Comparaison de normes sur des fonctions : corrigé du contrôle de maths en MP
Voici le corrigé du contrôle de maths en MP sur le thème « comparaison de normes sur des fonctions », question par question.
Ce corrigé détaille la rédaction attendue en MP pour chaque comparaison de normes. La séparation s’appuie sur un argument classique : une fonction continue positive d’intégrale nulle est nulle. Pour la boule du plan, la correction justifie pourquoi les constantes trouvées sont optimales, en exhibant un vecteur qui réalise l’égalité. Ensuite, l’inégalité de Cauchy-Schwarz reçoit une application commentée, avec son cas d’égalité. Le problème s’accompagne enfin d’un dessin des fonctions en pic, car leurs normes se lisent comme des aires de triangles. Un barème précis clôt chacun des quatre exercices.
L’énoncé complet se trouve ici : Comparaison de normes sur des fonctions : contrôle de maths en MP.
Barème du contrôle corrigé : comparaison de normes sur des fonctions
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Une norme sur les fonctions dérivables | 4,5 points |
| 2. Une boule unité en parallélogramme | 4 points |
| 3. Inégalités entre les trois normes usuelles | 3 points |
| 4. Problème : fonctions en pic et normes non équivalentes | 8,5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : comparaison de normes sur des fonctions
Exercice 1 – Une norme sur les fonctions dérivables (4,5 points)
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Homogénéité et inégalité triangulaire
Soit \(f \in E\). Comme \(\lvert f^{\prime} \rvert\) est continue sur \([0, 1]\), le nombre \(N(f)\) existe et reste positif. Pour \(\lambda \in \mathbb{R}\), la linéarité de l’intégrale donne \(N(\lambda f) = \lvert \lambda \rvert N(f)\).
Soit ensuite \(f, g \in E\). D’une part, \(\left\lvert (f + g)\left(\frac{1}{2}\right) \right\rvert \leq \left\lvert f\left(\frac{1}{2}\right) \right\rvert + \left\lvert g\left(\frac{1}{2}\right) \right\rvert\). D’autre part, \(\lvert f^{\prime} + g^{\prime} \rvert \leq \lvert f^{\prime} \rvert + \lvert g^{\prime} \rvert\) en tout point, et l’intégrale est croissante. En sommant, on obtient \(N(f + g) \leq N(f) + N(g)\).
Séparation
Supposons \(N(f) = 0\). Alors \(f\left(\frac{1}{2}\right) = 0\) et \(\int_0^1 \lvert f^{\prime} \rvert = 0\). Or \(\lvert f^{\prime} \rvert\) est continue et positive, donc elle est identiquement nulle. Ainsi \(f\) est constante sur l’intervalle \([0, 1]\), égale à \(f\left(\frac{1}{2}\right) = 0\). Par conséquent, \(N\) est une norme sur \(E\).
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La fonction \(f\) étant \(\mathcal{C}^1\), on peut écrire, pour chaque \(x \in [0, 1]\) et grâce au théorème fondamental de l’analyse :
\[f(x) = f\left(\frac{1}{2}\right) + \int_{1/2}^{x} f^{\prime}(t) \, \mathrm{d}t.\]
Donc \(\lvert f(x) \rvert \leq \left\lvert f\left(\frac{1}{2}\right) \right\rvert + \int_0^1 \lvert f^{\prime}(t) \rvert \, \mathrm{d}t = N(f)\), car l’intervalle d’intégration est inclus dans \([0, 1]\). En passant à la borne supérieure, on obtient \(\lVert f \rVert_{\infty} \leq N(f)\).
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Calcul des deux normes
D’abord, \(\lvert f_n \rvert \leq 1\) et \(f_n\left(\frac{1}{4n}\right) = 1\), donc \(\lVert f_n \rVert_{\infty} = 1\). Ensuite, \(f_n\left(\frac{1}{2}\right) = \sin(\pi n) = 0\), et le changement de variable \(u = 2\pi n t\) donne
\[\int_0^1 2\pi n \lvert \cos(2\pi n t) \rvert \, \mathrm{d}t = \int_0^{2\pi n} \lvert \cos u \rvert \, \mathrm{d}u = n \int_0^{2\pi} \lvert \cos u \rvert \, \mathrm{d}u = 4n.\]
On a donc \(N(f_n) = 4n\), par périodicité de \(\lvert \cos \rvert\).
Conclusion
Si les normes étaient équivalentes, il existerait \(C > 0\) avec \(N(f) \leq C \lVert f \rVert_{\infty}\) pour tout \(f\), soit \(4n \leq C\) pour tout \(n\). Une telle majoration, uniforme en \(n\), ne peut pas tenir. En conclusion, \(N\) n’est pas équivalente à \(\lVert \cdot \rVert_{\infty}\) sur \(E\) : les fonctions \(f_n\) restent bornées mais oscillent de plus en plus vite.
