Z/nZ, idéaux et théorème chinois en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Inverse de 7 modulo 23

On travaille dans l’anneau \(\mathbb{Z}/23\mathbb{Z}\).

1. Justifier sans calcul que \(\bar{7}\) est inversible.
2. Déterminer ensuite son inverse à l’aide de l’algorithme d’Euclide étendu.
3. Résoudre enfin l’équation \(7x \equiv 5 \pmod{23}\).

Exercice 2 – Trois indicatrices d’Euler

Calculer \(\varphi(360)\), \(\varphi(1\,001)\) et \(\varphi(2^5 \times 7^2)\). Préciser donc à chaque fois la propriété de \(\varphi\) utilisée.

Exercice 3 – Les inversibles de Z/18Z

La figure représente les dix-huit classes de \(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}\) disposées sur un cercle.

1. Lister d’abord les éléments de \((\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times\) et vérifier que leur nombre vaut \(\varphi(18)\).
2. Calculer les puissances successives de \(\bar{5}\). En déduire que le groupe \((\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times\) est cyclique.
3. Déterminer enfin l’inverse de \(\bar{5}\) sans algorithme d’Euclide.

Exercice 4 – Somme et intersection d’idéaux de Z

1. Déterminer l’entier \(d \geqslant 0\) tel que \(12\mathbb{Z} + 42\mathbb{Z} = d\mathbb{Z}\), puis l’entier \(m \geqslant 0\) tel que \(12\mathbb{Z} \cap 42\mathbb{Z} = m\mathbb{Z}\).
2. Montrer ensuite que \(12\mathbb{Z} + 42\mathbb{Z} + 35\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\) et écrire \(1\) comme combinaison entière de \(12\), \(42\) et \(35\).
3. Enfin, montrer que, pour tout entier \(k\), l’idéal engendré par \(5k + 3\) et \(7k + 4\) est \(\mathbb{Z}\).

Exercice 5 – Un premier système de congruences

Déterminer tous les entiers \(x\) tels que \(x \equiv 2 \pmod 5\) et \(x \equiv 3 \pmod 7\). Donner ensuite le plus petit de ces entiers supérieur à \(1\,000\).

Exercice 6 – Inversibles et idempotents d’un produit d’anneaux

Soient \(A\) et \(B\) deux anneaux intègres. On appelle idempotent tout élément \(e\) tel que \(e^2 = e\).

1. Déterminer les idempotents d’un anneau intègre.
2. En déduire alors que \(A \times B\) possède exactement quatre idempotents, que l’on explicitera.
3. Enfin, déterminer le groupe des inversibles de \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) et celui de \(\mathbb{Z} \times \mathbb{F}_5\). Donner leurs cardinaux.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Trois congruences simultanées

Un nombre entier \(N\) compris entre \(1\) et \(500\) laisse un reste \(3\) dans la division par \(4\), un reste \(5\) dans la division par \(9\) et un reste \(2\) dans la division par \(5\).

1. Justifier d’abord que \(N\) est unique modulo \(180\).
2. Déterminer ensuite toutes les valeurs possibles de \(N\).

Exercice 8 – Modules non premiers entre eux

1. Résoudre le système \(x \equiv 5 \pmod{12}\), \(x \equiv 11 \pmod{18}\).
2. Montrer en revanche que le système \(x \equiv 5 \pmod{12}\), \(x \equiv 8 \pmod{18}\) n’a pas de solution.
3. Finalement, pour quels entiers \(b\) le système \(x \equiv 5 \pmod{12}\), \(x \equiv b \pmod{18}\) est-il compatible ?

Exercice 9 – Les deux derniers chiffres de 3 puissance 2026

1. Déterminer le reste de \(3^{2026}\) modulo \(4\).
2. Déterminer ensuite le reste de \(3^{2026}\) modulo \(25\) à l’aide du théorème d’Euler.
3. En déduire les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de \(3^{2026}\).
4. Enfin, vérifier le résultat en montrant directement que \(3^{20} \equiv 1 \pmod{100}\).

