Tribus et probabilités en maths spé (MP) : cours et méthodes

On qualifie \(E\) de dénombrable lorsqu’une bijection relie \(E\) à \(\mathbb{N}\). On réserve l’expression au plus dénombrable aux ensembles finis ou dénombrables ; ce sont exactement ceux qu’une bijection relie à une partie de \(\mathbb{N}\).

Soit \(E\) un ensemble non vide.

1. \(E\) est au plus dénombrable si et seulement s’il existe une injection de \(E\) dans \(\mathbb{N}\).
2. \(E\) est au plus dénombrable si et seulement s’il existe une surjection de \(\mathbb{N}\) sur \(E\).

Les ensembles \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{N}^p\), pour chaque entier \(p \geqslant 1\), sont dénombrables. Le produit cartésien de deux, trois ou \(p\) facteurs dénombrables l’est aussi. Enfin, si l’on réunit une suite (ou une famille finie) d’ensembles qui sont chacun finis ou dénombrables, on obtient encore un ensemble fini ou dénombrable.

Pour \(\mathbb{Z}\), l’application qui envoie \(n \geqslant 0\) sur \(2n\) et \(n < 0\) sur \(-2n-1\) est une bijection vers \(\mathbb{N}\). Pour \(\mathbb{N}^2\), l’application \((a,b) \mapsto 2^a(2b+1) – 1\) est une bijection : tout entier \(m \geqslant 1\) s’écrit de façon unique comme une puissance de 2 fois un nombre impair. Par récurrence sur \(p\), on obtient \(\mathbb{N}^p\), car \(\mathbb{N}^{p+1}\) est en bijection avec \(\mathbb{N}^p \times \mathbb{N}\).

Pour \(\mathbb{Q}\), l’application de \(\mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*\) dans \(\mathbb{Q}\) qui envoie \((a,b)\) sur \(a/b\) est surjective. Or \(\mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*\) est dénombrable, donc \(\mathbb{Q}\) est au plus dénombrable ; il est infini, donc dénombrable. Enfin, si \(E_0, E_1, \dots\) sont au plus dénombrables, on choisit des surjections \(f_k\) de \(\mathbb{N}\) sur \(E_k\). Ainsi, \((k,n) \mapsto f_k(n)\) est une surjection de \(\mathbb{N}^2\) sur la réunion.

Pour prouver qu’un ensemble \(E\) est dénombrable :

1. Écrire \(E\) comme réunion d’une suite d’ensembles finis ou dénombrables, souvent indexée par une « taille » (longueur, degré, somme des coordonnées).
2. Ou bien exhiber une surjection d’un ensemble déjà connu, comme \(\mathbb{N}^p\) ou \(\mathbb{Q}^p\), vers \(E\).
3. Ou bien coder chaque élément par un entier de façon injective, par exemple avec des puissances de nombres premiers distincts.
4. Vérifier enfin que \(E\) est infini si l’on veut « dénombrable » et pas seulement « au plus dénombrable ».

Montrons que l’ensemble \(S\) des suites finies d’entiers naturels est dénombrable. Pour \(k \geqslant 1\), notons \(S_k\) l’ensemble des suites de longueur \(k\) : il s’identifie à \(\mathbb{N}^k\), donc il est dénombrable. Ensuite, \(S\) est la réunion de la suite vide et des \(S_k\) pour \(k \geqslant 1\). C’est donc une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables, et \(S\) est dénombrable. Par conséquent, l’ensemble des mots écrits sur un alphabet fini est lui aussi dénombrable.

L’ensemble \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\) des suites à valeurs dans \(\{0,1\}\) n’est pas dénombrable. Par conséquent, \(\mathbb{R}\) n’est pas dénombrable, ni aucun intervalle non trivial de \(\mathbb{R}\).

Supposons qu’une suite \((u^{(k)})_{k \in \mathbb{N}}\) énumère toutes les suites binaires. Définissons la suite \(v\) par \(v_k = 1 – u^{(k)}_k\). Pour tout \(k\), \(v\) diffère de \(u^{(k)}\) au rang \(k\). Donc \(v\) ne figure pas dans la liste, ce qui est absurde.

