Normes et normes équivalentes en maths spé (MP) : cours et méthodes

Une norme sur \(E\) est une application \(N : E \to \mathbb{R}_+\) telle que, pour tous \(x, y \in E\) et tout \(\lambda \in \mathbb{K}\) :

• séparation : \(N(x) = 0 \Rightarrow x = 0\) ;
• homogénéité : \(N(\lambda x) = |\lambda| \cdot N(x)\) ;
• inégalité triangulaire : \(N(x + y) \leqslant N(x) + N(y)\).

Le couple \((E, N)\) s’appelle alors un espace vectoriel normé.

Pour tous \(x, y \in E\), on a la seconde inégalité triangulaire :

\[ \bigl| N(x) – N(y) \bigr| \leqslant N(x – y). \]

Le vecteur \(x\) se décompose en \(y\) plus \(x – y\). Appliquée à cette somme, l’inégalité triangulaire fournit la majoration \(N(x) – N(y) \leqslant N(x – y)\). Puis nous permutons \(x\) et \(y\) : comme \(N(y – x)\) coïncide avec \(N(x – y)\), la différence \(N(y) – N(x)\) admet le même majorant. Une valeur absolue majorée des deux côtés conclut.

À la norme \(N\), on associe la distance \(d\) donnée par \(d(x, y) = N(x – y)\). Elle ne s’annule que lorsque \(x\) et \(y\) coïncident, elle est symétrique et elle obéit à l’inégalité \(d(x, z) \leqslant d(x, y) + d(y, z)\).

Soit \(u : E \to F\) linéaire et \(\nu\) une norme sur \(F\). Alors \(N = \nu \circ u\) est une semi-norme sur \(E\). C’est une norme si et seulement si \(u\) est injective.

L’homogénéité vient de \(u(\lambda x) = \lambda u(x)\). De même, l’inégalité triangulaire vient de \(u(x + y) = u(x) + u(y)\) et de celle de \(\nu\). Ensuite, \(N(x) = 0\) équivaut à \(u(x) = 0\) par séparation de \(\nu\). Par conséquent, \(N\) sépare les points exactement lorsque \(\ker u = \{0\}\).

1. Vérifier que l’application est bien définie et à valeurs positives.
2. Traiter l’homogénéité, en sortant \(|\lambda|\) et pas \(\lambda\).
3. Établir l’inégalité triangulaire, souvent terme à terme puis par passage au sup ou à la somme.
4. Finir par la séparation : supposer \(N(x) = 0\) et en déduire \(x = 0\) avec un argument propre à l’espace (racines d’un polynôme, continuité, injectivité).
5. Si l’application est de la forme \(\nu \circ u\), il suffit de prouver que \(u\) est linéaire et injective.

Sur \(\mathbb{R}^2\), posons \(N(a, b) = 2|a| + |a + b|\). L’application \(u(a, b) = (2a, a + b)\) est linéaire, et son déterminant vaut \(2 \neq 0\). Elle est donc injective. Or \(N = \|\cdot\|_1 \circ u\), donc \(N\) est une norme. Par exemple, \(N(1, -3) = 2 + 2 = 4\).

Fixons un centre \(a\) dans \(E\) et un rayon \(r\) strictement positif. Les points situés à une distance de \(a\) :

• strictement inférieure à \(r\) forment la boule ouverte \(B(a, r)\) ;
• inférieure ou égale à \(r\) forment la boule fermée \(B_f(a, r)\) ;
• exactement égale à \(r\) forment la sphère \(S(a, r)\).

On qualifie de convexe une partie \(C\) de \(E\) qui renferme, avec deux points \(x\) et \(y\), tout le segment qui les relie, c’est-à-dire chaque barycentre \((1 – t)x + ty\) obtenu pour \(t\) entre 0 et 1.

Toute boule, ouverte ou fermée, d’un espace normé est convexe.