Exercice 10 – Un morphisme non surjectif vers un produit

On considère \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\), \(k \mapsto (k \bmod 6,\ k \bmod 10)\). La figure marque les couples atteints par \(f\).

1. Montrer que \(f\) est un morphisme d’anneaux et déterminer son noyau.
2. En déduire ainsi le cardinal de l’image de \(f\). Le morphisme est-il surjectif ?
3. Montrer enfin que l’image de \(f\) est l’ensemble des couples \((a, b)\) tels que \(a\) et \(b\) ont la même parité.

Exercice 11 – Générateurs d’idéaux de R[X]

Déterminer le générateur unitaire de chacun des idéaux suivants de \(\mathbb{R}[X]\).

1. \(I_1 = (X^3 – 1)\,\mathbb{R}[X] + (X^2 – 1)\,\mathbb{R}[X]\).
2. \(I_2 = (X^3 – 1)\,\mathbb{R}[X] \cap (X^2 – 1)\,\mathbb{R}[X]\).
3. \(I_3 = \{P \in \mathbb{R}[X] : P(1) = 0 \text{ et } P^{\prime}(1) = 0\}\), après avoir justifié que c’est un idéal.
4. \(I_4 = \{P \in \mathbb{R}[X] : P(\mathrm{i}) = 0\}\), où \(P(\mathrm{i})\) est calculé dans \(\mathbb{C}\).

Exercice 12 – Équation linéaire modulo 40

1. Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l’équation \(15x \equiv 25 \pmod{40}\). Donner les solutions sous forme de classes modulo \(40\).
2. Montrer en revanche que l’équation \(15x \equiv 22 \pmod{40}\) n’a pas de solution.
3. Plus généralement, soient \(a, b\) entiers et \(d = a \wedge n\). Montrer que \(ax \equiv b \pmod n\) a des solutions si et seulement si \(d \mid b\), et qu’elles forment alors \(d\) classes modulo \(n\).

Exercice 13 – Racines carrées de 1 dans F_p et théorème de Wilson

Soit \(p\) un nombre premier impair.

1. Montrer que les seules solutions de \(x^2 = \bar{1}\) dans \(\mathbb{F}_p\) sont \(\bar{1}\) et \(-\bar{1}\).
2. En regroupant chaque élément de \(\mathbb{F}_p^\times\) avec son inverse, montrer que \((p – 1)! \equiv -1 \pmod p\).
3. Vérifier ensuite le résultat pour \(p = 11\).
4. Enfin, montrer que si \(n \geqslant 6\) n’est pas premier, alors \((n – 1)! \equiv 0 \pmod n\).

Exercice 14 – Divisibilité dans les entiers de Gauss

On note \(\mathbb{Z}[\mathrm{i}] = \{a + b\mathrm{i},\ (a, b) \in \mathbb{Z}^2\}\) et \(N(z) = |z|^2\) pour \(z \in \mathbb{Z}[\mathrm{i}]\).

1. Montrer que \(\mathbb{Z}[\mathrm{i}]\) est un sous-anneau intègre de \(\mathbb{C}\) et que \(N(zw) = N(z)N(w)\).
2. Établir ensuite que \(z\) est inversible dans \(\mathbb{Z}[\mathrm{i}]\) si et seulement si \(N(z) = 1\). En déduire les quatre inversibles.
3. Vérifier enfin que \(2\) et \((1 + \mathrm{i})^2\) sont associés. L’élément \(1 + \mathrm{i}\) divise-t-il \(3\) dans \(\mathbb{Z}[\mathrm{i}]\) ?

Exercice 15 – Antécédents de 12 par l’indicatrice d’Euler

1. Montrer que si \(p\) est un premier qui divise \(n\), alors \(p – 1\) divise \(\varphi(n)\).
2. Montrer ensuite que \(\varphi(n)\) est pair pour \(n \geqslant 3\).
3. Déterminer alors tous les entiers \(n \geqslant 1\) tels que \(\varphi(n) = 12\).

