Convergence dominée et paramètre en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Limite avec une arctangente

On s’intéresse, pour chaque entier \(n\) non nul, au nombre \(\displaystyle I_n = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(nx)}{1 + x^2} \, \mathrm{d}x\).

1. Vérifier que \(I_n\) a bien un sens.
2. À \(x > 0\) fixé, trouver la limite de l’intégrande quand \(n\) grandit.
3. Proposer une fonction dominante, puis calculer \(\lim I_n\).

Exercice 2 – Une limite simple discontinue

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(\displaystyle J_n = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1 + x^n} \, \mathrm{d}x\).

1. Déterminer la limite simple \(g\) de l’intégrande sur \([0, +\infty[\), en distinguant \(x < 1\), \(x = 1\) et \(x > 1\).
2. Vérifier que \(g\) est continue par morceaux.
3. En déduire la limite de \(J_n\).

La figure ci-dessous montre l’intégrande pour plusieurs valeurs de \(n\).

Exercice 3 – Premiers calculs avec Gamma

On rappelle que \(\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \, \mathrm{d}t\) pour \(x > 0\), et on admet \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\).

1. Montrer que \(\Gamma(x + 1) = x \Gamma(x)\) pour \(x > 0\), puis que \(\Gamma(n + 1) = n!\).
2. Calculer \(\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\).
3. Calculer \(\int_0^{+\infty} t^4 e^{-3t} \, \mathrm{d}t\) et \(\int_0^{+\infty} \sqrt{t} \, e^{-2t} \, \mathrm{d}t\).

Exercice 4 – Continuité d’une intégrale oscillante

On note \(\displaystyle F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\cos(xt)}{1 + t^3} \, \mathrm{d}t\), où \(x\) parcourt \(\mathbb{R}\).

1. Prouver que \(F(x)\) existe pour tout réel \(x\), que \(F\) est continue et que \(F(-x) = F(x)\).
2. Montrer que \(|F(x)| \leqslant F(0)\) pour tout réel \(x\).
3. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(|F(x)| \leqslant \frac{1}{x}\) pour \(x > 0\). Conclure sur la limite de \(F\) en \(+\infty\).

Exercice 5 – Une série de carrés inverses

On admet que \(\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}\). On considère \(\displaystyle K = \int_0^{+\infty} \frac{t \, e^{-2t}}{1 – e^{-t}} \, \mathrm{d}t\).

1. Justifier l’existence de \(K\).
2. Calculer \(\int_0^{+\infty} t e^{-kt} \, \mathrm{d}t\) pour tout réel \(k > 0\).
3. Développer l’intégrande en série et en déduire \(K = \frac{\pi^2}{6} – 1\).

Exercice 6 – Transformée de Laplace d’un sinus

Le réel \(p\) est strictement positif, et \(\displaystyle L(p) = \int_0^{+\infty} \sin(2t) \, e^{-pt} \, \mathrm{d}t\).

1. Établir l’existence de \(L(p)\), puis la continuité de \(L\) sur la demi-droite ouverte.
2. Calculer \(L(p)\) en passant par l’exponentielle complexe.
3. Retrouver la limite de \(L\) en \(+\infty\) par convergence dominée.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Racine n-ième sous l’intégrale

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(\displaystyle A_n = \int_0^{+\infty} \frac{x^{1/n}}{(1 + x)^3} \, \mathrm{d}x\).

1. Montrer que \(x^{1/n} \leqslant 1 + x\) pour tout \(x > 0\) et tout \(n \geqslant 1\).
2. En déduire la limite de \(A_n\).

Exercice 8 – Équivalent par changement de variable

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(\displaystyle u_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x^4} \, \mathrm{d}x\).

1. Montrer que \(u_n \to 0\) par une simple majoration.
2. Effectuer la substitution \(t = x^n\) dans \(n u_n\), puis établir que \(n u_n\) tend vers \(\frac{1}{2}\).
3. Donner un équivalent simple de la suite \((u_n)\).

Exercice 9 – Logarithme et carrés impairs

On admet que \(\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}\).

1. Montrer que \(\int_0^1 x^k \ln x \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{(k+1)^2}\) pour tout entier \(k \geqslant 0\).
2. Montrer que \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}\).
3. Établir que \(\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln x}{1 – x^2} \, \mathrm{d}x = -\frac{\pi^2}{8}\), en justifiant l’interversion.

Exercice 10 – Série alternée et sommes partielles

On considère \(\displaystyle \Lambda = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^4}\).

1. Expliquer pourquoi la série \(\sum (-1)^n x^{4n}\) échappe, sur \([0, 1[\), au théorème qui intervertit somme et intégrale.
2. Établir néanmoins que \(\Lambda = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{4n + 1}\) par convergence dominée.
3. Montrer que le reste \(R_N = \Lambda – \sum_{n=0}^{N} \frac{(-1)^n}{4n+1}\) vérifie \(|R_N| \leqslant \frac{1}{4N + 5}\).

Exercice 11 – Une intégrale à paramètre explicite

À tout réel \(x\), on associe \(\displaystyle F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{(1 + t^2)(1 + x^2 t^2)}\).

1. Justifier que \(F\) a un sens sur toute la droite réelle, qu’elle y est continue, et qu’elle est paire.
2. Pour \(x > 0\) et \(x \neq 1\), décomposer l’intégrande et montrer que \(F(x) = \frac{\pi}{2(1 + x)}\).
3. En déduire, sans nouveau calcul, la valeur de \(\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{(1 + t^2)^2}\).
4. Retrouver la limite de \(F\) en \(+\infty\) par convergence dominée.

