Comparaison de normes sur des fonctions : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : comparaison de normes sur des fonctions

Le sujet du contrôle : comparaison de normes sur des fonctions

Exercice 1 – Une norme sur les fonctions dérivables (4,5 points)

On note \(E\) l’espace des fonctions réelles de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0, 1]\). Pour \(f \in E\), on pose alors \(\lVert f \rVert_{\infty} = \sup_{[0, 1]} \lvert f \rvert\) et
\[N(f) = \left\lvert f\left(\frac{1}{2}\right) \right\rvert + \int_0^1 \lvert f^{\prime}(t) \rvert \, \mathrm{d}t.\]

1. Montrer d’abord que \(N\) définit une norme sur \(E\). (2 points)
2. Établir ensuite, pour tout \(f \in E\), l’inégalité \(\lVert f \rVert_{\infty} \leq N(f)\). (1 point)
3. Pour \(n \geq 1\), on considère \(f_n : t \mapsto \sin(2\pi n t)\), dont la figure montre les trois premiers termes. Calculer \(\lVert f_n \rVert_{\infty}\) et \(N(f_n)\). Les normes \(N\) et \(\lVert \cdot \rVert_{\infty}\) sont-elles équivalentes sur \(E\) ? (1,5 point)

Exercice 2 – Une boule unité en parallélogramme (4 points)

Pour \(v = (x, y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(v) = \max\left(\lvert x + y \rvert, 2\lvert y \rvert\right)\) et \(\lVert v \rVert_{\infty} = \max(\lvert x \rvert, \lvert y \rvert)\). De plus, la figure représente en orange la boule unité fermée \(B_N\) de \(N\), avec ses quatre sommets, et en pointillés bleus le carré unité de \(\lVert \cdot \rVert_{\infty}\).

1. Vérifier tout d’abord que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}^2\). (1,5 point)
2. Décrire \(B_N\) par des inégalités, puis justifier qu’il s’agit bien du parallélogramme \(ABCD\) de la figure. (1 point)
3. Déterminer les meilleures constantes \(\alpha, \beta > 0\) telles que \(\alpha \lVert v \rVert_{\infty} \leq N(v) \leq \beta \lVert v \rVert_{\infty}\) pour tout \(v\), en exhibant pour chacune un vecteur qui réalise l’égalité. (1,5 point)

Exercice 3 – Inégalités entre les trois normes usuelles (3 points)

Soit \(F\) l’espace des fonctions continues de \([0, 1]\) dans \(\mathbb{R}\). On note alors \(\lVert f \rVert_1 = \int_0^1 \lvert f \rvert\), \(\lVert f \rVert_2 = \left(\int_0^1 f^2\right)^{1/2}\) et \(\lVert f \rVert_{\infty} = \sup_{[0, 1]} \lvert f \rvert\).

1. À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, prouver que \(\lVert f \rVert_1 \leq \lVert f \rVert_2\) pour toute \(f \in F\). (1,5 point)
2. Justifier ensuite que \(\lVert f \rVert_2 \leq \lVert f \rVert_{\infty}\). (0,5 point)
3. Caractériser les fonctions \(f \in F\) pour lesquelles \(\lVert f \rVert_1 = \lVert f \rVert_2\). (1 point)

Exercice 4 – Problème : fonctions en pic et normes non équivalentes (8,5 points)

On conserve l’espace \(F\) et les trois normes de l’exercice 3, car le but est maintenant de les séparer.

Partie A : un pic au milieu de l’intervalle

Pour tout entier \(n \geq 2\) et tout \(t \in [0, 1]\), on pose \(h_n(t) = n \max\left(0,\ 1 – n\left\lvert t – \frac{1}{2} \right\rvert\right)\).

1. Justifier que \(h_n\) appartient à \(F\), puis calculer \(\lVert h_n \rVert_{\infty}\) et \(\lVert h_n \rVert_1\). On pourra commencer par tracer \(h_2\) et \(h_4\). (1,5 point)
2. Calculer ensuite \(\lVert h_n \rVert_2\). (1,5 point)
3. Prouver qu’aucun réel \(C\) ne vérifie \(\lVert f \rVert_2 \leq C \lVert f \rVert_1\) pour toute \(f \in F\). De même, prouver qu’aucun réel \(C^{\prime}\) ne vérifie \(\lVert f \rVert_{\infty} \leq C^{\prime} \lVert f \rVert_2\) pour toute \(f\). Conclure enfin qu’aucune paire de normes parmi les trois n’est formée de normes équivalentes. (2 points)

Partie B : une norme pondérée

Pour \(f \in F\), on pose \(\lVert f \rVert_{\omega} = \int_0^1 t \lvert f(t) \rvert \, \mathrm{d}t\).

4. Démontrer que \(\lVert \cdot \rVert_{\omega}\) est aussi une norme sur \(F\). (1,5 point)
5. Comparer \(\lVert f \rVert_{\omega}\) et \(\lVert f \rVert_1\). Pour \(n \geq 2\), on pose ensuite \(k_n(t) = n \max(0,\ 1 – nt)\) : calculer \(\lVert k_n \rVert_1\) et \(\lVert k_n \rVert_{\omega}\), puis conclure sur l’équivalence de ces deux normes. (2 points)

Réviser comparaison de normes sur des fonctions avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours normes, boules et suites dans un espace normé ; entraînez-vous sur les exercices normes, boules et suites dans un espace normé avant de retenter le sujet.

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