Sous-espaces stables et spectre en maths spé (MP) : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Projecteurs associés à trois droites de l’espace

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(u_1=(1,0,1)\), \(u_2=(1,1,0)\), \(u_3=(0,1,1)\) et \(D_k=\mathbb{R}u_k\).

1. Montrer que \(\mathbb{R}^3=D_1\oplus D_2\oplus D_3\).
2. Décomposer un vecteur quelconque \((a,b,c)\) sur cette somme directe.
3. Écrire la matrice \(P_1\) du projecteur \(p_1\) sur \(D_1\) parallèlement à \(D_2\oplus D_3\), puis vérifier que \(P_1^2=P_1\).
4. Enfin, décomposer le vecteur \((2,4,6)\).

Exercice 2 – Puissances d’une matrice par blocs à ligne nulle

Soient \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), \(B\in\mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})\) et la matrice carrée d’ordre \(n+q\) :

\[ M=\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

1. Calculer \(M^2\) par blocs.
2. Montrer que, pour tout entier \(k\geqslant 1\), le bloc supérieur gauche de \(M^k\) vaut \(A^k\) et le bloc supérieur droit vaut \(A^{k-1}B\).
3. En déduire, par conséquent, que \(M\) est nilpotente si et seulement si \(A\) est nilpotente.

Exercice 3 – Deux déterminants de taille 4

Calculer le déterminant des deux matrices suivantes, sans développement complet :

\[ M_1=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & -3 \\ 1 & 3 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix},\qquad M_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \\ 4 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Pour \(M_2\), on pourra regrouper les indices impairs, puis les indices pairs, en interprétant \(M_2\) comme la matrice d’un endomorphisme de \(\mathbb{R}^4\).

Par exemple, la figure montre où se trouvent les coefficients non nuls de \(M_2\).

Exercice 4 – Éléments propres d’une matrice de rang un

On considère la matrice réelle :

\[ A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}. \]

1. Déterminer le rang de \(A\) et écrire \(A\) comme produit d’une colonne par une ligne.
2. Montrer que \(0\) est valeur propre et décrire \(E_0(A)\).
3. Trouver une autre valeur propre et un vecteur propre associé, sans polynôme caractéristique.
4. Enfin, calculer \(A^2\) en fonction de \(A\) et en déduire \(\mathrm{Sp}(A)\).

Exercice 5 – Droites stables de deux endomorphismes du plan

On note \(f\) et \(g\) les endomorphismes de \(\mathbb{R}^2\) canoniquement associés aux matrices :

\[ F=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},\qquad G=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}. \]

1. Écrire le système \(F\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et montrer qu’il n’a pas de solution non nulle pour \(\lambda\) réel. Conclure sur les droites stables par \(f\).
2. Ensuite, déterminer toutes les droites stables par \(g\).
3. Enfin, déterminer les valeurs propres complexes de \(F\), vue comme matrice de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\).

Exercice 6 – L’endomorphisme P ↦ XP′ de Rn[X]

Soit \(n\geqslant 1\) et \(\varphi\) l’application définie sur \(\mathbb{R}_n[X]\) par \(\varphi(P)=XP^{\prime}\).

1. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\).
2. Calculer \(\varphi(X^k)\) pour \(0\leqslant k\leqslant n\).
3. Soit \(P=\sum a_kX^k\) non nul tel que \(\varphi(P)=\lambda P\). Montrer que \(\lambda\) est un entier \(k\) et que \(P\) est colinéaire à \(X^k\).
4. En déduire, finalement, le spectre de \(\varphi\), ses sous-espaces propres, son noyau et son image.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Spectre de M ↦ M + tr(M) In

Soit \(n\geqslant 2\) et \(\Phi : \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(M\mapsto M+\mathrm{tr}(M)\,I_n\).

1. Vérifier que \(\Phi\) est un endomorphisme.
2. Soit \(M\neq 0\) et \(\lambda\in\mathbb{R}\) tels que \(\Phi(M)=\lambda M\). Distinguer les cas \(\mathrm{tr}(M)=0\) et \(\mathrm{tr}(M)\neq 0\) pour déterminer \(\lambda\).
3. En déduire \(\mathrm{Sp}(\Phi)\) et les sous-espaces propres, avec leurs dimensions.
4. Montrer que \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est somme directe de ces sous-espaces propres.
5. Enfin, justifier que \(\Phi\) est bijectif et déterminer \(\Phi^{-1}\).

Exercice 8 – Tous les sous-espaces stables de diag(1, 2, 3)

Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice \(\mathrm{diag}(1,2,3)\) dans la base canonique \((e_1,e_2,e_3)\). On fixe un sous-espace \(F\) stable par \(u\).