Ensuite, l’application qui envoie une suite binaire \(v\) sur le réel \(\sum_{k \geqslant 0} 2v_k/3^{k+1}\) est injective de \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\) dans \([0,1]\). En effet, si deux suites diffèrent pour la première fois au rang \(k\), les deux sommes diffèrent d’au moins \(1/3^{k+1}\). Si \([0,1]\) était dénombrable, \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\) le serait aussi. Enfin, tout intervalle \([a,b]\) avec \(a < b\) est en bijection affine avec \([0,1]\).

On appelle tribu sur l’ensemble \(\Omega\) toute famille \(\mathcal{A}\) de parties de \(\Omega\) qui vérifie trois conditions :

1. elle contient l’univers \(\Omega\) lui-même ;
2. avec chaque membre \(A\), elle contient aussi \(\overline{A}\) ;
3. dès qu’elle contient les termes d’une suite \((A_n)_{n \in \mathbb{N}}\), elle contient aussi leur réunion.

On dit alors que \((\Omega, \mathcal{A})\) forme un espace probabilisable, et l’on nomme événements les membres de \(\mathcal{A}\).

Toute tribu \(\mathcal{A}\) possède l’ensemble vide parmi ses membres. Si \(A\) et \(B\) lui appartiennent, alors \(A \cup B\), \(A \cap B\) et \(A \setminus B = A \cap \overline{B}\) lui appartiennent. De même, l’intersection d’une suite de membres de \(\mathcal{A}\) reste dans \(\mathcal{A}\).

Sur \(\Omega = \{a,b,c,d,e\}\), cherchons la plus petite tribu contenant \(\{a,b\}\) et \(\{c\}\). Elle doit contenir leurs complémentaires \(\{c,d,e\}\) et \(\{a,b,d,e\}\), puis l’intersection \(\{d,e\}\). Ainsi, la partition \(\{a,b\}, \{c\}, \{d,e\}\) apparaît. La tribu cherchée est formée des \(2^3 = 8\) réunions de blocs de cette partition, l’ensemble vide compris. On vérifie directement qu’elle est stable par complémentaire et par réunion.

Traduisons « on obtient pile une infinité de fois ». Cela signifie : pour tout rang \(N\), il existe \(n \geqslant N\) avec pile au rang \(n\). Donc l’événement s’écrit

\[ L = \bigcap_{N \geqslant 1} \ \bigcup_{n \geqslant N} P_n. \]

De même, « à partir d’un certain rang, on n’obtient que des faces » est le complémentaire de \(L\), soit \(\bigcup_{N} \bigcap_{n \geqslant N} \overline{P_n}\). Comme la tribu est stable par réunion et intersection dénombrables, ces deux ensembles sont bien des événements.

On nomme probabilité sur \((\Omega, \mathcal{A})\) toute fonction \(P\) définie sur \(\mathcal{A}\), à valeurs dans \([0,1]\), qui donne la valeur 1 à \(\Omega\) et qui est \(\sigma\)-additive. Cela signifie que, si les \(A_n\) sont des événements qui ne se rencontrent jamais deux à deux, alors

\[ P\Big( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \Big) = \sum_{n \in \mathbb{N}} P(A_n). \]

On appelle alors espace probabilisé le triplet \((\Omega, \mathcal{A}, P)\).

Soit \(\Omega = \{\omega_n, \ n \in \mathbb{N}\}\) un ensemble dénombrable muni de \(\mathcal{P}(\Omega)\). Pour toute suite \((p_n)\) de réels positifs de somme 1, il existe une unique probabilité \(P\) telle que \(P(\{\omega_n\}) = p_n\) pour tout \(n\). Elle est donnée par \(P(A) = \sum_{\omega_n \in A} p_n\).

