{Id})\).

Exercice 6 – Cayley-Hamilton en taille deux

On pose \(A=\begin{pmatrix}5&-2\\3&1\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\) et en déduire une relation entre \(A^2\), \(A\) et \(I_2\).
2. En déduire \(A^{-1}\), puis vérifier le résultat.
3. Exprimer \(A^3\) en fonction de \(A\) et \(I_2\).
4. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ? dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) ?

Exercice 7 – Une matrice nilpotente d’indice trois

On pose \(N=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(N^2\) et \(N^3\). En déduire l’indice de nilpotence et \(\pi_N\).
2. Montrer que \(I_3+N\) est inversible et calculer son inverse sans pivot de Gauss.
3. La matrice \(N\) est-elle diagonalisable ?

Pour s’entraîner

Exercice 8 – Le cas u³ = u²

Soit \(E\) de dimension finie et \(u\in\mathcal{L}(E)\) tel que \(u^3=u^2\).

1. Montrer que \(E=\ker u^2\oplus\ker(u-\mathrm{Id})\).
2. Montrer que \(\mathrm{Sp}(u)\subset\{0,1\}\).
3. Montrer que \(u\) est diagonalisable si et seulement si \(u\) est un projecteur.
4. Vérifier que \(A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) vérifie \(A^3=A^2\) sans être diagonalisable.

Exercice 9 – Matrices réelles telles que A³ = I

Soit \(n\geq 1\) et \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^3=I_n\). On note \(j=e^{2i\pi/3}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\), avec un spectre inclus dans \(\{1,j,\bar{j}\}\).
2. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) si et seulement si \(A=I_n\).
3. Justifier que \(j\) et \(\bar{j}\) ont la même multiplicité, puis montrer que \(\mathrm{tr}\,A\) est un entier congru à \(n\) modulo 3.
4. Vérifier ce résultat sur la matrice de rotation d’angle \(\frac{2\pi}{3}\) dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).

Exercice 10 – Polynôme minimal de ap + b Id

Soit \(E\) de dimension finie et \(p\) un projecteur de \(E\), distinct de \(0\) et de \(\mathrm{Id}\). Soit \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a\neq 0\), et \(u=ap+b\,\mathrm{Id}\).

1. Déterminer \(\pi_p\).
2. Calculer \((u-b\,\mathrm{Id})\circ(u-(a+b)\mathrm{Id})\).
3. En déduire \(\pi_u\), le spectre de \(u\), et justifier que \(u\) est diagonalisable.
4. Application : déterminer le polynôme minimal de \(s=2p-\mathrm{Id}\) et interpréter \(s\) géométriquement.

La figure représente un projecteur de \(\mathbb{R}^3\) sur un plan parallèlement à une droite.

Exercice 11 – Puissances par division euclidienne

On pose \(A=\begin{pmatrix}3&-1&1\\1&1&1\\0&0&3\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(\chi_A=(X-2)^2(X-3)\).
2. Calculer \((A-2I_3)(A-3I_3)\). En déduire \(\pi_A\) et la diagonalisabilité de \(A\).
3. Soit \(m\in\mathbb{N}\). On écrit \(X^m=Q_m\chi_A+R_m\) avec \(R_m=\alpha+\beta(X-2)+\gamma(X-2)^2\). Déterminer \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\).
4. En déduire l’expression explicite de \(A^m\).

Exercice 12 – Une matrice compagnon

On pose \(P=X^3-2X^2-X+2\) et \(C=\begin{pmatrix}0&0&-2\\1&0&1\\0&1&2\end{pmatrix}\). On note \((e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\).

1. Calculer \(\chi_C\).
2. Calculer \(Ce_1\) et \(C^2e_1\), puis prouver que \(C\) n’admet aucun polynôme annulateur non nul de degré inférieur ou égal à 2. Conclure que \(\pi_C=P\).
3. Factoriser \(P\). En déduire que \(C\) est diagonalisable et donner une base de vecteurs propres.
4. Quelle est la dimension de \(\mathbb{R}[C]\) ?

Exercice 13 – Sous-espaces caractéristiques en taille trois

On pose \(A=\begin{pmatrix}2&1&-1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\).
2. Déterminer \(\ker(A-2I_3)\), \(\ker(A-I_3)\) et \(\ker(A-I_3)^2\).
3. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Déterminer \(\pi_A\).
4. Vérifier que \(\mathbb{R}^3=\ker(A-2I_3)\oplus\ker(A-I_3)^2\), puis trouver une matrice inversible \(Q\) telle que \(Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\).

Exercice 14 – L’opérateur de différence sur R3[X]

Sur \(E=\mathbb{R}_3[X]\), on pose \(\Delta(P)=P(X+1)-P(X)\).