Exercice 16 – Les idéaux de Z/12Z

On note \(\pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) la surjection canonique.

1. Soit \(J\) un idéal de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\). Montrer que \(\pi^{-1}(J)\) est un idéal de \(\mathbb{Z}\) contenant \(12\mathbb{Z}\).
2. En déduire que \(J = \pi(d\mathbb{Z})\) pour un diviseur positif \(d\) de \(12\), et que \(J\) a \(12/d\) éléments.
3. Lister enfin les idéaux de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) et les ordonner par inclusion.

Pour approfondir

Exercice 17 – Les huit idempotents de Z/60Z

1. Montrer qu’un idempotent de \(\mathbb{Z}/p^\alpha\mathbb{Z}\) est \(\bar{0}\) ou \(\bar{1}\), pour \(p\) premier et \(\alpha \geqslant 1\).
2. Soit ensuite \(n\) un entier ayant \(r\) facteurs premiers distincts. Montrer que \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) possède exactement \(2^r\) idempotents.
3. Déterminer enfin explicitement les huit idempotents de \(\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}\).

Exercice 18 – Le nombre de Carmichael 561

On pose \(n = 561\).

1. Décomposer \(n\) en facteurs premiers et calculer \(\varphi(n)\).
2. Montrer ensuite que pour tout entier \(a\) premier avec \(n\), on a \(a^{560} \equiv 1 \pmod{561}\).
3. En déduire que \(a^{561} \equiv a \pmod{561}\) pour tout entier \(a\). Pourquoi ce résultat est-il surprenant ?

Exercice 19 – Problème – Racines carrées de -1 modulo n

Soit \(p\) un nombre premier impair.

1. On suppose qu’il existe \(x\) tel que \(x^2 \equiv -1 \pmod p\). Montrer que \(\bar{x}\) est d’ordre \(4\) dans \(\mathbb{F}_p^\times\), puis que \(p \equiv 1 \pmod 4\).
2. Réciproquement, on suppose \(p \equiv 1 \pmod 4\) et on pose \(y = \left(\frac{p-1}{2}\right)!\). À l’aide du théorème de Wilson, montrer que \(y^2 \equiv -1 \pmod p\).
3. Montrer alors que, si \(p \equiv 1 \pmod 4\), l’équation \(x^2 \equiv -1 \pmod p\) a exactement deux solutions modulo \(p\).
4. Trouver par exemple les solutions de \(x^2 \equiv -1\) modulo \(5\) et modulo \(13\).
5. En déduire, grâce au théorème chinois, les quatre solutions de \(x^2 \equiv -1 \pmod{65}\) comprises entre \(0\) et \(64\).
6. Enfin, l’équation \(x^2 \equiv -1 \pmod{39}\) a-t-elle des solutions ?

Exercice 20 – Problème – Un chiffrement RSA miniature

On choisit les premiers \(p = 11\) et \(q = 17\), puis \(n = pq\) et l’exposant public \(e = 7\).

1. Calculer \(n\) et \(\varphi(n)\). Vérifier que \(e \wedge \varphi(n) = 1\).
2. Déterminer ensuite l’unique \(d \in [\![1, \varphi(n)]\!]\) tel que \(ed \equiv 1 \pmod{\varphi(n)}\).
3. Soit \(m\) un entier quelconque. Montrer que \(m^{ed} \equiv m \pmod p\), en distinguant le cas où \(p\) divise \(m\).
4. En déduire que \(m^{ed} \equiv m \pmod n\) pour tout entier \(m\).
5. Calculer alors le message chiffré \(c\), reste de \(5^7\) modulo \(n\).
6. Vérifier enfin que \(c^d \equiv 5\) modulo \(11\) et modulo \(17\), en réduisant les exposants grâce au petit théorème de Fermat.

Pour aller plus loin

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