Théorèmes de convergence de Lebesgue en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une fonction étagée avec des rationnels

Sur \(\mathbb{R}\) muni de la mesure de Lebesgue \(\lambda\), on pose \(\varphi=2\cdot\mathbf{1}_{[0,3]}+5\cdot\mathbf{1}_{[1,2]}+4\cdot\mathbf{1}_{\mathbb{Q}\cap[0,4]}\).

1. Calculer \(\int\varphi\,d\lambda\) par linéarité.
2. Déterminer les valeurs prises par \(\varphi\) et les ensembles \(\{\varphi=c\}\). Retrouver l’intégrale avec l’écriture canonique.
3. La fonction \(\varphi\) est-elle Riemann-intégrable sur \([0,4]\) ? Justifier.

Exercice 2 – Troncatures croissantes et intégrale de Gauss

Pour \(n\geq 1\) et \(x>0\), on pose \(f_n(x)=\min\left(n,\,x^{-1/2}\right)e^{-x}\). On admet la valeur \(\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\) de l’intégrale de Gauss sur \([0,+\infty[\).

1. Montrer que la suite \((f_n)\) est croissante et déterminer sa limite simple sur \(]0,+\infty[\).
2. En déduire \(\lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}f_n(x)\,dx\).

Exercice 3 – Des bosses qui gardent leur masse

Pour \(n\geq 1\) et \(x\geq 0\), on pose \(f_n(x)=n^2x\,e^{-nx}\). Les premières fonctions de la suite sont tracées ci-dessous.

1. Calculer \(\int_0^{+\infty}f_n(x)\,dx\) et la limite simple de \((f_n)\).
2. Écrire l’inégalité fournie par le lemme de Fatou. Est-elle stricte ?
3. Montrer que \(g=\sup_n f_n\) n’est pas intégrable sur \(]0,1]\). On pourra minorer \(g\) sur chaque intervalle \(\left[\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right]\).

Exercice 4 – Intégrabilité de trois fonctions

Déterminer si chacune des fonctions suivantes est intégrable au sens de Lebesgue sur l’intervalle indiqué. Calculer l’intégrale lorsque c’est demandé.

1. \(a(x)=x^{-1/3}e^{-x}\) sur \(]0,+\infty[\).
2. \(b(x)=\frac{\ln x}{1+x^2}\) sur \(]0,+\infty[\). Calculer son intégrale à l’aide du changement de variable \(x=1/u\).
3. \(c(x)=\frac{1}{x(\ln x)^2}\) sur \([e,+\infty[\). Calculer son intégrale avec Beppo Levi.

Exercice 5 – Une limite par domination élémentaire

Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\frac{n\sin(x/n)}{x(2+x)}\,dx\), en justifiant chaque hypothèse du théorème utilisé.

Exercice 6 – Continuité et comportement à l’infini d’une intégrale à paramètre

Pour \(t\in\mathbb{R}\), on pose \(F(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x^2}}{1+t^2x^2}\,dx\). On admet que \(\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\).

1. Montrer que \(F\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\). Donner \(F(0)\).
2. Déterminer \(\lim_{t\to+\infty}F(t)\).
3. Montrer que \(tF(t)\to\frac{\pi}{2}\) quand \(t\to+\infty\), à l’aide du changement de variable \(u=tx\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Une série alternée sous l’intégrale

On rappelle que \(\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\).

1. Montrer que \(\sum_{k\geq 1}\frac{(-1)^{k+1}}{k^2}=\frac{\pi^2}{12}\).
2. Développer \(\frac{x}{e^{2x}+1}\) en série de fonctions pour \(x>0\).
3. Justifier l’intégration terme à terme et en déduire \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x}{e^{2x}+1}\,dx\).

Exercice 8 – Mesure à densité

Soit \(f : X\to[0,+\infty]\) mesurable. Pour \(A\in\mathcal{A}\), on pose \(\nu(A)=\int_X f\,\mathbf{1}_A\,d\mu\).