1. Montrer que \(\Delta\) est un endomorphisme de \(E\) qui abaisse le degré d’exactement une unité pour tout polynôme non constant. Écrire sa matrice dans la base \((1,X,X^2,X^3)\).
2. Montrer que \(\Delta\) est nilpotent, préciser son indice et \(\pi_\Delta\).
3. Déterminer \(\ker\Delta^k\) pour \(1\leq k\leq 4\).
4. On note \(T=\mathrm{Id}+\Delta\), de sorte que \(T(P)=P(X+1)\). Exprimer \(T^{-1}\) comme polynôme en \(\Delta\), puis vérifier que \(T^{-1}(X^3)=(X-1)^3\).

Exercice 15 – Une somme de rangs

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^3-3A^2+2A=0\).

1. Établir la diagonalisabilité de \(A\) et lister ses valeurs propres envisageables.
2. Montrer que \(\mathrm{rg}\,A+\mathrm{rg}(A-I_n)+\mathrm{rg}(A-2I_n)=2n\).
3. On suppose de plus \(A\) inversible. Montrer que \(A^2-3A+2I_n=0\).

Exercice 16 – Inverse par Cayley-Hamilton en taille trois

On pose \(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(\chi_A=(X-1)^3-1\), puis factoriser \(\chi_A\) dans \(\mathbb{R}[X]\) et dans \(\mathbb{C}[X]\).
2. À l’aide de Cayley-Hamilton, exprimer \(A^{-1}\) comme polynôme en \(A\) et la calculer.
3. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) ? dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{C})\) ? Déterminer \(\pi_A\).

Pour approfondir

Exercice 17 – Restriction et codiagonalisation

Soit \(E\) de dimension finie, et \(u,v\in\mathcal{L}(E)\) deux endomorphismes diagonalisables qui commutent.

1. Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(u\). Prouver que \(v\) laisse stable \(E_\lambda(u)\).
2. Montrer que l’endomorphisme induit par \(v\) sur chaque sous-espace propre de \(u\) est diagonalisable.
3. En déduire l’existence d’une base de \(E\) formée de vecteurs propres communs à \(u\) et \(v\).
4. Application : soit \(A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telles que \(A^2=B^2=I_n\) et \(AB=BA\). Montrer que \(AB\) est diagonalisable et que \(\mathrm{Sp}(AB)\subset\{-1,1\}\).

Exercice 18 – Nilpotent d’indice maximal

Soit \(E\) de dimension \(n\geq 2\) et \(u\in\mathcal{L}(E)\) nilpotent d’indice \(p\). On note \(d_k=\dim\ker u^k\).

1. Soit \(x\) tel que \(u^{p-1}(x)\neq 0\). Montrer que \((x,u(x),\dots,u^{p-1}(x))\) est libre. Retrouver \(p\leq n\).
2. Montrer que si \(\ker u^k=\ker u^{k+1}\), alors \(\ker u^{k+1}=\ker u^{k+2}\). En déduire que \((d_k)\) est strictement croissante pour \(0\leq k\leq p\).
3. En considérant la restriction de \(u^k\) à \(\ker u^{k+1}\), montrer que \(d_{k+1}-d_k\leq d_1\).
4. Montrer que \(p=n\) si et seulement si \(\dim\ker u=1\).
5. Dans ce cas, écrire la matrice de \(u\) dans la base \((u^{n-1}(x),\dots,u(x),x)\).

Exercice 19 – Problème : racines carrées d’une matrice

On cherche les matrices \(B\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telles que \(B^2=M\), pour plusieurs matrices \(M\).

Partie A. Ici, \(M=D=\mathrm{diag}(1,4,9)\).

1. Montrer que toute solution \(B\) commute avec \(D\).
2. Montrer qu’une matrice qui commute avec \(D\) est diagonale.
3. En déduire toutes les solutions de \(B^2=D\). Combien y en a-t-il ?
4. Déterminer le polynôme \(L\) de degré au plus 2 tel que \(L(1)=1\), \(L(4)=2\) et \(L(9)=3\). Vérifier que \(L(D)\) est une solution.

Partie B. Ici, \(M\) est une matrice réelle quelconque de valeurs propres \(1\), \(4\) et \(9\).

5. Montrer que \(M\) est diagonalisable et que toute solution \(B\) laisse stable chaque droite propre de \(M\).
6. En déduire que l’équation \(B^2=M\) possède exactement 8 solutions, toutes polynômes en \(M\).

Partie C. Ici, \(M=J=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\).

7. Supposons que \(B\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C})\) vérifie \(B^2=J\). Montrer que \(B\) est nilpotente, puis que \(B^3=0\).
8. En déduire une contradiction, puis conclure.

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