Extensions et corps finis en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Frobenius en caractéristique 5

Soit \(K\) un corps de caractéristique \(5\).

1. Calculer \(\binom{5}{k}\) pour \(k \in \{1, 2, 3, 4\}\) et vérifier que ces entiers sont multiples de \(5\).
2. Montrer que, pour tous \(a, b \in K\), \((a+b)^5 = a^5 + b^5\) et \((a-b)^5 = a^5 – b^5\).
3. Montrer que l’application \(F : x \mapsto x^5\) est un morphisme de corps injectif de \(K\) dans \(K\). En déduire qu’elle est bijective si \(K\) est fini.
4. Montrer que l’ensemble des \(x \in K\) tels que \(x^5 = x\) est exactement le sous-corps premier de \(K\).

Exercice 2 – Sous-corps premier et morphismes de corps

Un morphisme de corps \(f : K \to L\) est un morphisme d’anneaux vérifiant \(f(1) = 1\).

1. Montrer qu’un morphisme de corps est toujours injectif.
2. En déduire que \(K\) et \(L\) ont la même caractéristique.
3. On suppose la caractéristique nulle. Montrer que \(f(r) = r\) pour tout rationnel \(r\), vu dans les sous-corps premiers. En déduire que l’identité est le seul automorphisme de \(\mathbb{Q}\).
4. Déterminer tous les morphismes de corps de \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) dans \(\mathbb{R}\).

Exercice 3 – Une extension biquadratique de degré 4

On pose \(L = \mathbb{Q}(\sqrt{6}, \sqrt{10})\), sous-corps de \(\mathbb{R}\).

1. Montrer que \(\sqrt{6}\) est irrationnel et que \([\mathbb{Q}(\sqrt{6}):\mathbb{Q}] = 2\).
2. Montrer que \(\sqrt{10} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{6})\).
3. En déduire \([L:\mathbb{Q}]\) et donner une base de \(L\) sur \(\mathbb{Q}\).
4. Montrer que \(\sqrt{15} \in L\) et l’écrire dans cette base.

Exercice 4 – Inverse dans une extension cubique

On note \(c = \sqrt[3]{4}\) le réel dont le cube vaut \(4\), et \(a = 1 + c\).

1. Montrer que \(X^3 – 4\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\). En déduire \([\mathbb{Q}(c):\mathbb{Q}]\) et une base de \(\mathbb{Q}(c)\).
2. Montrer que \(a\) annule \(X^3 – 3X^2 + 3X – 5\), puis que c’est son polynôme minimal sur \(\mathbb{Q}\).
3. Écrire \(a^3\) et \(a^{-1}\) dans la base \((1, c, c^2)\).

Exercice 5 – Deux cubiques sur le corps à sept éléments

1. Déterminer l’ensemble des cubes de \(\mathbb{F}_7\).
2. Montrer que \(X^3 + 2\) est irréductible sur \(\mathbb{F}_7\).
3. Montrer que \(X^3 + X + 2\) admet une racine dans \(\mathbb{F}_7\), puis le factoriser complètement dans \(\mathbb{F}_7[X]\).
4. Déterminer le cardinal de \(A = \mathbb{F}_7[X]/(X^3 + 2)\) et de \(B = \mathbb{F}_7[X]/(X^3 + X + 2)\). Lequel de ces deux anneaux est un corps ? Justifier.

Exercice 6 – Stabilité de la transcendance

Soit \(t\) un nombre complexe transcendant sur \(\mathbb{Q}\).

1. Soit \(P \in \mathbb{Q}[X]\) non constant. Montrer que \(P(t)\) est transcendant. En déduire que \(t^2\) et \(t^2 – 7t\) sont transcendants.
2. Montrer que \(1/t\) et \(t + \sqrt{3}\) sont transcendants.
3. On admet que \(\pi\) est transcendant. Montrer que \(\pi\sqrt{2}\) et \(\pi^2 + \pi\) sont transcendants.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Une racine carrée emboîtée

On pose \(a = \sqrt{3 + \sqrt{5}}\).

1. Montrer que \(a\) annule \(P = X^4 – 6X^2 + 4\).
2. Calculer \(\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}\right)^2\) et en déduire une autre écriture de \(a\).
3. Montrer que \(\mathbb{Q}(a) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{10})\), puis que ce corps est de degré \(4\) sur \(\mathbb{Q}\). En déduire le polynôme minimal de \(a\).
4. Déterminer les quatre racines de \(P\) et montrer que \(\mathbb{Q}(a)\) est un corps de décomposition de \(P\).

Exercice 8 – Corps de décomposition d’une cubique

On étudie \(P = X^3 – 7\) sur \(\mathbb{Q}\). On note \(r = \sqrt[3]{7}\) et \(j = e^{2i\pi/3}\). La figure place les trois racines complexes de \(P\).