1. On prend \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\in F\). Montrer que \(x\), \(u(x)\) et \(u^2(x)\) appartiennent à \(F\).
2. En déduire, par conséquent, que \(x_1e_1\), \(x_2e_2\) et \(x_3e_3\) appartiennent à \(F\).
3. Conclure ainsi que \(F\) est engendré par certains des vecteurs \(e_1,e_2,e_3\). Combien \(u\) possède-t-il de sous-espaces stables ?

Exercice 9 – Une matrice triangulaire par blocs de taille 4

Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^4\) canoniquement associé à :

\[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \]

1. Montrer que \(F=\mathrm{Vect}(e_1,e_2)\) est stable par \(u\) et donner la matrice \(B\) de l’endomorphisme induit.
2. Vérifier que \((2,3)\) et \((1,-1)\) sont des vecteurs propres de \(B\).
3. Ensuite, calculer \(\det A\).
4. Montrer que \(\mathrm{Sp}(A)=\{-1,4,5\}\).
5. Enfin, déterminer un vecteur propre de \(A\) associé à \(5\).

Exercice 10 – Commutant de diag(2, 2, 5)

Soit \(D=\mathrm{diag}(2,2,5)\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) et \(\mathcal{C}(D)\) l’ensemble des matrices \(M\) telles que \(MD=DM\).

1. Déterminer les sous-espaces propres de \(D\).
2. Soit \(M\in\mathcal{C}(D)\). Montrer que ces sous-espaces propres sont stables par l’endomorphisme canoniquement associé à \(M\).
3. En déduire, par conséquent, la forme des matrices de \(\mathcal{C}(D)\), puis la dimension de \(\mathcal{C}(D)\).

Exercice 11 – Liberté des fonctions puissances

Soit \(E=\mathcal{C}^\infty(]0,+\infty[,\mathbb{R})\) et \(\theta : E\to E\) défini par \(\theta(f)(x)=xf^{\prime}(x)\). Pour \(a\in\mathbb{R}\), on note \(g_a(x)=x^a\).

1. Montrer que \(\theta\) est un endomorphisme de \(E\) et que \(g_a\) est un vecteur propre de \(\theta\).
2. Ensuite, déterminer \(\mathrm{Sp}(\theta)\) et ses sous-espaces propres.
3. En déduire que, si \(a_1,\dots,a_p\) sont des réels deux à deux différents, la famille \((g_{a_1},\dots,g_{a_p})\) est libre.

Par exemple, voici trois de ces fonctions sur \(]0,3]\).

Exercice 12 – Décalage sur les suites réelles

Soit \(E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) et \(S : E\to E\) qui associe à \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite \((v_{n+1})_{n\in\mathbb{N}}\).

1. Montrer que \(S\) est surjectif mais pas injectif.
2. Ensuite, pour \(\lambda\in\mathbb{R}\), résoudre \(S(v)=\lambda v\). En déduire \(\mathrm{Sp}(S)\) et les sous-espaces propres.
3. Montrer que des suites géométriques \((q_1^n),\dots,(q_p^n)\) de raisons deux à deux différentes forment une famille libre (avec la convention \(0^0=1\)).

Exercice 13 – Projecteurs de somme l’identité

Soit \(E\) un espace vectoriel et \(p_1,\dots,p_k\) des endomorphismes de \(E\) tels que \(p_1+\dots+p_k=\mathrm{Id}_E\) et \(p_i\circ p_j=0\) pour tous \(i\neq j\).

1. Montrer que chaque \(p_i\) est un projecteur.
2. Établir ensuite que \(E=\mathrm{Im}\,p_1\oplus\dots\oplus\mathrm{Im}\,p_k\).
3. Enfin, prouver que \(p_i\) est le projecteur sur \(\mathrm{Im}\,p_i\) parallèlement à la somme des \(\mathrm{Im}\,p_j\), \(j\neq i\).

Exercice 14 – Déterminant par blocs avec deux blocs qui commutent

Soient \(A,B,C,D\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec \(D\) inversible et \(CD=DC\). On pose \(M=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\).

1. Calculer par blocs le produit \(M\begin{pmatrix} D & 0 \\ -C & I_n \end{pmatrix}\).
2. En déduire, par conséquent, que \(\det M=\det(AD-BC)\).
3. Application : calculer \(\det M\) lorsque \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), \(C=I_2\) et \(D=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\).

Exercice 15 – Endomorphisme annulé par X³ − 4X

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(u\in\mathcal{L}(E)\) tel que \(u^3=4u\).

