Quiz congruences, idéaux et restes chinois en MP

Quiz congruences, idéaux et restes chinois en maths spé (MP)

Teste en dix questions rapides tes réflexes d’arithmétique dans Z/nZ : inverses, indicatrice d’Euler, systèmes de congruences et idéaux de Z ou de K[X].

Les anneaux \(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\) et \((\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2\) sont-ils isomorphes ?

A.Non, 3 et 3 ne sont pas premiers entre euxB.Oui, par le théorème chinoisC.Oui, car ils ont le même cardinalD.Non, car l’un des deux est un corps

Ce que ce quiz de maths spé fait réviser

Ce quiz rapide passe en revue les automatismes du chapitre d’arithmétique des anneaux : décider de tête si une classe est inversible dans Z/nZ, trouver un inverse modulaire, calculer l’indicatrice d’Euler à partir de la décomposition en facteurs premiers, résoudre un petit système grâce au théorème chinois et traduire PGCD et PPCM en somme et intersection d’idéaux. Une question vérifie aussi l’hypothèse qu’on oublie le plus souvent dans l’isomorphisme chinois.

Lance-le avant une colle d’algèbre ou un TD, sans calculatrice : chaque calcul se fait mentalement en moins d’une minute. Si une réponse t’échappe, refais le calcul modulaire sur papier puis reprends la propriété du cours correspondante. Un bon score signifie que tu peux consacrer ton temps de concours aux vraies difficultés plutôt qu’aux calculs de restes.

Aller plus loin sur congruences, idéaux et restes chinois

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Questions fréquentes : congruences, idéaux et restes chinois en MP

Comment savoir vite si une classe est inversible dans Z/nZ ?

La classe de a est inversible si et seulement si a et n sont premiers entre eux. Une relation de Bézout au + nv = 1 donne alors l’inverse, qui est la classe de u.

Quand peut-on appliquer le théorème chinois ?

Il faut que les modules soient deux à deux premiers entre eux. Dans ce cas, Z/mnZ est isomorphe comme anneau au produit Z/mZ × Z/nZ.

À quoi sert l’indicatrice d’Euler ?

Elle compte les inversibles de Z/nZ. Le théorème d’Euler en déduit que a puissance φ(n) est congru à 1 modulo n dès que a et n sont premiers entre eux, ce qui réduit les grandes puissances.

Quiz congruences, idéaux et restes chinois en maths spé (MP)

Valeur de \(\varphi(36)\) ?

La classe \(\overline{9}\) est-elle inversible dans \(\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}\) ?

Inverse de \(\overline{5}\) dans \(\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\) ?

Solutions de \(x\equiv 2 \ [5]\) et \(x\equiv 3 \ [4]\) ?

Condition nécessaire et suffisante pour que \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) soit un corps ?

Générateur positif de l’idéal \(10\mathbb{Z}+14\mathbb{Z}\) ?

Générateur positif de l’intersection des idéaux engendrés par 10 et 14 dans \(\mathbb{Z}\) ?

Par le théorème d’Euler, chiffre des unités de \(3^{100}\) ?

Tout idéal de l’anneau \(\mathbb{K}[X]\) est…

Les anneaux \(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\) et \((\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2\) sont-ils isomorphes ?

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