Quiz stabilité, blocs et valeurs propres en MP

Quiz stabilité, blocs et valeurs propres en maths spé (MP)

Dix questions éclair pour vérifier tes réflexes sur les sous-espaces stables, le calcul par blocs et la recherche d'éléments propres sans polynôme caractéristique.

\(u\) et \(v\) commutent et \(\lambda\) est valeur propre de \(u\). Le sous-espace propre de \(u\) pour \(\lambda\) est :

A.un sous-espace propre de \(v\)B.inclus dans le noyau de \(v\)C.supplémentaire du noyau de \(v\)D.stable par \(v\)

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz express fait travailler les automatismes de réduction qui précèdent la diagonalisation : reconnaître la forme d'une matrice dans une base adaptée à un sous-espace stable, calculer un déterminant triangulaire par blocs, lire un spectre sur une matrice triangulaire, retrouver les valeurs propres d'un projecteur. Il insiste aussi sur deux résultats qui tombent sans cesse en exercice : la commutation de deux endomorphismes et le fait que des vecteurs propres pris pour des valeurs propres différentes ne sont jamais liés.

Lance-le avant une colle de réduction ou en début de TD, sans notes. Si une réponse hésite, écris la matrice par blocs ou la définition d'un vecteur propre au brouillon et retrouve le résultat en deux lignes. Refais-le à la veille d'un devoir surveillé : quand ces réflexes sont acquis, tu gagnes un temps précieux pour les questions de démonstration et tu évites les confusions entre stabilité, noyau et image.

Aller plus loin sur stabilité, blocs et valeurs propres

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Questions fréquentes : stabilité, blocs et valeurs propres en MP

Faut-il toujours passer par le polynôme caractéristique pour trouver les valeurs propres ?

Non. Souvent une relation algébrique, une matrice triangulaire ou l'équation u(x) = λx résolue directement donne le spectre plus vite et avec moins d'erreurs.

Pourquoi le noyau d'un endomorphisme qui commute avec u est-il stable par u ?

Si v(x) = 0, alors v(u(x)) = u(v(x)) = u(0) = 0, donc u(x) est encore dans le noyau de v. Le même argument vaut pour l'image et pour chaque sous-espace propre.

Un endomorphisme a-t-il forcément une valeur propre ?

Sur un espace complexe de dimension finie non nulle, oui. Sur un espace réel, non : une rotation d'angle droit du plan n'a aucune valeur propre réelle.

Quiz stabilité, blocs et valeurs propres en maths spé (MP)

\(F\) est stable par \(u\). Dans une base commençant par une base de \(F\), la matrice de \(u\) est :

Une matrice triangulaire par blocs a pour blocs diagonaux \(A\), de déterminant 3, et \(D\), de déterminant -2. Son déterminant ?

\(u\) et \(v\) commutent et \(\lambda\) est valeur propre de \(u\). Le sous-espace propre de \(u\) pour \(\lambda\) est :

Le vecteur nul peut-il être un vecteur propre ?

Dire que \(u(x) = 0\) admet une solution \(x\) non nulle revient à dire :

Spectre d'un projecteur \(p\) différent de 0 et de l'identité ?

Spectre d'une matrice triangulaire supérieure de diagonale 2, 5, 2 ?

\(u(x) = x\), \(u(y) = 2y\), \(u(z) = 7z\), avec \(x, y, z\) non nuls. La famille \((x, y, z)\) est :

\(E = F_1 \oplus F_2 \oplus F_3\), de projecteurs associés \(p_1, p_2, p_3\). Que vaut \(p_1 + p_2 + p_3\) ?

Sur \(\mathbb{R}_3[X]\), \(u(P) = X P^{\prime}\). Valeur propre associée au vecteur \(X^2\) ?

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