Quiz polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton en MP

Quiz polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton en maths spé (MP)

Teste tes réflexes de réduction : spectre lu sur un polynôme annulateur, diagonalisabilité, lemme des noyaux, nilpotence et inversion grâce à Cayley-Hamilton.

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz express passe en revue les gestes à avoir en tête quand un énoncé te donne une relation polynomiale vérifiée par un endomorphisme. Tu dois localiser le spectre à partir des racines, décider si l'endomorphisme est diagonalisable en regardant si le polynôme est scindé à racines simples, repérer l'hypothèse indispensable du lemme des noyaux, et utiliser le théorème de Cayley-Hamilton pour exprimer un inverse ou une puissance.

Chaque question se traite de tête en moins d'une minute. Fais-le avant une colle de réduction ou un TD sur les endomorphismes nilpotents : une erreur montre souvent une confusion entre polynôme minimal et polynôme caractéristique, ou une hypothèse oubliée. Note les questions ratées, relis la propriété correspondante dans ton cours, puis refais le quiz la veille du partiel pour vérifier que le réflexe tient.

Aller plus loin sur polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton

Une erreur ? Reprends le cours de maths spé (MP), les exercices corrigés ou le QCM détaillé sur Maths PDF, puis retente le quiz. Tous les chapitres de l’année sont réunis sur la page maths spé (MP).

Questions fréquentes : polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton en MP

Un polynôme annulateur donne-t-il exactement les valeurs propres ?

Non : il donne seulement des candidates. Chaque valeur propre est racine du polynôme annulateur, mais une racine de ce polynôme n'est pas forcément valeur propre ; seules les racines du polynôme minimal le sont toutes.

Quel lien entre polynôme minimal et polynôme caractéristique ?

Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique (Cayley-Hamilton) et les deux ont les mêmes racines. Leurs multiplicités peuvent différer.

Comment prouver qu'une matrice est diagonalisable sans calculer ses vecteurs propres ?

Il suffit d'exhiber un polynôme annulateur scindé à racines simples sur le corps de base. C'est une condition nécessaire et suffisante.

Quiz polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton en maths spé (MP)

L'endomorphisme \(u\) vérifie \(u^2 - 3u + 2\,\mathrm{id} = 0\). Ses valeurs propres sont :

Un endomorphisme \(u\) de \(\mathbb{R}^n\) vérifie \(u^3 = u\). Alors \(u\) est :

La dimension de la sous-algèbre \(K[u]\) est égale à :

Pour \(A\) carrée d'ordre 2, Cayley-Hamilton donne \(A^2 =\) :

\(N\) est une matrice nilpotente de taille 5. Que peut-on affirmer à coup sûr ?

Pour écrire \(\ker (PQ)(u) = \ker P(u) \oplus \ker Q(u)\), il faut \(P\) et \(Q\) :

\(A = 2I_3 + N\) avec \(N \neq 0\) et \(N^2 = 0\). Polynôme minimal de \(A\) ?

Si \(A^3 - 2A + 3I = 0\), alors \(A\) est inversible et \(A^{-1}\) vaut :

\(\lambda\) est valeur propre de \(u\) et \(P(u) = 0\). On en déduit :

\(\lambda\) est racine d'ordre \(m\) de \(\chi_u\). La dimension de \(\ker (u - \lambda\,\mathrm{id})^m\) est :

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Aller plus loin sur polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton

Questions fréquentes : polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton en MP