Exercice 12 – Dériver pour calculer

On étudie \(\displaystyle F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-2t} \, \frac{\sin(xt)}{t} \, \mathrm{d}t\) en fonction du réel \(x\).

1. Vérifier que l’intégrale converge quel que soit \(x\).
2. Établir que \(F\) est dérivable, de dérivée continue, et expliciter \(F^{\prime}(x)\).
3. En déduire \(F(x)\) pour tout réel \(x\), puis la valeur de \(\int_0^{+\infty} e^{-2t} \, \frac{\sin(2t)}{t} \, \mathrm{d}t\).

Exercice 13 – Transformée de Fourier d’une exponentielle symétrique

Soit \(f(t) = e^{-|t|}\) et \(g(t) = t \, e^{-|t|}\) sur \(\mathbb{R}\). On note \(\widehat{h}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t) e^{-i\xi t} \, \mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(\widehat{f}\) est définie, continue et bornée par \(2\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \(\widehat{f}(\xi)\).
3. Justifier que \(\widehat{f}\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et exprimer sa dérivée à l’aide de \(\widehat{g}\).
4. Calculer \(\widehat{g}(\xi)\) directement et vérifier la cohérence avec la question précédente.

La figure suivante représente \(f\) et sa transformée de Fourier.

Exercice 14 – Convexité et minimum de Gamma

1. Montrer que \(\Gamma\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(]0, +\infty[\), en précisant la domination locale utilisée.
2. En déduire que \(\Gamma\) est strictement convexe.
3. Montrer que \(\Gamma\) atteint son minimum en un unique point \(c \in ]1, 2[\), et préciser son sens de variation.
4. Montrer que \(\Gamma(x) \sim \frac{1}{x}\) quand \(x \to 0^+\), et que \(\Gamma(x) \to +\infty\) quand \(x \to +\infty\).

Exercice 15 – Équivalent en l’infini et valeur en zéro

Le paramètre \(x\) est positif ou nul, et \(\displaystyle F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{\sqrt{t} \, (1 + t)} \, \mathrm{d}t\). On admet \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\).

1. Établir l’existence et la continuité de \(F\) sur \([0, +\infty[\). Que vaut \(F(0)\) ?
2. Prouver que \(F\) est \(\mathcal{C}^1\) dès que \(x > 0\), puis que \(F – F^{\prime}\) coïncide avec \(x \mapsto \sqrt{\pi / x}\).
3. En déduire, par un changement de variable, le comportement de \(F(x)\) pour \(x\) grand : \(F(x) \sim \sqrt{\pi / x}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Intégrale de deux arctangentes

Le réel \(a\) est strictement positif, et \(\displaystyle F(a) = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(at) – \arctan(t)}{t} \, \mathrm{d}t\).

1. Montrer que l’intégrande est majorée par \(|a – 1|\) sur \(]0, 1]\) et par \(\frac{|1 – 1/a|}{t^2}\) sur \([1, +\infty[\). En déduire que \(F\) est définie.
2. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0, +\infty[\) et calculer \(F^{\prime}(a)\).
3. En déduire \(F(a)\), puis \(\int_0^{+\infty} \frac{\arctan(3t) – \arctan(t)}{t} \, \mathrm{d}t\).

Exercice 17 – Régularité et valeur initiale d’une transformée de Laplace

Soit \(f\) continue et bornée sur \([0, +\infty[\), avec \(|f| \leqslant M\). Sa transformée est \(\mathcal{L}(p) = \int_0^{+\infty} f(t) e^{-pt} \, \mathrm{d}t\), pour \(p\) strictement positif.

1. Prouver que \(\mathcal{L}\) est indéfiniment dérivable et écrire chaque dérivée \(\mathcal{L}^{(k)}\) comme une intégrale.
2. Établir la règle de la valeur initiale : le produit \(p \, \mathcal{L}(p)\) tend vers \(f(0)\) lorsque \(p\) devient grand.
3. Dans cette question, \(f(t) = \frac{1}{1 + t}\). Montrer que \(\mathcal{L}(p) – \mathcal{L}^{\prime}(p) = \frac{1}{p}\) et donner un équivalent de \(\mathcal{L}(p)\) en \(+\infty\).

Exercice 18 – Problème : une fonction définie sur le segment unité

À chaque réel \(x > 0\), on associe \(\displaystyle H(x) = \int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1 + t} \, \mathrm{d}t\).

1. Justifier l’existence de \(H(x)\), puis établir que \(H\) décroît et qu’elle est continue.
2. Calculer \(H(x) + H(x + 1)\), puis \(H(1)\) et \(H\left(\frac{1}{2}\right)\).
3. Montrer que \(H(x) \to 0\) en \(+\infty\), puis que \(H(x) \sim \frac{1}{2x}\) quand \(x \to +\infty\).
4. Montrer que \(H(x) = \frac{1}{x} – \ln 2 + o(1)\) quand \(x \to 0^+\).
5. Établir que \(H(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{x + n}\) pour tout \(x > 0\).
6. Montrer que \(H\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et exprimer \(H^{\prime}(x)\) sous forme d’intégrale.

Pour aller plus loin

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