1. Montrer que \(\mathrm{Sp}(u)\subset\{-2,0,2\}\).
2. On pose \(q_0=-\frac{1}{4}(u^2-4\,\mathrm{Id}_E)\), \(q_2=\frac{1}{8}(u^2+2u)\) et \(q_{-2}=\frac{1}{8}(u^2-2u)\). Vérifier que \(q_0+q_2+q_{-2}=\mathrm{Id}_E\) et que \(q_a\circ q_b=0\) pour \(a\neq b\).
3. Montrer que \(\mathrm{Im}\,q_2=\ker(u-2\,\mathrm{Id}_E)\), puis énoncer les égalités analogues pour \(q_0\) et \(q_{-2}\).
4. Ainsi, en déduire que \(E=\ker u\oplus\ker(u-2\,\mathrm{Id}_E)\oplus\ker(u+2\,\mathrm{Id}_E)\).
5. Application : décomposer \(x=(5,1)\) pour l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) de matrice \(\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Valeurs propres non nulles de AB et BA

Soient \(A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(B\in\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})\).

1. Soit \(\lambda\neq 0\) une valeur propre de \(AB\) et \(X\) un vecteur propre associé. Montrer que \(BX\neq 0\) et que \(BX\) est vecteur propre de \(BA\). En déduire que \(AB\) et \(BA\) ont les mêmes valeurs propres non nulles.
2. Calculer les produits par blocs \(\begin{pmatrix} I_n & -A \\ 0 & I_p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_n & A \\ B & I_p \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -B & I_p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_n & A \\ B & I_p \end{pmatrix}\). En déduire \(\det(I_n-AB)=\det(I_p-BA)\).
3. Ensuite, pour \(\lambda\neq 0\), en déduire une relation entre \(\det(\lambda I_n-AB)\) et \(\det(\lambda I_p-BA)\).
4. Exemple : \(A=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} 3 & -1 \end{pmatrix}\). Déterminer \(\mathrm{Sp}(AB)\) et \(\mathrm{Sp}(BA)\). Le résultat reste-t-il vrai pour la valeur propre \(0\) ?

Exercice 17 – Vecteur propre commun à deux endomorphismes qui commutent

Soit \(E\) un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\geqslant 1\). On admet que tout endomorphisme d’un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle possède au moins une valeur propre. Soient \(u,v\in\mathcal{L}(E)\) tels que \(u\circ v=v\circ u\).

1. Soit \(\lambda\in\mathrm{Sp}(u)\). Montrer que \(E_\lambda(u)\) est stable par \(v\).
2. En déduire, par conséquent, que \(u\) et \(v\) possèdent un vecteur propre commun.
3. En revanche, montrer par un exemple que la conclusion peut tomber en défaut sur \(\mathbb{R}\).
4. Application : vérifier que \(U=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) et \(V=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) commutent, puis trouver une base de \(\mathbb{R}^2\) formée de vecteurs propres communs.

Exercice 18 – Problème – Polynômes propres de (X² − 1)P′ − nXP

Soit \(n\geqslant 1\). Pour \(P\in\mathbb{R}_n[X]\), on pose \(\psi(P)=(X^2-1)P^{\prime}-nXP\). Pour \(0\leqslant a\leqslant n\), on note \(L_a=(X-1)^a(X+1)^{n-a}\).

Partie A : premières propriétés.

1. Montrer que \(\psi\) est linéaire. Pour \(0\leqslant k\leqslant n\), calculer \(\psi(X^k)\) et en déduire que \(\psi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\).
2. Dans le cas \(n=1\), écrire la matrice de \(\psi\) dans la base \((1,X)\) et déterminer ses éléments propres à la main.

Partie B : éléments propres.

1. Pour \(1\leqslant a\leqslant n-1\), calculer \(L_a^{\prime}\) et montrer que \((X^2-1)L_a^{\prime}=(nX+2a-n)L_a\). Vérifier que la formule reste vraie pour \(a=0\) et \(a=n\).
2. En déduire que \(L_a\) est un vecteur propre de \(\psi\), associé à la valeur propre \(2a-n\).
3. Déterminer \(\mathrm{Sp}(\psi)\) et montrer que chaque sous-espace propre est une droite.
4. Enfin, en déduire que \((L_0,\dots,L_n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\).

Partie C : commutation.

1. Soit \(\chi\) un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\) qui commute avec \(\psi\). Montrer que chaque \(L_a\) est un vecteur propre de \(\chi\).
2. En déduire, par conséquent, la dimension de l’espace des endomorphismes de \(\mathbb{R}_n[X]\) qui commutent avec \(\psi\).
3. Enfin, pour \(n=2\), l’endomorphisme \(\tau : P(X)\mapsto P(-X)\) commute-t-il avec \(\psi\) ? Le vérifier à l’aide des \(L_a\).

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «sous-espaces stables et spectre en maths spé (MP) : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 758 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.