1. Montrer que \(\nu\) est une mesure sur \((X,\mathcal{A})\).
2. Montrer que \(\mu(A)=0\) entraîne \(\nu(A)=0\).
3. Montrer que \(\int h\,d\nu=\int hf\,d\mu\) pour toute \(h\) mesurable positive. On commencera par les fonctions étagées.

Exercice 9 – Trois usages du lemme de Fatou

1. Soit \((f_n)\) une suite de fonctions mesurables positives qui converge presque partout vers \(f\), avec \(\int f_n\,d\mu\leq 7\) pour tout \(n\). Montrer que \(f\) est intégrable et que \(\int f\,d\mu\leq 7\).
2. Soit \((A_n)\) une suite d’ensembles mesurables. On pose \(\liminf A_n=\bigcup_{n}\bigcap_{k\geq n}A_k\). Montrer que \(\mu(\liminf A_n)\leq\liminf\mu(A_n)\).
3. Avec \(A_n=[n,n+1]\) dans \(\mathbb{R}\), calculer les deux membres et commenter.

Exercice 10 – Deux limites d’intégrales

Déterminer les limites suivantes en justifiant soigneusement la domination.

1. \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}\arctan(nx)\,e^{-3x}\,dx\).
2. \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^{n}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n e^{-3x}\,dx\).

Exercice 11 – Noyau exponentiel et valeur en zéro

Soit \(g : [0,+\infty[\to\mathbb{R}\) continue et bornée.

1. Montrer que \(\displaystyle n\int_0^{+\infty}e^{-nx}g(x)\,dx\to g(0)\) quand \(n\to+\infty\).
2. Vérifier ce résultat par un calcul direct avec \(g=\cos\).

Exercice 12 – Une intégrale à paramètre logarithmique

Pour \(t\in\mathbb{R}\), on pose \(H(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos(tx)}{x}\,e^{-x}\,dx\).

1. Montrer que \(H\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\). On pourra utiliser \(1-\cos u\leq\frac{u^2}{2}\).
2. Montrer que \(H\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(H^{\prime}(t)\).
3. En déduire une expression simple de \(H(t)\).

Exercice 13 – Sinus et série géométrique

On admet que, pour \(a>0\), \(\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k^2+a^2}=\frac{\pi a\coth(\pi a)-1}{2a^2}\).

1. Justifier l’existence de \(L=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin(2x)}{e^x-1}\,dx\).
2. Calculer \(\int_0^{+\infty}\sin(2x)\,e^{-kx}\,dx\) pour \(k\geq 1\).
3. Montrer que \(L=\sum_{k\geq 1}\frac{2}{k^2+4}\), puis donner sa valeur exacte.

Exercice 14 – Convergente mais non intégrable

On étudie la fonction \(x\mapsto\cos(x^2)\) sur \([0,+\infty[\), dont les oscillations s’accélèrent.

1. À l’aide du changement de variable \(u=x^2\) et d’une intégration par parties, montrer que \(\int_0^A\cos(x^2)\,dx\) admet une limite finie quand \(A\to+\infty\).
2. Montrer que \(|\cos u|\geq\cos^2u\) et en déduire que \(x\mapsto\cos(x^2)\) n’est pas dans \(L^1([0,+\infty[)\).
3. Expliquer pourquoi on ne peut pas appliquer la convergence dominée à \(\int_0^{+\infty}\cos(x^2)e^{-x/n}\,dx\) avec la dominante \(|\cos(x^2)|\).

Exercice 15 – Borel-Cantelli par Beppo Levi

On se donne des ensembles mesurables \(A_1,A_2,\dots\) dont les mesures forment une série convergente.