1. Établir l’irréductibilité de \(P\) sur \(\mathbb{Q}\), puis exprimer ses trois racines complexes à l’aide de \(r\) et \(j\).
2. On note \(D\) le sous-corps de \(\mathbb{C}\) engendré par ces trois racines. Prouver que \(D = \mathbb{Q}(r, i\sqrt{3})\).
3. Calculer \([D:\mathbb{Q}]\) de deux façons : par une tour passant par \(\mathbb{Q}(r)\), puis par un argument de divisibilité.
4. Montrer que \(\mathbb{Q}(r)\) et \(\mathbb{Q}(jr)\) sont isomorphes mais distincts.

Exercice 9 – Les racines primitives huitièmes de l’unité

On pose \(\omega = e^{i\pi/4}\) et \(P = X^4 + 1\).

1. Montrer que les racines complexes de \(P\) sont \(\omega\), \(\omega^3\), \(\omega^5\) et \(\omega^7\).
2. Développer \(P(X+1)\) et en déduire que \(P\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\).
3. Montrer que \(\mathbb{Q}(\omega) = \mathbb{Q}(i, \sqrt{2})\), puis que c’est le corps de décomposition de \(P\). Préciser son degré sur \(\mathbb{Q}\).
4. Factoriser \(P\) en produit de deux polynômes de degré \(2\), d’une part dans \(\mathbb{Q}(i)[X]\), d’autre part dans \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]\).

Exercice 10 – Un même nombre, plusieurs polynômes minimaux

On note \(b = \sqrt[4]{3}\), racine quatrième réelle positive de \(3\).

1. Déterminer le polynôme minimal de \(b\) sur \(\mathbb{Q}\).
2. Déterminer le polynôme minimal de \(b\) sur \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\).
3. Calculer \([\mathbb{Q}(b, i):\mathbb{Q}]\). En déduire le polynôme minimal de \(b\) sur \(\mathbb{Q}(i)\).
4. Le polynôme \(X^4 – 3\) est-il irréductible sur \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) ? sur \(\mathbb{Q}(i)\) ? sur \(\mathbb{R}\) ?

Exercice 11 – Construction du corps à huit éléments

On pose \(Q = X^3 + X^2 + 1 \in \mathbb{F}_2[X]\) et \(E = \mathbb{F}_2[X]/(Q)\). On note \(\alpha\) la classe de \(X\).

1. Montrer que \(Q\) est irréductible et que \(E\) est un corps à \(8\) éléments.
2. Écrire \(\alpha^k\) dans la base \((1, \alpha, \alpha^2)\) pour \(0 \leqslant k \leqslant 7\).
3. Montrer que \(\alpha\) engendre \(E^*\). Combien \(E^*\) possède-t-il de générateurs ?
4. Calculer l’inverse de \(\alpha^2 + 1\).
5. Montrer que \(\alpha^2 + 1\) annule \(X^3 + X + 1\). En déduire son polynôme minimal sur \(\mathbb{F}_2\).
6. Montrer que l’équation \(x^2 + x + 1 = 0\) n’a aucune solution dans \(E\).

Exercice 12 – Générateurs du groupe des inversibles modulo 11

1. Déterminer l’ordre de \(2\) et l’ordre de \(3\) dans le groupe \(\mathbb{F}_{11}^*\).
2. En déduire la liste de tous les générateurs de \(\mathbb{F}_{11}^*\).
3. Déterminer l’ensemble des solutions de \(x^5 = 1\) dans \(\mathbb{F}_{11}\) et montrer qu’il coïncide avec l’ensemble des carrés non nuls.
4. En déduire que \(-1\) n’est pas un carré dans \(\mathbb{F}_{11}\).

Exercice 13 – Le pentagone régulier est constructible

On pose \(\zeta = e^{2i\pi/5}\), \(c = \cos(2\pi/5)\) et \(u = \zeta + \zeta^4\). La figure montre le pentagone régulier inscrit dans le cercle unité.

1. Montrer que \(1 + \zeta + \zeta^2 + \zeta^3 + \zeta^4 = 0\) et que \(u = 2c\).
2. Montrer que \(u^2 + u – 1 = 0\).
3. En déduire la valeur exacte de \(c\) et le degré \([\mathbb{Q}(c):\mathbb{Q}]\).
4. Justifier que le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas.

Exercice 14 – L’ennéagone régulier n’est pas constructible

On pose \(t = 2\cos 40°\).

1. Montrer que \(t^3 – 3t + 1 = 0\).
2. Montrer que \(X^3 – 3X + 1\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\) et en déduire \([\mathbb{Q}(t):\mathbb{Q}]\).
3. En déduire que l’angle de \(40°\) n’est pas constructible, ni le polygone régulier à neuf côtés.
4. L’angle de \(120°\) est-il constructible ? Que dit l’exercice sur sa trisection ?

Exercice 15 – Degré premier et corps intermédiaires

1. Soit \(L/K\) une extension de degré premier \(p\). Montrer que \(K\) et \(L\) sont les seuls corps intermédiaires, puis que \(L = K(a)\) pour tout \(a \in L \setminus K\).
2. Soit \(a\) algébrique sur \(K\) de degré impair. Montrer que \(K(a^2) = K(a)\).
3. On pose \(c = \sqrt[3]{5}\) et \(d = c^2\). Écrire \(c\) comme un polynôme en \(d\) à coefficients rationnels.
4. Montrer que \(\sqrt[3]{5} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{5})\), puis que \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}) \cap \mathbb{Q}(\sqrt{7}) = \mathbb{Q}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Les sous-corps du corps à 64 éléments

On fixe un corps \(K\) à \(64\) éléments.