Sur \(\mathbb{N}\), posons \(p_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\). Comme \(p_n = \dfrac{1}{n+1} – \dfrac{1}{n+2}\), la somme télescope et vaut 1 : on a bien une probabilité. Calculons d’abord la probabilité de \(A_k = \{k, k+1, \dots\}\) :

\[ P(A_k) = \sum_{n \geqslant k} \Big( \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \Big) = \frac{1}{k+1}. \]

Calculons ensuite la probabilité de l’ensemble \(E\) des entiers pairs. On regroupe les termes de rang \(2m\) :

\[ P(E) = \sum_{m=0}^{+\infty} \Big( \frac{1}{2m+1} – \frac{1}{2m+2} \Big) = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2. \]

Par conséquent, un entier tiré selon cette loi est pair avec probabilité \(\ln 2 \approx 0{,}693\).

Soit \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) un espace probabilisé et \((A_n)\) une suite d’événements.

1. Continuité croissante : si \(A_n \subset A_{n+1}\) pour tout \(n\), alors \(P\big(\bigcup_n A_n\big) = \lim_{n \to +\infty} P(A_n)\).
2. Continuité décroissante : si \(A_{n+1} \subset A_n\) pour tout \(n\), alors \(P\big(\bigcap_n A_n\big) = \lim_{n \to +\infty} P(A_n)\).

Supposons la suite croissante. Posons \(B_0 = A_0\) et \(B_n = A_n \setminus A_{n-1}\) pour \(n \geqslant 1\). Les \(B_n\) sont deux à deux incompatibles. De plus, \(A_n\) est la réunion de \(B_0, \dots, B_n\), et la réunion de tous les \(B_n\) est celle des \(A_n\). Par \(\sigma\)-additivité,

\[ P\Big(\bigcup_n A_n\Big) = \sum_{k=0}^{+\infty} P(B_k) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{n} P(B_k) = \lim_{n \to +\infty} P(A_n). \]

Pour une suite décroissante, les complémentaires \(\overline{A_n}\) forment une suite croissante. On applique le premier point, puis la loi de De Morgan et la formule \(P(\overline{A}) = 1 – P(A)\).

Pour calculer la probabilité d’un événement infini \(A\) :

1. Écrire \(A\) comme réunion croissante ou intersection décroissante d’événements \(A_n\) qui ne dépendent que des \(n\) premières étapes.
2. Vérifier explicitement l’inclusion \(A_n \subset A_{n+1}\) ou \(A_{n+1} \subset A_n\).
3. Calculer \(P(A_n)\) avec les outils finis : indépendance, probabilités composées, dénombrement.
4. Passer à la limite en citant le théorème de continuité monotone.

On effectue une suite d’épreuves indépendantes. La \(k\)-ième épreuve, pour \(k \geqslant 1\), réussit avec la probabilité \(1/(k+1)^2\). Quelle est la probabilité de n’obtenir aucun succès ? Notons \(E_n\) l’événement « échec aux \(n\) premières épreuves ». La suite \((E_n)\) est décroissante et son intersection est l’événement cherché. Par indépendance,

\[ P(E_n) = \prod_{k=1}^{n} \Big(1 – \frac{1}{(k+1)^2}\Big) = \prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+1} \cdot \prod_{k=1}^{n} \frac{k+2}{k+1} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n+2}{2}. \]

Ainsi, \(P(E_n) = \dfrac{n+2}{2(n+1)}\), qui tend vers \(1/2\). Par continuité décroissante, on n’obtient jamais de succès avec probabilité \(1/2\). Autrement dit, les succès deviennent trop rares pour être certains.

Pour toute suite \((A_n)\) d’événements, on a \(P\big(\bigcup_n A_n\big) \leqslant \sum_n P(A_n)\), la somme pouvant valoir \(+\infty\).

Pour une réunion finie, on procède par récurrence avec \(P(A \cup B) \leqslant P(A) + P(B)\). Ensuite, les réunions finies \(A_0 \cup \dots \cup A_n\) croissent. Par continuité croissante, la probabilité de la réunion totale est la limite de leurs probabilités, chacune majorée par la somme partielle \(\sum_{k \leqslant n} P(A_k)\). On passe enfin à la limite dans l’inégalité.

On qualifie l’événement \(A\) de négligeable lorsque \(P(A) = 0\), et de presque sûr lorsque \(P(A) = 1\). Une propriété qui est satisfaite sur au moins un événement presque sûr est dite vraie presque sûrement.

