Difféomorphismes et fonctions implicites : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « difféomorphismes et fonctions implicites », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se place au semestre 6 de L3, juste après le cours sur le théorème d’inversion locale et avant le chapitre sur l’optimisation. D’abord, vous étudierez une application polynomiale du plan, puis une perturbation de l’identité dont vous montrerez qu’elle est un difféomorphisme global. Ensuite, le théorème des fonctions implicites décrira localement une courbe de niveau, dont vous donnerez la tangente et un développement limité. De plus, une courbe de l’espace vous demandera un espace tangent et l’étude d’un point singulier. Enfin, le problème relie les coefficients d’un trinôme à ses racines simples, ce qui illustre l’inversion globale sur un ouvert du plan.
Ce qu’évalue le contrôle : difféomorphismes et fonctions implicites
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Appliquer le théorème d’inversion locale et calculer la différentielle d’une réciproque locale
- Prouver qu’une perturbation contractante de l’identité est un difféomorphisme global du plan
- Utiliser le théorème des fonctions implicites pour obtenir tangente et développement limité d’une courbe de niveau
- Calculer l’espace tangent d’une sous-variété définie par deux équations et repérer un point singulier
- Établir que les racines simples d’un trinôme dépendent de façon régulière de ses coefficients
Avant de commencer le devoir
Avant d’appliquer un théorème, vérifiez toutes ses hypothèses : classe \(C^1\), ouvert de départ, différentielle inversible au point considéré. Pour une inversion globale, séparez nettement l’injectivité, la surjectivité et le caractère local. Quand une courbe est donnée par une équation, dérivez la relation \(F(x, \varphi(x)) = 0\) plutôt que de chercher \(\varphi\) explicitement. Enfin, contrôlez vos points particuliers en les reportant dans les équations de départ, car une erreur de signe y est vite arrivée.
Le sujet du contrôle : difféomorphismes et fonctions implicites
Exercice 1 – Une application polynomiale du plan (3 points)
On définit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) par \(f(x, y) = \left(x + y^3,\; y + x^2\right)\).
- Justifier que \(f\) est de classe \(C^1\), puis calculer sa matrice jacobienne \(J_f(x, y)\) et son déterminant.
- Montrer qu’il existe un voisinage ouvert \(W\) de \((1, 1)\) tel que \(f\) réalise un difféomorphisme de \(W\) sur un ouvert contenant \((2, 2)\). Calculer alors la matrice jacobienne de la réciproque en \((2, 2)\).
- Déterminer l’ensemble \(Z\) des points en lesquels \(J_f\) n’est pas inversible. Prouver ensuite que \(f\) n’est un difféomorphisme local en aucun point de \(Z\).
Exercice 2 – Une perturbation de l’identité (4 points)
On considère \(\Phi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) définie par \(\Phi(x, y) = \left(x – \frac{1}{3}\cos y,\; y + \frac{1}{3}\operatorname{Arctan} x\right)\). Le plan est muni de la norme \(\lVert (x, y) \rVert_\infty = \max\left(\lvert x \rvert, \lvert y \rvert\right)\). La figure montre l’image d’un quadrillage par \(\Phi\) ; le point vert est l’origine et son image.
- Calculer la matrice jacobienne de \(\Phi\) et montrer que son déterminant est minoré par \(\frac{8}{9}\) sur \(\mathbb{R}^2\).
- On écrit \(\Phi = \mathrm{id} + g\). Établir que \(\lVert g(p) – g(q) \rVert_\infty \leq \frac{1}{3} \lVert p – q \rVert_\infty\) pour tous \(p, q\), puis en déduire que \(\Phi\) est injective.
- Soit \((a, b) \in \mathbb{R}^2\). Ramener l’équation \(\Phi(x, y) = (a, b)\) à la recherche du point fixe d’une application contractante, et conclure que \(\Phi\) est surjective.
- Démontrer que \(\Phi\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) sur lui-même, puis calculer la matrice jacobienne de \(\Phi^{-1}\) au point \(\Phi(0, 0)\).
Exercice 3 – Une courbe de niveau quartique (4 points)
Soit \(F(x, y) = x^2 + x y^2 + y^4\) et \(\mathcal{C} = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : F(x, y) = 3\right\}\). On note \(A = (1, 1)\).