Prenons deux points \(x\) et \(y\) de \(B_f(a, r)\) et un poids \(s \in [0, 1]\). Notons \(z = sx + (1 – s)y\). Comme les poids \(s\) et \(1 – s\) ont pour somme 1, le vecteur \(z – a\) vaut \(s(x – a) + (1 – s)(y – a)\). Nous appliquons l’inégalité triangulaire, puis l’homogénéité :

\[ N(z – a) \leqslant s\,N(x – a) + (1 – s)\,N(y – a) \leqslant sr + (1 – s)r = r. \]

Pour la boule ouverte, le même calcul fonctionne : il suffit de rendre stricte la dernière majoration.

Sur \(\mathbb{R}^2\), posons \(M(x, y) = \bigl(\sqrt{|x|} + \sqrt{|y|}\bigr)^2\). Cette application est séparante et homogène. Cependant, \(M(1, 0) = M(0, 1) = 1\), tandis que le milieu vérifie \(M(1/2, 1/2) = (2/\sqrt{2})^2 = 2 > 1\). La « boule unité » n’est donc pas convexe, et \(M\) n’est pas une norme.

On dit que \(A \subset E\) est bornée lorsque la norme reste majorée sur \(A\) par une même constante \(R\). Pour une suite \((u_n)\), on exige qu’un même \(R\) majore tous les \(N(u_n)\). Une fonction \(f : X \to E\), définie sur un ensemble quelconque \(X\), est bornée si son image \(f(X)\) l’est.

Pour \(x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{K}^n\), on pose :

\[ \|x\|_1 = \sum_{k=1}^{n} |x_k|, \qquad \|x\|_2 = \Bigl(\sum_{k=1}^{n} |x_k|^2\Bigr)^{1/2}, \qquad \|x\|_\infty = \max_{1 \leqslant k \leqslant n} |x_k|. \]

Pour tout \(x \in \mathbb{K}^n\), on a les encadrements :

\[ \|x\|_\infty \leqslant \|x\|_1 \leqslant n\,\|x\|_\infty, \qquad \|x\|_\infty \leqslant \|x\|_2 \leqslant \sqrt{n}\,\|x\|_\infty, \qquad \|x\|_2 \leqslant \|x\|_1. \]

Soit \(k_0\) un indice tel que \(|x_{k_0}| = \|x\|_\infty\). D’abord, chaque somme contient le terme d’indice \(k_0\), ce qui donne les minorations par \(\|x\|_\infty\). Ensuite, chaque \(|x_k|\) est majoré par \(\|x\|_\infty\), d’où les majorations par \(n\|x\|_\infty\) pour la norme 1 et par \(\sqrt{n}\,\|x\|_\infty\) pour la norme 2. Enfin, \(\|x\|_1^2\) est la somme des \(|x_k|^2\) et de doubles produits positifs : elle dépasse donc \(\|x\|_2^2\).

Prenons \(x = (4, -1, 0, 8) \in \mathbb{R}^4\). On trouve \(\|x\|_1 = 13\), puis \(\|x\|_2 = \sqrt{16 + 1 + 64} = 9\) et \(\|x\|_\infty = 8\). On vérifie bien \(8 \leqslant 9 \leqslant 13 \leqslant 32\). Les constantes \(n = 4\) et \(\sqrt{n} = 2\) sont atteintes pour le vecteur \((1, 1, 1, 1)\) : c’est le cas où toutes les coordonnées ont le même module.

Les applications \(f\) bornées d’un ensemble \(X\) non vide vers \(\mathbb{K}\) forment un espace vectoriel. À chacune, nous associons la borne supérieure de \(|f|\) sur \(X\), notée \(\|f\|_\infty\). Ce nombre définit une norme : la norme de la convergence uniforme.

Sur \(C([a, b], \mathbb{K})\), avec \(a < b\), on pose :

\[ \|f\|_1 = \int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t, \qquad \|f\|_2 = \Bigl(\int_a^b |f(t)|^2\,\mathrm{d}t\Bigr)^{1/2}. \]

La première est la norme de la convergence en moyenne, la seconde celle de la convergence en moyenne quadratique.