Si chacun des événements \(N_0, N_1, N_2, \dots\) est de probabilité nulle, leur réunion l’est aussi. Symétriquement, si chacun des événements \(S_0, S_1, \dots\) a pour probabilité 1, il en va de même de leur intersection. Le résultat vaut aussi pour une famille finie.

Pour montrer qu’un événement \(A\) est presque sûr :

1. Introduire le complémentaire \(\overline{A}\), souvent plus simple à décrire (« jamais de succès », « toujours un échec »).
2. L’inclure dans des événements \(B_n\) dont la probabilité tend vers 0, ou l’écrire comme intersection décroissante de tels événements.
3. Conclure que \(P(\overline{A}) = 0\), par croissance de \(P\) ou par continuité décroissante, donc que \(P(A) = 1\).

On lance indéfiniment un dé équilibré à six faces. Montrons qu’on obtient presque sûrement au moins une fois la suite « 3 puis 5 ». On découpe les lancers en blocs disjoints de deux : lancers 1 et 2, puis 3 et 4, et ainsi de suite. Notons \(F_n\) l’événement « aucun des \(n\) premiers blocs n’est égal à (3, 5) ». Les blocs sont indépendants et chacun vaut (3, 5) avec probabilité \(1/36\). Donc \(P(F_n) = (35/36)^n\), qui tend vers 0. Or l’événement « le motif n’apparaît jamais » est inclus dans chaque \(F_n\). Sa probabilité est donc nulle, et le motif apparaît presque sûrement.

Soit \(B\) un événement tel que \(P(B) > 0\). L’application \(P_B\) qui à \(A\) associe \(P(A \cap B)/P(B)\) est une probabilité sur \((\Omega, \mathcal{A})\), appelée probabilité conditionnelle sachant \(B\).

Une suite \((B_n)\) d’événements deux à deux incompatibles est un système quasi-complet si \(\sum_n P(B_n) = 1\), autrement dit si leur réunion est presque sûre. C’est un système complet si leur réunion est exactement \(\Omega\).

Soit \((B_n)\) un système quasi-complet. Pour tout événement \(A\), la série \(\sum P(A \cap B_n)\) converge et

\[ P(A) = \sum_{n} P(A \cap B_n) = \sum_{n \,:\, P(B_n) > 0} P(B_n)\, P_{B_n}(A). \]

Notons \(N\) le complémentaire de la réunion des \(B_n\) : il est négligeable. Les événements \(A \cap B_n\) et \(A \cap N\) sont deux à deux incompatibles, de réunion \(A\). Par \(\sigma\)-additivité, \(P(A) = \sum_n P(A \cap B_n) + P(A \cap N)\). Or \(P(A \cap N) \leqslant P(N) = 0\). Enfin, on écrit \(P(A \cap B_n) = P(B_n) P_{B_n}(A)\) lorsque \(P(B_n) > 0\), et ce terme est nul sinon.

On choisit un entier \(N \geqslant 1\) avec \(P(N = n) = 1/2^n\). Ensuite, on lance une pièce qui donne pile avec probabilité \(1/(n+1)\) lorsque \(N = n\). Les événements \((N = n)\) forment un système complet. Par la formule des probabilités totales,

\[ P(\text{pile}) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n (n+1)}. \]

Pour sommer, on part de \(\sum_{n \geqslant 1} x^{n+1}/(n+1) = -\ln(1-x) – x\) pour \(|x| < 1\). On divise par \(x\), puis on prend \(x = 1/2\). Ainsi, \(P(\text{pile}) = 2\big(\ln 2 – \tfrac12\big) = 2 \ln 2 – 1 \approx 0{,}386\). La formule de Bayes donne ensuite, par exemple, \(P_{\text{pile}}(N = 1) = \dfrac{1/4}{2\ln 2 – 1} \approx 0{,}647\).

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\). Une famille \((A_i)_{i \in I}\) est mutuellement indépendante si, pour toute partie finie \(J\) de \(I\), on a \(P\big(\bigcap_{i \in J} A_i\big) = \prod_{i \in J} P(A_i)\).

L’indépendance deux à deux n’entraîne pas l’indépendance mutuelle. Pour trois événements, il faut vérifier les trois égalités par paires et l’égalité pour le triplet.

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