Calcul de rayons et de sommes : contrôle de maths en MP
Voici un contrôle de maths en MP sur le thème « calcul de rayons et de sommes », avec son barème et un corrigé détaillé.
Cette interrogation d’une heure trente se place juste après le cours sur les séries entières, avant les développements usuels. D’abord, vous démontrez la règle de d’Alembert puis vous l’appliquez à des coefficients factoriels et à une série lacunaire. Ensuite, le deuxième exercice réclame des rayons par comparaison, car le quotient de deux coefficients consécutifs y oscille. Le troisième calcule des sommes par dérivation terme à terme et par intégration terme à terme, puis étudie la convergence au bord. Enfin, le problème associe une série entière à une suite récurrente linéaire : la somme, rationnelle, livre le terme général et le rayon exact. Chaque rayon doit être justifié, pas seulement annoncé, dans ce contrôle.
Ce qu’évalue le contrôle : calcul de rayons et de sommes
L’essentiel du sujet
- NiveauMP
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Rayon de convergence et séries entières (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer la règle de d’Alembert pour le rayon puis l’appliquer à des coefficients factoriels ou lacunaires
- Encadrer des coefficients pour obtenir un rayon lorsque le quotient de deux termes consécutifs n’a pas de limite
- Calculer la somme d’une série entière par dérivation ou intégration terme à terme sur l’intervalle ouvert
- Étudier la convergence au bord et utiliser la continuité de la somme pour évaluer une série numérique
- Obtenir la somme d’une série associée à une suite récurrente linéaire, puis en déduire son terme général
Avant de commencer le devoir
Avant tout calcul de somme, établissez le rayon : sans lui, aucune dérivation terme à terme n’est légitime. Quand les coefficients s’annulent ou oscillent, appliquez plutôt d’Alembert à la série numérique des modules, ou encadrez ces coefficients par deux suites géométriques. Pour les bords, distinguez ensuite la convergence normale sur le segment fermé de la simple convergence en un point. Enfin, testez chaque somme obtenue en \(x = 0\), puis comparez son premier terme avec celui de la série.
Le sujet du contrôle : calcul de rayons et de sommes
Exercice 1 – Règle de d’Alembert et coefficients factoriels (4 points)
Dans tout le sujet, on note \(R\) le rayon de convergence de la série entière étudiée. On rappelle aussi la règle de d’Alembert pour les séries numériques à termes strictement positifs.
- Soit \((a_n)\) une suite de nombres complexes tous non nuls, telle que \(\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\) tende vers un réel \(\ell > 0\). Montrer alors que la série entière \(\sum a_n z^n\) a pour rayon \(R = \frac{1}{\ell}\).
- Déterminer ensuite le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq 0} \frac{(3n)!}{(n!)^3\, 5^n} z^n\).
- Expliquer pourquoi la question 1 ne s’applique pas telle quelle à la série \(\sum_{n \geq 1} \frac{n}{8^n} z^{3n}\), puis calculer son rayon.
Exercice 2 – Rayons sans quotient exploitable (4 points)
Dans cet exercice, le quotient de deux coefficients consécutifs n’a pas de limite, ou bien il est inutile : on raisonne donc par encadrement.
- On pose \(a_n = \left(2 + (-1)^n\right)^n\). Vérifier d’abord que \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) n’a pas de limite, puis montrer que \(\sum a_n z^n\) a pour rayon \(\frac{1}{3}\).
- Pour \(n \geq 1\), on note \(d(n)\) le nombre de diviseurs positifs de \(n\) ; par exemple, \(d(12) = 6\). Déterminer le rayon de \(\sum_{n \geq 1} d(n)\, z^n\).
- On suppose maintenant que \(\sum b_n z^n\) a pour rayon 2. Trouver, en justifiant, le rayon de \(\sum n^5 b_n z^n\), puis celui de \(\sum b_n z^{2n}\).
Exercice 3 – Sommes par dérivation et intégration (5 points)
Les deux parties sont indépendantes. Les théorèmes de dérivation et d’intégration terme à terme doivent être cités avec leur domaine de validité.
- Donner le rayon de \(\sum_{n \geq 1} n^2 x^n\), puis calculer sa somme pour \(x \in \left] -1, 1 \right[\). En déduire enfin la valeur de \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{3^n}\).
On définit à présent \(f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n(n+2)}\) là où la série converge. La figure trace, sur \(\left[ -1, 1 \right]\), les sommes partielles \(S_N(x) = \sum_{n=1}^{N} \frac{x^n}{n(n+2)}\) pour \(N = 1\), \(N = 2\) et \(N = 12\).
- Montrer que le rayon vaut 1, puis que la série converge normalement sur \(\left[ -1, 1 \right]\). Que peut-on en déduire pour \(f\) ?
- Décomposer \(\frac{1}{n(n+2)}\) en éléments simples. Exprimer alors \(f(x)\) à l’aide de \(\ln(1 – x)\) pour \(x \in \left] -1, 1 \right[\) non nul.
- Calculer \(f(1)\) et \(f(-1)\), et vérifier que ces valeurs sont cohérentes avec la figure.
Exercice 4 – Problème : une suite récurrente et sa série (7 points)
On définit la suite \((a_n)\) par \(a_0 = a_1 = 1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(a_{n+2} = a_{n+1} + 6\, a_n\). Ainsi \(a_2 = 7\) et \(a_3 = 13\). On note \(R\) le rayon de la série entière \(\sum a_n z^n\) et \(S(z)\) sa somme.
La figure place, dans le plan complexe, les réels \(\frac{1}{3}\) et \(-\frac{1}{2}\), qui joueront un rôle particulier, ainsi que le point \(\frac{1}{5}\) utilisé à la fin. Le disque bleu est le candidat pour le disque ouvert de convergence.
La figure n’est pas à l’échelle.
- Montrer par récurrence que \(0 < a_n \leq 3^n\) pour tout \(n\). En déduire que \(R \geq \frac{1}{3}\).
- Établir ensuite que, pour tout complexe \(z\) tel que \(|z| < \frac{1}{3}\), on a \(\left(1 – z – 6z^2\right) S(z) = 1\).
- Factoriser \(1 – z – 6z^2\), puis décomposer \(S(z)\) en éléments simples. Grâce à l’unicité des coefficients, prouver que \(a_n = \frac{3^{n+1} + (-1)^n\, 2^{n+1}}{5}\) pour tout \(n\).
- Déterminer exactement \(R\). Étudier aussi la nature de la série \(\sum a_n z^n\) en tout point du cercle \(|z| = \frac{1}{3}\).
- Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{5^n}\), puis, par dérivation, \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n\, a_n}{5^n}\).
Réviser calcul de rayons et de sommes avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours rayon de convergence et séries entières ; entraînez-vous sur les exercices rayon de convergence et séries entières avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en MP regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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