QCM : Banach et opérateurs continus en L3 de maths

Réponse D.

La somme pondérée \(|x|+2|y|\) est séparée, homogène et vérifie l’inégalité triangulaire. En revanche, \(|x-y|\) s’annule en \((1,1)\), donc elle n’est pas séparée. De plus, le carré donne \(N(2v)=4N(v)\), et la somme de racines donne \(N(4v)=2N(v)\) : l’homogénéité tombe dans ces deux cas. Le piège consiste à ne vérifier que la positivité.

Réponse B.

Comme \(|f|\leq\|f\|_\infty\) sur un intervalle de longueur 1, on obtient \(\|f\|_1\leq\|f\|_\infty\). Cependant, \(f_n(x)=x^n\) donne \(\|f_n\|_\infty=1\) et \(\|f_n\|_1=\frac{1}{n+1}\), qui tend vers 0 ; donc aucune constante ne permet l’inégalité inverse. Ainsi les normes ne sont pas équivalentes, ce qui montre que la dimension infinie change tout.

Réponse C.

La suite des troncatures de \((1/k)_{k\geq 1}\) est de Cauchy pour la norme \(\sup\), car l’écart entre deux troncatures est majoré par l’inverse du plus petit rang. Pourtant, sa limite dans \(\ell^\infty\) n’a pas un support fini. Donc cet espace n’est pas complet. En revanche, \(\ell^1\), \(\ell^\infty\) et \(\mathcal{C}([0,1])\) sont des Banach classiques, contrairement à ce que suggère leur dimension infinie.

Réponse A.

Si \(E\) est complet, les sommes partielles d’une série absolument convergente forment une suite de Cauchy, donc convergent. Réciproquement, une suite de Cauchy admet une sous-suite à écarts sommables, et la série télescopique associée converge ; ainsi la suite converge. Par conséquent, la dimension finie suffit mais n’est pas nécessaire, comme le montre \(\ell^1\). Le caractère hilbertien ne joue aucun rôle.

Réponse D.

Pour une application linéaire, la continuité équivaut au caractère borné sur la boule unité, donc à l’existence de \(C\). Cependant, être bornée sur \(E\) tout entier force \(u=0\), puisque \(u(tx)=t\,u(x)\). Par ailleurs, une application injective peut très bien être discontinue. Enfin, envoyer la boule unité dans un compact caractérise les opérateurs compacts, ce qui est plus fort.

Réponse C.

Avec \(P_n=X^n\), on a \(\|P_n\|=1\) alors que \(P_n(2)=2^n\) tend vers l’infini : aucune constante \(C\) ne convient, donc la forme n’est pas continue. En revanche, les trois autres formes sont majorées respectivement par \(\|P\|\), \(\|P\|\) et \(2\|P\|\). Le piège est de croire qu’une forme linéaire est toujours continue, ce qui n’est vrai qu’en dimension finie.

Réponse B.

Pour \(\max(|x|,|y|)\leq 1\), on a \(|2x-3y|\leq 2+3=5\). De plus, le vecteur \((1,-1)\), de norme 1, donne exactement 5, donc la borne est atteinte. Répondre 3 revient à prendre le plus grand coefficient, ce qui correspond à la norme 1 au départ. Enfin, \(\sqrt{13}\) est la réponse pour la norme euclidienne, d’où la confusion.

Réponse A.

On a \(\|gf\|_\infty\leq\|g\|_\infty\|f\|_\infty\), et la fonction constante 1 donne l’égalité. Donc la norme vaut \(\|g\|_\infty\), atteinte en \(x=1/2\) : elle est égale à \(1/4\). La valeur \(1/6\) est l’intégrale de \(g\), qui serait pertinente pour la norme 1. Par ailleurs, \(1/2\) provient d’une évaluation de \(g\) au mauvais point.

Réponse C.

Dans une base \((e_i)\) de \(E\), on a \(\|u(x)\|\leq\big(\sum\|u(e_i)\|\big)\|x\|_\infty\). Or toutes les normes de \(E\) sont équivalentes, donc cette majoration vaut pour toute norme. Ainsi seule la dimension de l’espace de départ compte. Le piège consiste à placer l’hypothèse sur l’espace d’arrivée, alors que la complétude de \(F\) n’intervient pas.

Réponse B.

Une majoration par une somme est impossible pour \(\beta\neq 0\) : en remplaçant \((a,b)\) par \((ta,tb)\), le membre de gauche croît comme \(t^2\) et celui de droite comme \(t\). De même, le maximum se comporte comme une somme. En revanche, le produit des normes respecte la bilinéarité. Par conséquent, c’est l’analogue naturel du critère linéaire, et l’oubli de \(\|b\|\) casse la symétrie.

Réponse A.

Chaque \(e_n\) est de norme 1, et \(\|e_n-e_m\|_1=2\) dès que \(n\neq m\). Ainsi aucune sous-suite n’est de Cauchy, donc aucune ne converge. Le piège principal vient de la convergence coordonnée par coordonnée vers 0, qui n’entraîne pas la convergence en norme. De plus, invoquer Bolzano-Weierstrass est faux ici, car ce théorème ne vaut qu’en dimension finie.

Réponse D.

D’après Riesz, la compacité de la boule unité fermée caractérise exactement les espaces de dimension finie. Donc, en dimension infinie, aucune norme ne la rend compacte. En effet, la complétude ne suffit pas, comme le montre \(\ell^1\) à la question précédente. De même, un espace de Hilbert de dimension infinie possède une suite orthonormée sans sous-suite convergente.