Théorème de Rouché et séries de Laurent : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « théorème de Rouché et séries de Laurent », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure et demie porte sur la seconde partie du cours d’analyse complexe de L3. Programmez-le juste après le chapitre sur les résidus. D’abord, vous développerez une fraction rationnelle en série de Laurent sur trois couronnes, puis vous en tirerez deux intégrales sur des cercles. Ensuite, quatre fonctions permettent de distinguer pôle, singularité effaçable et singularité essentielle. Le troisième exercice calcule une intégrale réelle par le théorème des résidus. Enfin, le problème compte les zéros d’un polynôme grâce au théorème de Rouché, puis vérifie ce décompte par un calcul direct. Ce sujet valorise autant la justification des contours que les calculs.
Ce qu’évalue le contrôle : théorème de Rouché et séries de Laurent
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Séries de Laurent, résidus et intégrales réelles (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Écrire le développement de Laurent d’une fraction rationnelle sur chaque couronne délimitée par ses pôles
- Classer une singularité isolée et calculer le résidu correspondant
- Calculer une intégrale réelle par le théorème des résidus sur un demi-disque
- Dénombrer les zéros d’un polynôme ou d’une fonction entière dans un disque grâce au théorème de Rouché
Avant de commencer le devoir
Avant de développer une fraction, repérez ses pôles : ils délimitent les couronnes où chaque développement est valable. Pour un résidu, choisissez la méthode la plus rapide, par exemple un développement limité au voisinage du point. Sur un demi-cercle, majorez soigneusement le module, car la limite nulle doit être prouvée. Avec Rouché, enfin, vérifiez l’inégalité stricte sur tout le cercle avant de conclure.
Le sujet du contrôle : théorème de Rouché et séries de Laurent
Exercice 1 – Une fraction sur trois couronnes (5 points)
On définit, pour \(z \in \mathbb{C} \setminus \{1, -3\}\), la fonction \(f(z) = \frac{4}{(z – 1)(z + 3)}\). Ses deux pôles délimitent trois domaines : le disque \(\mathcal{A}\) défini par \(\lvert z \rvert < 1\), la couronne \(\mathcal{B}\) définie par \(1 < \lvert z \rvert < 3\) et l’extérieur \(\mathcal{C}\) défini par \(\lvert z \rvert > 3\).
- Tout d’abord, décomposer \(f\) en éléments simples.
- Développer \(f\) en série entière sur \(\mathcal{A}\), puis contrôler le coefficient constant à l’aide de \(f(0)\).
- Déterminer le développement de Laurent de \(f\) sur la couronne \(\mathcal{B}\). Justifier aussi la convergence de chacune des deux séries utilisées, car elles n’ont pas la même raison.
- Écrire ensuite le développement de Laurent de \(f\) sur \(\mathcal{C}\), sous la forme \(\sum_{n \geq 1} c_n z^{-n}\). Retrouver ainsi un équivalent de \(f(z)\) quand \(\lvert z \rvert\) tend vers l’infini.
- En déduire, sans calcul de résidu, les intégrales de \(f\) sur les cercles de centre 0 et de rayons 2 et 5, parcourus une fois dans le sens direct.
Exercice 2 – Quatre singularités à classer (4 points)
Pour chacune des fonctions suivantes, préciser la nature de la singularité au point indiqué (effaçable, pôle et son ordre, ou essentielle). Calculer ensuite le résidu en ce point. Lorsque la singularité est effaçable, donner de plus la valeur du prolongement.
- \(g_1(z) = \frac{1 – \cos z}{z^3}\) en 0.
- \(g_2(z) = z^2 \sin\left(\frac{1}{z}\right)\) en 0.
- \(g_3(z) = \frac{\mathrm{e}^{2z} – 1 – 2z}{z^2}\) en 0.
- \(g_4(z) = \frac{\mathrm{e}^{z}}{(z – 1)^2}\) en 1.
Exercice 3 – Une intégrale oscillante sur la droite réelle (5 points)
On cherche les valeurs des deux intégrales suivantes, dont les intégrandes sont représentées ci-dessous :
\[I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 2x + 5}\,dx, \qquad K = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^2 + 2x + 5}\,dx.\]
Pour cela, on pose \(F(z) = \frac{\mathrm{e}^{iz}}{z^2 + 2z + 5}\). Ensuite, pour \(R > \sqrt{5}\), on note \(C_R\) le demi-cercle de centre 0 et de rayon \(R\) situé dans le demi-plan \(\mathrm{Im}\,z \geq 0\), puis \(\Gamma_R\) le lacet formé du segment \([-R, R]\) suivi de \(C_R\).
- Justifier l’existence de \(I\) et de \(K\), puis expliquer pourquoi on intègre \(\mathrm{e}^{iz}\) plutôt que \(\cos z\).
- Déterminer alors les pôles de \(F\), leur ordre, et le résidu de \(F\) au pôle situé dans le demi-plan supérieur.
- Calculer \(\int_{\Gamma_R} F(z)\,dz\), puis montrer que l’intégrale de \(F\) sur \(C_R\) tend vers 0 quand \(R\) tend vers \(+\infty\).
- En déduire les valeurs exactes de \(I\) et de \(K\). Le signe obtenu pour \(K\) est-il cohérent avec la figure ?
Exercice 4 – Problème : localiser des zéros par Rouché (6 points)
On note \(D_r\) le disque ouvert de centre 0 et de rayon \(r\), et l’on considère le polynôme \(P(z) = z^6 – 5z^2 + 1\). Dans tout le problème, les zéros sont comptés avec leur multiplicité.
- Énoncer le théorème de Rouché pour deux fonctions holomorphes au voisinage d’un disque fermé.
- Montrer que \(P\) possède exactement 2 zéros dans \(D_1\), aucun sur le cercle unité, puis 6 zéros dans \(D_2\). Combien de zéros se trouvent alors dans la couronne \(1 < \lvert z \rvert < 2\) ?
- On pose \(q(u) = u^3 – 5u + 1\). Montrer que \(q\) admet trois racines réelles \(u_1 < u_2 < u_3\), en les encadrant par des entiers consécutifs. Exprimer alors les six zéros de \(P\) à l’aide de ces racines, puis vérifier la cohérence avec la question 2.
- Montrer enfin que l’équation \(\mathrm{e}^{z} = 4z^3\) possède exactement trois solutions dans \(D_1\). Prouver qu’une seule d’entre elles est réelle.
Réviser théorème de Rouché et séries de Laurent avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours séries de laurent, résidus et intégrales réelles ; entraînez-vous sur les exercices séries de laurent, résidus et intégrales réelles avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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