Quiz comparer des normes rapidement en MP

Sur \( C([0,1],\mathbb{R}) \), les normes \( \|\cdot\|_1 \) et \( \|\cdot\|_\infty \) sont-elles équivalentes ?

A.Non, seule \( \|f\|_1\le\|f\|_\infty \) est vraieB.Oui, comme toutes les normesC.Non, seule \( \|f\|_\infty\le\|f\|_1 \) est vraieD.Oui, car \( [0,1] \) est compact

Pour prouver que \( N \) et \( N^{\prime} \) ne sont pas équivalentes, on cherche \( (x_n) \) non nulle telle que :

A.\( N(x_n)/N^{\prime}(x_n) \) reste bornéeB.\( N(x_n)\to0 \) et \( N^{\prime}(x_n)\to0 \)C.\( N(x_n)/N^{\prime}(x_n)\to+\infty \)D.\( N(x_n)/N^{\prime}(x_n)\to1 \)

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz express fait travailler les automatismes sur les normes : calculer les normes 1, 2 et infinie d'un vecteur, visualiser la boule unité, retrouver la constante optimale entre deux normes de \( \mathbb{K}^n \) et identifier l'axiome qui manque à une fausse norme. Il insiste aussi sur la dimension infinie, où des normes usuelles sur les fonctions continues cessent d'être équivalentes.

Lance-le avant une colle de topologie ou un TD sur les espaces normés : vise un score parfait en quelques minutes, puisque ces vérifications doivent devenir instinctives. La correction immédiate te montre quel réflexe reprendre. Avant un partiel, complète par la rédaction d'une preuve de non-équivalence avec une suite de fonctions bien choisie, en écrivant précisément le quotient des deux normes et sa limite, car c'est souvent là que les points se perdent.

Aller plus loin sur comparer des normes rapidement

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Questions fréquentes : comparer des normes rapidement en MP

Comment prouver que deux normes ne sont pas équivalentes ?

On construit une suite de vecteurs non nuls pour laquelle le quotient des deux normes tend vers l'infini. Aucune constante ne peut alors majorer une norme par l'autre.

Toutes les normes sont-elles équivalentes ?

Oui en dimension finie, c'est un théorème du cours. En dimension infinie c'est faux, par exemple pour les normes 1 et infinie sur les fonctions continues sur un segment.

À quoi sert de savoir que deux normes sont équivalentes ?

Des normes équivalentes définissent les mêmes suites convergentes, les mêmes parties bornées et les mêmes ouverts : on peut donc choisir la norme la plus pratique pour chaque calcul.

Quiz comparer des normes rapidement en maths spé (MP)

Que vaut \( \|(3,-4,1)\|_1 \) ?

Dans \( \mathbb{R}^n \), la plus petite constante \( c \) telle que \( \|x\|_1\le c\,\|x\|_\infty \) pour tout \( x \) est :

Quel axiome de norme échoue pour \( N(x,y)=|x| \) sur \( \mathbb{R}^2 \) ?

Dans \( \mathbb{R}^2 \), la boule unité fermée de la norme infinie est :

Sur \( C([0,1],\mathbb{R}) \), les normes \( \|\cdot\|_1 \) et \( \|\cdot\|_\infty \) sont-elles équivalentes ?

Pour \( f_n(x)=x^n \) sur \( [0,1] \), le quotient \( \|f_n\|_\infty/\|f_n\|_1 \) vaut :

Dans \( \mathbb{R}^2 \), la suite \( \big((-1)^n,\,1/n\big) \) :

Dans un espace normé, toute boule est forcément :

Pour prouver que \( N \) et \( N^{\prime} \) ne sont pas équivalentes, on cherche \( (x_n) \) non nulle telle que :

Distance entre \( (1,2) \) et \( (4,-2) \) pour la norme infinie :

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