Restes et sommes partielles asymptotiques : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : restes et sommes partielles asymptotiques

Le sujet du contrôle : restes et sommes partielles asymptotiques

Exercice 1 – Une ligne brisée qui s’enroule (3 points)

On munit \(\mathbb{R}^2\) de sa norme euclidienne \(\lVert \cdot \rVert_2\). Pour tout entier \(n \geq 0\), on pose \(u_n = \frac{1}{2^n}\left(\cos\frac{n\pi}{3}, \sin\frac{n\pi}{3}\right)\), puis \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\). La figure relie les points \(S_0, S_1, \ldots, S_9\) dans cet ordre, en partant de l’origine \(O\).

1. Justifier que la série \(\sum u_n\) converge dans \(\mathbb{R}^2\), en précisant le résultat du cours utilisé. On note \(S\) sa somme. (1 point)
2. En identifiant \(\mathbb{R}^2\) à \(\mathbb{C}\), montrer ensuite que \(S = \left(1, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\). (1 point)
3. Calculer exactement \(\lVert S – S_n \rVert_2\) pour tout \(n\), puis déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(\lVert S – S_n \rVert_2 \leq 10^{-2}\). (1 point)

Exercice 2 – Reste d’une série de fractions rationnelles (3,5 points)

Pour \(k \geq 1\), on pose \(a_k = \frac{k}{k^4 + 1}\), et pour \(n \geq 1\), on note \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k\) lorsque cette somme existe.

1. Montrer que la série \(\sum a_k\) converge. (0,5 point)
2. À l’aide d’une comparaison série-intégrale, établir pour tout \(n \geq 1\) l’encadrement
   \[\frac{1}{2(n+1)^2} \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^3} \leq \frac{1}{2n^2}.\]
   En déduire un équivalent simple de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^3}\). (1,5 point)
3. Énoncer le théorème de sommation des équivalents utilisé, puis en déduire un équivalent de \(R_n\). (1 point)
4. Déterminer alors la nature des séries \(\sum R_n\) et \(\sum n R_n\). (0,5 point)

Exercice 3 – Une somme partielle encadrée par deux intégrales (4 points)

On considère la fonction \(f : t \mapsto \sqrt{t}\,\ln t\) sur \([1, +\infty[\), dont la figure donne la courbe et les valeurs aux entiers de 1 à 6. Pour \(n \geq 1\), on pose \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}\,\ln k\).

1. Vérifier que \(f\) est croissante et positive sur \([1, +\infty[\). (0,5 point)
2. Justifier, pour tout \(n \geq 2\), l’encadrement \(\int_1^n f(t)\,\mathrm{d}t \leq S_n \leq \int_2^{n+1} f(t)\,\mathrm{d}t\). (1 point)
3. Calculer \(F(x) = \int_1^x f(t)\,\mathrm{d}t\) pour \(x \geq 1\) par une intégration par parties, puis en déduire que \(S_n \sim \frac{2}{3}\, n^{3/2} \ln n\). (1,5 point)
4. Donner enfin un équivalent de \(T_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}\,\ln(k + 3)\), en justifiant précisément. (1 point)

Exercice 4 – Une récurrence étudiée avec Cesàro (4 points)

On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0 = 1\) et, pour tout \(n \geq 0\), \(u_{n+1} = g(u_n)\), où \(g(x) = \frac{x}{1 + x + x^2}\). La figure montre la construction des premiers termes à partir de la courbe de \(g\) et de la droite d’équation \(y = x\).

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). Montrer ensuite que \((u_n)\) est bien définie, strictement positive, décroissante, et qu’elle converge vers 0. (1 point)
2. Exprimer \(\frac{1}{u_{n+1}} – \frac{1}{u_n}\) en fonction de \(u_n\). Rappeler alors le théorème de Cesàro et en déduire que \(u_n \sim \frac{1}{n}\). (1,5 point)
3. Montrer que \(\frac{1}{u_n} = n + \ln n + o(\ln n)\), puis en déduire un développement asymptotique de \(u_n\) à deux termes. (1,5 point)

Exercice 5 – Problème : reste d’une série à quotient convergent (5,5 points)

Soit \((a_n)_{n \geq 1}\) une suite de réels strictement positifs telle que \(\frac{a_{n+1}}{a_n} \to q\), où \(0 < q < 1\). Pour tout \(n \geq 1\), on pose \(\varepsilon_n = \frac{a_{n+1}}{a_n} – q\), de sorte que \(\varepsilon_n \to 0\).

A. Convergence de la série

1. Démontrer la règle de d’Alembert dans ce cadre : en fixant \(r\) tel que \(q < r < 1\), prouver que la série \(\sum a_n\) converge. (1 point)
2. On note \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k\) pour \(n \geq 0\). Vérifier que \(R_n > 0\) et que \(R_{n-1} = a_n + R_n\) pour \(n \geq 1\). (0,5 point)

B. Un équivalent du reste

1. Justifier que la série \(\sum \varepsilon_k a_k\) converge, puis établir pour \(n \geq 1\) la relation \(R_n = q R_{n-1} + \sum_{k=n}^{+\infty} \varepsilon_k a_k\). (1 point)
2. On pose \(\delta_n = \sup_{k \geq n} \lvert \varepsilon_k \rvert\). Montrer que \(\left\lvert \sum_{k=n}^{+\infty} \varepsilon_k a_k \right\rvert \leq \delta_n R_{n-1}\), puis que \(R_n = q R_{n-1} + o(R_{n-1})\). (0,75 point)
3. En déduire que \(R_n \sim \frac{q}{1 – q}\, a_n\). (0,75 point)

C. Deux exemples

1. Donner un équivalent simple du reste de la série \(\sum \frac{n^3}{4^n}\). (0,75 point)
2. Pour \(a_n = \frac{1}{n^2}\), le quotient tend vers 1. Montrer que, dans ce cas, \(\frac{R_n}{a_n} \to +\infty\) : le résultat de la partie B ne se prolonge donc pas à \(q = 1\). (0,75 point)

Réviser restes et sommes partielles asymptotiques avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours séries vectorielles, d’alembert et sommation des équivalents ; entraînez-vous sur les exercices séries vectorielles, d’alembert et sommation des équivalents avant de retenter le sujet.

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