Exercice 2 – Une boule unité en parallélogramme (4 points)
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Si \(N(v) = 0\), alors \(y = 0\) puis \(x + y = 0\), donc \(v = 0\). Multiplier \(v\) par un réel \(\lambda\) multiplie les deux termes du maximum par \(\lvert \lambda \rvert\), d’où \(N(\lambda v) = \lvert \lambda \rvert N(v)\). Enfin, soit \(u = (a, b)\) et \(w = (c, d)\). L’inégalité triangulaire sur \(\mathbb{R}\) borne \(\lvert a + c + b + d \rvert\) par \(\lvert a + b \rvert + \lvert c + d \rvert\), donc par \(N(u) + N(w)\). Le même argument majore \(2\lvert b + d \rvert\). Il reste à passer au maximum : \(N(u + w) \leq N(u) + N(w)\), et \(N\) est une norme.
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On a \(N(v) \leq 1\) si et seulement si \(-1 \leq x + y \leq 1\) et \(-\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{1}{2}\). La boule \(B_N\) est donc l’intersection de deux bandes : l’une limitée par les droites \(x + y = \pm 1\), l’autre par les droites \(y = \pm \frac{1}{2}\). Leurs quatre points d’intersection sont \(A\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\), \(B\left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\), \(C\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)\) et \(D\left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)\). On retrouve bien le parallélogramme \(ABCD\).
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Majoration par la norme infinie
On a \(\lvert x + y \rvert \leq 2\lVert v \rVert_{\infty}\) et \(2\lvert y \rvert \leq 2\lVert v \rVert_{\infty}\), donc \(N(v) \leq 2\lVert v \rVert_{\infty}\). Pour \(v = (1, 1)\), on trouve \(N(v) = 2 = 2\lVert v \rVert_{\infty}\). La meilleure constante vaut \(\beta = 2\).
Minoration par la norme infinie
D’abord, \(\lvert y \rvert \leq \frac{1}{2} N(v)\). Ensuite, \(\lvert x \rvert = \lvert (x + y) – y \rvert \leq N(v) + \frac{1}{2} N(v) = \frac{3}{2} N(v)\). Ainsi \(\lVert v \rVert_{\infty} \leq \frac{3}{2} N(v)\), c’est-à-dire \(\frac{2}{3} \lVert v \rVert_{\infty} \leq N(v)\). Le sommet \(D\) réalise l’égalité : \(N(D) = 1\) et \(\lVert D \rVert_{\infty} = \frac{3}{2}\). La meilleure constante vaut \(\alpha = \frac{2}{3}\), ce que confirme la figure : \(D\) est le point de \(B_N\) le plus éloigné au sens de la norme infinie.
Exercice 3 – Inégalités entre les trois normes usuelles (3 points)
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Sur \(F\), l’application \((f, g) \mapsto \int_0^1 fg\) est un produit scalaire. Écrivons alors Cauchy-Schwarz pour le couple formé de \(\lvert f \rvert\) et de la constante 1 : \(\int_0^1 \lvert f \rvert \times 1 \leq \left(\int_0^1 f^2\right)^{1/2} \left(\int_0^1 1\right)^{1/2}\). Ainsi \(\lVert f \rVert_1 \leq \lVert f \rVert_2\).
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Pour tout \(t\), on a \(f(t)^2 \leq \lVert f \rVert_{\infty}^2\). En intégrant sur un intervalle de longueur 1, puis en prenant la racine carrée, on obtient \(\lVert f \rVert_2 \leq \lVert f \rVert_{\infty}\).
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L’égalité dans Cauchy-Schwarz a lieu exactement quand \(\lvert f \rvert\) et 1 sont colinéaires, donc quand \(\lvert f \rvert\) est constante, égale à un réel \(c \geq 0\). Si \(c > 0\), la fonction continue \(f\) ne s’annule pas, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, elle garde un signe constant. Par conséquent, l’égalité \(\lVert f \rVert_1 = \lVert f \rVert_2\) caractérise les fonctions constantes.
Exercice 4 – Problème : fonctions en pic et normes non équivalentes (8,5 points)
Partie A : un pic au milieu de l’intervalle
La figure ci-dessous montre, à gauche, quelques pics \(h_n\) et, à droite, les pics \(k_n\) de la partie B.
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Hauteur et aire du pic
La fonction \(h_n\) s’obtient par composition et maximum de fonctions continues, donc elle est continue sur \([0, 1]\). Elle ne prend de valeurs non nulles que si \(\lvert t – \frac{1}{2} \rvert < \frac{1}{n}\), zone contenue dans \([0, 1]\) puisque \(n \geq 2\). Sous sa courbe, on lit un triangle isocèle : sommet de hauteur \(n\) en \(\frac{1}{2}\), base de longueur \(\frac{2}{n}\). Ainsi \(\lVert h_n \rVert_{\infty} = n\) et \(\lVert h_n \rVert_1 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{n} \times n = 1\).