1. On pose \(N=\sum_n\mathbf{1}_{A_n}\). Calculer \(\int N\,d\mu\) et en déduire que \(N\) est finie presque partout.
2. Traduire ce résultat en termes d’appartenance : hors d’un ensemble négligeable, combien d’ensembles \(A_n\) contiennent un point donné ?
3. Application. Dans \([0,1]\), on pose \(A_n=\bigcup_{p=0}^{n}\left]\frac{p}{n}-\frac{1}{n^3},\frac{p}{n}+\frac{1}{n^3}\right[\) pour \(n\geq 1\). Montrer que, pour presque tout \(x\in[0,1]\), il existe un rang \(n_0\) tel que \(\left|x-\frac{p}{n}\right|\geq\frac{1}{n^3}\) pour tout \(n\geq n_0\) et tout entier \(p\in\{0,\dots,n\}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – L’intégrale de Gauss par une équation différentielle

On pose \(I=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,dx\) et, pour \(t\geq 0\), \(\Psi(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-tx^2}}{1+x^2}\,dx\).

1. Montrer que \(\Psi\) est continue sur \([0,+\infty[\), calculer \(\Psi(0)\) et la limite de \(\Psi\) en \(+\infty\).
2. Pour \(t>0\), montrer que \(\int_0^{+\infty}e^{-tx^2}\,dx=\frac{I}{\sqrt{t}}\).
3. Établir la régularité \(C^1\) de \(\Psi\) sur l’intervalle ouvert \(]0,+\infty[\), puis l’équation différentielle \(\Psi^{\prime}=\Psi-I\,t^{-1/2}\).
4. Intégrer cette équation pour obtenir, sur \([0,+\infty[\), l’égalité \(e^{-t}\Psi(t)=\frac{\pi}{2}-I\displaystyle\int_0^t\frac{e^{-s}}{\sqrt{s}}\,ds\).
5. Calculer \(\int_0^{+\infty}e^{-s}s^{-1/2}\,ds\) en fonction de \(I\), puis faire tendre \(t\) vers l’infini pour trouver la valeur de \(I\).

Exercice 17 – Lemme de Scheffé

Soient \(f\) et \(f_n\) des fonctions intégrables positives. On suppose que \(f_n\to f\) presque partout et que \(\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu\).

1. Montrer que \(\int(f-f_n)^+\,d\mu\to 0\).
2. En déduire que \(\int|f_n-f|\,d\mu\to 0\).
3. Montrer, à l’aide des triangles \(h_n\) du cours, que l’hypothèse \(\int f_n\to\int f\) ne peut pas être supprimée.

Exercice 18 – Continuité absolue de l’intégrale

Soit \(f\in\mathcal{L}^1(\mu)\).

1. Montrer que \(\int\min(|f|,n)\,d\mu\to\int|f|\,d\mu\).
2. Prouver la propriété suivante : à chaque \(\varepsilon>0\) correspond un \(\delta>0\) vérifiant \(\int_A|f|\,d\mu<\varepsilon\) pour tout \(A\) mesurable de mesure \(\mu(A)<\delta\).
3. Application : pour \(f\) intégrable sur \(\mathbb{R}\) muni de \(\lambda\), montrer que \(x\mapsto\int_0^x f(s)\,ds\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 19 – Problème de synthèse sur une intégrale logarithmique

Pour \(t\in\mathbb{R}\), on pose \(F(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\ln(1+t^2x^2)}{1+x^2}\,dx\).

1. Montrer que \(F\) est bien définie et paire sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrer que \(F\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
3. Montrer que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[\), avec \(F^{\prime}(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{2tx^2}{(1+t^2x^2)(1+x^2)}\,dx\).
4. Pour \(t>0\) et \(t\neq 1\), décomposer la fraction rationnelle en \(x\) et montrer que \(F^{\prime}(t)=\frac{\pi}{1+t}\). Étendre le résultat à \(t=1\).
5. En déduire \(F(t)=\pi\ln(1+|t|)\) pour tout réel \(t\).
6. Calculer \(\int_0^{+\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}\,dx\), puis \(\int_0^{\pi/2}\ln(\cos\theta)\,d\theta\) à l’aide de \(x=\tan\theta\).
7. Donner un équivalent de \(F(t)\) quand \(t\to+\infty\).

Pour aller plus loin

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