Sur \([0, 1]\), prenons \(f(t) = \cos(\pi t)\). D’abord, \(\|f\|_\infty = 1\), atteint en \(0\) et en \(1\). Ensuite, \(f\) change de signe en \(1/2\), donc :

\[ \|f\|_1 = 2\int_0^{1/2} \cos(\pi t)\,\mathrm{d}t = \frac{2}{\pi}. \]

Enfin, \(\cos^2(\pi t) = \bigl(1 + \cos(2\pi t)\bigr)/2\) donne \(\|f\|_2^2 = 1/2\), soit \(\|f\|_2 = 1/\sqrt{2}\). On observe que \(\|f\|_\infty \geqslant \|f\|_2\) et que \(\|f\|_2 \geqslant \|f\|_1\) : c’est un fait général sur un segment de longueur 1.

Soit \((E_1, N_1), \dots, (E_p, N_p)\) des espaces normés. Sur \(E = E_1 \times \dots \times E_p\), l’application

\[ N(x_1, \dots, x_p) = \max_{1 \leqslant i \leqslant p} N_i(x_i) \]

est une norme, appelée norme produit.

Une suite \((u_n)\) d’éléments de \(E\) converge vers \(\ell \in E\) si \(N(u_n – \ell) \to 0\). Autrement dit, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un rang \(n_0\) tel que \(N(u_n – \ell) \leqslant \varepsilon\) pour tout \(n \geqslant n_0\).

Une suite admet au plus une limite. Si elle converge, elle est bornée. De plus, lorsque \(u_n \to \ell\) et \(v_n \to \ell^{\prime}\), la suite \(u_n + \lambda v_n\) tend vers \(\ell + \lambda \ell^{\prime}\) pour tout scalaire \(\lambda\), et la suite réelle \(N(u_n)\) tend vers \(N(\ell)\).

Pour l’unicité, on majore \(N(\ell – \ell^{\prime}) \leqslant N(\ell – u_n) + N(u_n – \ell^{\prime})\), qui tend vers 0. Donc \(N(\ell – \ell^{\prime}) = 0\) et \(\ell = \ell^{\prime}\). Ensuite, la convergence de \(N(u_n)\) vient de la seconde inégalité triangulaire : \(|N(u_n) – N(\ell)| \leqslant N(u_n – \ell)\). Le caractère borné et la linéarité se prouvent comme dans \(\mathbb{R}\).

Dans \(C([0, 1], \mathbb{R})\), posons \(f_n(t) = t^n\). Calculons les trois normes :

\[ \|f_n\|_\infty = 1, \qquad \|f_n\|_1 = \frac{1}{n + 1}, \qquad \|f_n\|_2 = \frac{1}{\sqrt{2n + 1}}. \]

Ainsi, \(f_n \to 0\) pour \(\|\cdot\|_1\) et pour \(\|\cdot\|_2\). En revanche, \((f_n)\) ne converge pas pour \(\|\cdot\|_\infty\). En effet, une limite \(g\) pour \(\|\cdot\|_\infty\) serait aussi une limite pour \(\|\cdot\|_1\), puisque \(\|h\|_1 \leqslant \|h\|_\infty\). Donc \(g = 0\), ce qui contredit \(\|f_n – 0\|_\infty = 1\).

Choisissons une application \(\varphi\), de \(\mathbb{N}\) dans lui-même, strictement croissante. La suite de terme général \(u_{\varphi(n)}\) s’appelle alors une suite extraite de \((u_n)\). On nomme valeur d’adhérence de \((u_n)\) tout vecteur vers lequel converge au moins une de ses suites extraites.

Extraire d’une suite qui tend vers \(\ell\) produit encore une suite qui tend vers \(\ell\). Ainsi, la limite d’une suite convergente est sa seule valeur d’adhérence. À l’inverse, deux valeurs d’adhérence différentes interdisent la convergence.

1. Repérer une périodicité ou une alternance dans la définition de \(u_n\), par exemple \((-1)^n\) ou \(\cos(n\pi/2)\).
2. Découper \(\mathbb{N}\) en classes (pairs et impairs, restes modulo 4…) et calculer la limite de la suite extraite sur chaque classe.
3. Pour montrer qu’il n’y a pas d’autre valeur d’adhérence, noter qu’une suite extraite quelconque prend une infinité d’indices dans au moins une classe.
4. Conclure : plusieurs valeurs distinctes donnent la divergence ; une seule limite commune à des classes qui recouvrent \(\mathbb{N}\) donne la convergence.