- Vérifier que \(F(x, y) = \left(x + \frac{y^2}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} y^4\), puis en déduire que \(\mathcal{C}\) est une partie compacte non vide du plan.
- Montrer que le gradient de \(F\) ne s’annule en aucun point de \(\mathcal{C}\). Qu’en conclut-on pour \(\mathcal{C}\) ?
- Justifier l’existence d’un intervalle ouvert \(I\) contenant 1 et d’une fonction \(\varphi\) de classe \(C^2\) sur \(I\), avec \(\varphi(1) = 1\), telle que \(\mathcal{C}\) coïncide près de \(A\) avec le graphe de \(\varphi\). Calculer ensuite \(\varphi^{\prime}(1)\) et \(\varphi^{\prime\prime}(1)\), puis écrire l’équation de la tangente en \(A\).
- Déterminer les points de \(\mathcal{C}\) au voisinage desquels \(\mathcal{C}\) n’est le graphe d’aucune fonction de \(x\) de classe \(C^1\).
Exercice 4 – Une sphère coupée par une selle (4 points)
Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(g_1(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 – 9\) et \(g_2(x, y, z) = x y + z – 3\), puis \(M = \left\{(x, y, z) : g_1(x, y, z) = 0 \text{ et } g_2(x, y, z) = 0\right\}\). On note \(A = (2, 2, -1)\) et \(S = (0, 0, 3)\). La figure représente la projection \(\Gamma\) de \(M\) sur le plan d’équation \(z = 0\).
- Vérifier que \(A\) et \(S\) appartiennent à \(M\), puis montrer que \(\Gamma\) a pour équation \(x^2 + y^2 – 6xy + x^2 y^2 = 0\).
- Prouver que la matrice jacobienne de \((g_1, g_2)\) est de rang 2 en tout point de \(M\) distinct de \(S\). Que peut-on alors dire de \(M \setminus \{S\}\) ?
- Déterminer l’espace tangent \(T_A M\), ainsi qu’une représentation paramétrique de la tangente affine à \(M\) en \(A\).
- On admet que, près de l’origine, \(\Gamma\) est la réunion de deux arcs réguliers, tangents aux deux droites dont la réunion a pour équation \(x^2 – 6xy + y^2 = 0\). Déterminer ces droites, puis en déduire que \(M\) n’est pas une sous-variété de dimension 1 au voisinage de \(S\).
Exercice 5 – Problème : racines d’un trinôme et coefficients (5 points)
Un trinôme unitaire \(X^2 – sX + p\) est déterminé par sa somme \(s\) et son produit \(p\). Ce problème montre que ses racines, lorsqu’elles sont réelles et distinctes, dépendent de façon \(C^1\) de \((s, p)\). On pose donc \(U = \left\{(u, v) \in \mathbb{R}^2 : u > v\right\}\), \(V = \left\{(s, p) \in \mathbb{R}^2 : s^2 – 4p > 0\right\}\) et \(\Phi(u, v) = (u + v,\; uv)\). Les deux ouverts sont colorés sur la figure.
- Montrer que \(\Phi\) envoie \(U\) dans \(V\), puis qu’elle réalise une bijection de \(U\) sur \(V\).
- Calculer le déterminant jacobien de \(\Phi\), puis en déduire que \(\Phi\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(U\) sur \(V\).
- Exprimer \(\Phi^{-1}(s, p)\) à l’aide de \(\sqrt{s^2 – 4p}\). Calculer ensuite la matrice jacobienne de \(\Phi^{-1}\) en \((3, 2)\) de deux manières : avec cette formule, puis avec la différentielle de \(\Phi\) en \((2, 1)\).
- On perturbe le trinôme \(X^2 – 3X + 2\) en \(X^2 – (3 + h)X + 2 + k\), avec \(h\) et \(k\) petits. Donner un développement à l’ordre 1 de sa plus grande racine en fonction de \(h\) et \(k\), puis vérifier ce résultat directement.
- Montrer enfin que \(\Phi\), considérée sur \(\mathbb{R}^2\) tout entier, n’est un difféomorphisme local en aucun point de la droite d’équation \(u = v\).
Réviser difféomorphismes et fonctions implicites avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites ; entraînez-vous sur les exercices théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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