1. Déterminer les cardinaux possibles des sous-corps de \(K\), et montrer qu’il y a exactement un sous-corps de chaque cardinal possible.
2. Montrer que le sous-corps à \(4\) éléments et le sous-corps à \(8\) éléments ont pour intersection le sous-corps premier.
3. Combien d’éléments \(a \in K\) vérifient \(\mathbb{F}_2(a) = K\) ?
4. En déduire le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré \(6\) dans \(\mathbb{F}_2[X]\).
5. Combien \(K^*\) possède-t-il de générateurs ? Comparer avec la question 3.

Exercice 17 – Carrés dans un corps fini

Soit \(q\) une puissance d’un nombre premier impair et \(g\) un générateur de \(\mathbb{F}_q^*\).

1. Montrer que \(x \mapsto x^2\) est un morphisme de \(\mathbb{F}_q^*\) dont le noyau est \(\{-1, 1\}\). En déduire le nombre de carrés de \(\mathbb{F}_q\), zéro compris.
2. Montrer que \(x \in \mathbb{F}_q^*\) est un carré si et seulement si \(x^{(q-1)/2} = 1\).
3. En déduire que \(-1\) est un carré dans \(\mathbb{F}_q\) si et seulement si \(q \equiv 1 \pmod 4\). Trouver une racine carrée de \(-1\) dans \(\mathbb{F}_{13}\).
4. Montrer que tout élément de \(\mathbb{F}_q\) est somme de deux carrés.
5. Écrire \(3\) comme somme de deux carrés dans \(\mathbb{F}_7\).

Exercice 18 – Nombres algébriques et dénombrabilité

1. Montrer que l’ensemble \(A\) des réels algébriques sur \(\mathbb{Q}\) est un sous-corps de \(\mathbb{R}\).
2. Montrer que \(A\) est dénombrable. En déduire l’existence de réels transcendants.
3. Soit \(t\) un réel transcendant. Montrer que \(t \notin \mathbb{Q}(t^2)\), puis que \([\mathbb{Q}(t):\mathbb{Q}(t^2)] = 2\).
4. En déduire une suite strictement décroissante de corps \(\mathbb{Q}(t) \supsetneq \mathbb{Q}(t^2) \supsetneq \mathbb{Q}(t^4) \supsetneq \cdots\), et retrouver que \([\mathbb{Q}(t):\mathbb{Q}]\) est infini.

Exercice 19 – Problème – Le corps à seize éléments

On pose \(Q = X^4 + X + 1 \in \mathbb{F}_2[X]\), \(E = \mathbb{F}_2[X]/(Q)\), et \(\alpha\) la classe de \(X\).

1. Montrer que \(X^2 + X + 1\) est le seul polynôme irréductible de degré \(2\) sur \(\mathbb{F}_2\). En déduire que \(Q\) est irréductible et que \(E\) est un corps à \(16\) éléments.
2. Écrire \(\alpha^k\) dans la base \((\alpha^i)_{0 \leqslant i \leqslant 3}\) pour \(4 \leqslant k \leqslant 8\). Montrer que \(\alpha\) est d’ordre \(15\).
3. On pose \(\beta = \alpha^5\). Montrer que \(\beta^2 + \beta + 1 = 0\). En déduire le sous-corps à \(4\) éléments de \(E\), sous forme de puissances de \(\alpha\).
4. On pose \(\gamma = \alpha^3\). Montrer que \(\gamma\) n’appartient à aucun sous-corps strict de \(E\). En déduire que son polynôme minimal est \(X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\).
5. Compter les polynômes unitaires irréductibles de degré \(4\) sur \(\mathbb{F}_2\), puis les écrire tous.

Exercice 20 – Problème – L’heptagone régulier

On pose \(\zeta = e^{2i\pi/7}\) et \(t = \zeta + \zeta^{-1} = 2\cos(2\pi/7)\).

1. Montrer que \(\zeta^3 + \zeta^{-3} = t^3 – 3t\) et que \(\zeta^2 + \zeta^{-2} = t^2 – 2\).
2. En utilisant \(1 + \zeta + \cdots + \zeta^6 = 0\), montrer que \(t^3 + t^2 – 2t – 1 = 0\).
3. Montrer que \(X^3 + X^2 – 2X – 1\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\). En déduire que l’heptagone régulier n’est pas constructible.
4. Exprimer \(2\cos(4\pi/7)\) et \(2\cos(6\pi/7)\) comme polynômes en \(t\). En déduire que \(\mathbb{Q}(t)\) est un corps de décomposition de \(X^3 + X^2 – 2X – 1\).
5. Montrer que \([\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}(t)] = 2\), puis que \(1 + X + \cdots + X^6\) est le polynôme minimal de \(\zeta\) sur \(\mathbb{Q}\).

Pour aller plus loin

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