Dans \(\mathbb{R}^2\), soit \(u_n = \bigl((-1)^n (1 + 2^{-n}),\ \sin(n\pi/2)^2\bigr)\). Pour \(n = 2k\), la seconde coordonnée est nulle et la première tend vers 1. Pour \(n = 2k + 1\), la seconde vaut 1 et la première tend vers \(-1\). Les valeurs d’adhérence sont donc \((1, 0)\) et \((-1, 1)\), et la suite diverge.

Les normes \(N\) et \(N^{\prime}\) sont dites équivalentes lorsque chacune est dominée par un multiple de l’autre : on dispose de constantes \(\alpha\) et \(\beta\) strictement positives avec, pour chaque vecteur \(x\),

\[ \alpha\, N(x) \leqslant N^{\prime}(x) \quad \text{et} \quad N^{\prime}(x) \leqslant \beta\, N(x). \]

Si \(N\) et \(N^{\prime}\) sont équivalentes, alors :

• une partie, une suite ou une fonction est bornée pour \(N\) si et seulement si elle l’est pour \(N^{\prime}\) ;
• les suites convergentes sont les mêmes pour les deux normes, avec les mêmes limites ;
• les suites extraites convergentes et les valeurs d’adhérence sont les mêmes.

Supposons \(N(x) \leqslant R\) pour tout \(x \in A\). Alors \(N^{\prime}(x) \leqslant \beta R\), donc \(A\) est bornée pour \(N^{\prime}\). De même, la quantité positive \(N^{\prime}(u_n – \ell)\) reste sous \(\beta\) fois \(N(u_n – \ell)\) : si cette dernière tend vers 0, la première aussi, par encadrement. Les réciproques utilisent \(N \leqslant N^{\prime}/\alpha\).

Si \(E\) est de dimension finie, deux normes quelconques sur \(E\) sont toujours équivalentes.

1. Deviner quelle inégalité est fausse, par exemple « \(N^{\prime} \leqslant \beta N\) ».
2. Chercher une suite \((x_n)\) de vecteurs non nuls telle que \(N^{\prime}(x_n)/N(x_n) \to +\infty\).
3. Conclure : si \(\beta\) existait, ce quotient serait majoré par \(\beta\), ce qui est absurde.
4. En variante, exhiber une suite qui tend vers 0 pour \(N\) mais pas pour \(N^{\prime}\).

Sur \(C([0, 1], \mathbb{R})\), comparons \(\|\cdot\|_1\) et \(\|\cdot\|_\infty\). D’une part, \(\|f\|_1 \leqslant \|f\|_\infty\) pour toute \(f\), car l’intégrale de \(|f|\) sur un segment de longueur 1 est majorée par son sup. D’autre part, avec \(f_n(t) = t^n\), on obtient :

\[ \frac{\|f_n\|_\infty}{\|f_n\|_1} = n + 1 \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty. \]

Il n’existe donc aucun \(\beta\) tel que \(\|f\|_\infty \leqslant \beta \|f\|_1\). Par conséquent, les deux normes ne sont pas équivalentes.

Les suites tests les plus efficaces concentrent la fonction sur une petite zone. Les puissances \(t^n\), les pics triangulaires de largeur \(1/n\) et, sur les polynômes, des familles comme \((1 – X)^n\) ou \(1 + X + \dots + X^n\) reviennent sans cesse. Avant de chercher plus loin, testez ces quatre candidats.

• S’exercer : exercices corrigés de maths spé (MP) sur normes et normes équivalentes
• Chapitre d’avant : Polynôme minimal, lemme des noyaux et Cayley-Hamilton
• Chapitre d’après : Ouverts, fermés, adhérence et limites
• Vérifier ses acquis : QCM de maths spé (MP) sur normes et normes équivalentes
• Contrôle corrigé en temps limité : Comparaison de normes sur des fonctions : contrôle de maths en MP
• Un autre sujet noté sur 20 : Problème de topologie en dimension finie : contrôle de maths en MP
• Tous les chapitres : le sommaire de maths spé (MP)
• Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3