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Par symétrie autour de \(\frac{1}{2}\), puis avec \(u = t – \frac{1}{2}\), on calcule
\[\lVert h_n \rVert_2^2 = 2\int_0^{1/n} n^2 (1 – nu)^2 \, \mathrm{d}u = 2n^2 \left[-\frac{(1 – nu)^3}{3n}\right]_0^{1/n} = \frac{2n}{3}.\]
Donc \(\lVert h_n \rVert_2 = \sqrt{\frac{2n}{3}}\).
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Deux quotients qui divergent
Supposons qu’il existe \(C\) avec \(\lVert f \rVert_2 \leq C \lVert f \rVert_1\) pour toute \(f\). Appliquée à \(h_n\), cette inégalité donne \(\sqrt{\frac{2n}{3}} \leq C\) pour tout \(n \geq 2\), ce qui est impossible. De même, \(\lVert h_n \rVert_{\infty} / \lVert h_n \rVert_2 = \sqrt{\frac{3n}{2}}\) tend vers \(+\infty\), donc aucune constante \(C^{\prime}\) ne convient.
Bilan sur les trois paires
Les paires \((1, 2)\) et \((2, \infty)\) ne sont donc pas équivalentes. Pour la paire \((1, \infty)\), le quotient \(\lVert h_n \rVert_{\infty} / \lVert h_n \rVert_1 = n\) diverge aussi. Aucune paire de normes parmi les trois n’est donc formée de normes équivalentes, bien que \(\lVert \cdot \rVert_1 \leq \lVert \cdot \rVert_2 \leq \lVert \cdot \rVert_{\infty}\).
Partie B : une norme pondérée
-
Les axiomes d’homogénéité et de sous-additivité viennent directement des propriétés de \(\lvert \cdot \rvert\), car le poids \(t\) est positif et l’intégrale linéaire et croissante. Pour la séparation, supposons \(\lVert f \rVert_{\omega} = 0\). L’intégrande \(t \mapsto t \lvert f(t) \rvert\) est continu et à valeurs positives : son intégrale ne s’annule donc que s’il s’annule partout. Ainsi \(f(t) = 0\) pour tout \(t \in ]0, 1]\), puis \(f(0) = 0\) par continuité en 0. Par conséquent, \(\lVert \cdot \rVert_{\omega}\) est une norme sur \(F\).
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Une seule inégalité
Comme \(0 \leq t \leq 1\), on a \(t \lvert f(t) \rvert \leq \lvert f(t) \rvert\), donc \(\lVert f \rVert_{\omega} \leq \lVert f \rVert_1\).
Les pics collés en 0
Sous la courbe de \(k_n\), on reconnaît un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent \(\frac{1}{n}\) et \(n\). Par conséquent, \(\lVert k_n \rVert_1 = \frac{1}{2}\). Ensuite,
\[\lVert k_n \rVert_{\omega} = n\int_0^{1/n} (t – nt^2) \, \mathrm{d}t = n\left(\frac{1}{2n^2} – \frac{1}{3n^2}\right) = \frac{1}{6n}.\]
Le quotient \(\lVert k_n \rVert_1 / \lVert k_n \rVert_{\omega} = 3n\) tend vers \(+\infty\). Aucune inégalité \(\lVert f \rVert_1 \leq C \lVert f \rVert_{\omega}\) ne peut donc valoir. Les normes \(\lVert \cdot \rVert_{\omega}\) et \(\lVert \cdot \rVert_1\) ne sont pas équivalentes : le poids \(t\) écrase tout ce qui se passe près de 0.
Piège classique : une seule suite ne réfute qu’un sens de comparaison. Il faut toujours préciser quelle inégalité tombe, et non pas seulement que « les normes diffèrent ».
À retenir de ce contrôle
- Pour la séparation d’une norme intégrale, on utilise qu’une fonction continue et positive dont l’intégrale est nulle est la fonction nulle.
- Deux normes N1 et N2 sont équivalentes quand chacune est majorée par un multiple de l’autre ; une suite dont le quotient diverge prouve le contraire.
- Sur C([0,1]), on a toujours la chaîne norme 1, puis norme 2, puis norme infinie, chaque norme majorant la précédente.
- Une constante de comparaison est optimale dès qu’un vecteur non nul réalise l’égalité ; la boule unité permet de le trouver.
- Un pic de hauteur n et de base 2/n garde une aire constante, mais sa norme infinie et sa norme 2 tendent vers l’infini.
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