Multiplicateurs de Lagrange en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Points critiques d’un polynôme à variables séparées

On considère \(f(x,y) = y^3 – 3y + x^2 – 2x\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Déterminer les points critiques de \(f\).
2. Préciser la nature de chacun à l’aide de la Hessienne.
3. La fonction \(f\) admet-elle un minimum global sur \(\mathbb{R}^2\) ? Justifier.

Exercice 2 – Hessienne dégénérée à l’origine

On pose \(f(x,y) = x^2 + 2xy + y^2 + y^4\) et \(g(x,y) = x^2 + 2xy + y^2 – y^4\).

1. Vérifier que l’origine est un point critique de \(f\) et de \(g\), et que les deux Hessiennes y sont égales et non inversibles.
2. Montrer que \(f\) admet en \((0,0)\) un minimum global strict.
3. Montrer que \(g\) n’admet pas d’extremum local en \((0,0)\).

Exercice 3 – Minimum global d’une fonction coercive

Soit \(f(x,y) = x^4 + y^2 + 2xy\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Établir l’inégalité \(f(x,y) \geq x^4 – 2x^2 + \tfrac{1}{2}y^2\), puis en déduire que \(f\) est coercive.
2. Justifier l’existence d’un minimum global.
3. Déterminer les points critiques, puis la valeur du minimum et les points où il est atteint.

Exercice 4 – Produit maximal sur une ellipse

On note \(E\) l’ellipse d’équation \(x^2 + 9y^2 = 18\) et \(f(x,y) = xy\).

1. Justifier que \(f\) admet un maximum et un minimum sur \(E\), et que la contrainte est qualifiée en tout point de \(E\).
2. Écrire le système de Lagrange et le résoudre.
3. En déduire les valeurs extrêmes de \(f\) sur \(E\) et les points où elles sont atteintes.

Exercice 5 – Convexité stricte et minimum unique

Soit \(f(x,y) = x^2 + xy + y^2 + e^{x}\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Calculer la Hessienne de \(f\) et montrer que \(f\) est strictement convexe.
2. Montrer que les points critiques de \(f\) sont les \((x, -\tfrac{x}{2})\) avec \(\tfrac{3}{2}x + e^{x} = 0\).
3. Montrer que cette équation possède une unique solution \(x_0\), et que \(-1 < x_0 < 0\).
4. Conclure sur le minimum de \(f\).

Exercice 6 – Point d’un plan le plus proche de l’origine

On note \(P\) le plan d’équation \(x + 2y + 3z = 28\) dans \(\mathbb{R}^3\).

1. Minimiser \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\) sur \(P\) par la méthode de Lagrange.
2. Justifier, par un argument de convexité, que le point trouvé réalise bien le minimum global.
3. En déduire la distance de l’origine au plan \(P\), et la comparer à la formule \(\tfrac{|d|}{\|n\|}\) de distance à un plan.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Une contrainte qui n’est pas qualifiée

On considère la courbe \(C : y^2 = (x-1)^3\) et la fonction \(f(x,y) = x\).

1. Montrer que tout point de \(C\) vérifie \(x \geq 1\), puis déterminer le minimum de \(f\) sur \(C\).
2. Avec \(g(x,y) = y^2 – (x-1)^3\), montrer que le système \(\nabla f = \lambda \nabla g\), \(g = 0\) n’a aucune solution.
3. Expliquer pourquoi ce résultat ne contredit pas le théorème des extrema liés.

Exercice 8 – Altitude extrême sur un cercle de l’espace

On note \(\Gamma\) l’intersection de la sphère \(x^2 + y^2 + z^2 = 6\) et du plan \(x + y + z = 0\).

1. Justifier que \(\Gamma\) est compact et que les deux contraintes sont qualifiées en tout point de \(\Gamma\).
2. Déterminer les extrema de \(f(x,y,z) = z\) sur \(\Gamma\) à l’aide de deux multiplicateurs.

Exercice 9 – Produit pondéré maximal

Soit \(S = \{(x,y,z) \in [0, +\infty[^3 : x + y + z = 12\}\) et \(P(x,y,z) = x y^2 z^3\).

1. Justifier que \(P\) atteint un maximum sur \(S\), en un point dont les trois coordonnées sont strictement positives.
2. En utilisant la fonction \(\ln P\), déterminer ce point et la valeur du maximum.

Exercice 10 – Sensibilité d’un minimum à la contrainte

Pour \(c > 0\), on note \(V(c)\) le minimum de \(f(x,y) = x^2 + 4y^2\) sur la droite \(x + y = c\).

1. Justifier l’existence de ce minimum et le calculer par la méthode de Lagrange. Exprimer le multiplicateur \(\lambda(c)\).
2. Vérifier que \(V^{\prime}(c) = \lambda(c)\).
3. Estimer \(V(5{,}1)\) à partir de \(V(5)\) et de \(\lambda(5)\), puis comparer avec la valeur exacte.

Exercice 11 – Une inégalité par les extrema liés

Soit \(h(x,y,z) = x + 2y – 2z\).

1. Déterminer les extrema de \(h\) sur la sphère unité de \(\mathbb{R}^3\) par la méthode de Lagrange.
2. En déduire que \(|x + 2y – 2z| \leq 3\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) pour tout \((x,y,z) \in \mathbb{R}^3\), et préciser les cas d’égalité.

Exercice 12 – Log-somme-exponentielle

Soit \(f(x,y) = \ln\big(e^{x} + e^{y}\big)\) sur \(\mathbb{R}^2\). On pose \(p = \tfrac{e^{x}}{e^{x} + e^{y}}\) et \(q = 1 – p\).

1. Montrer que la Hessienne de \(f\) vaut \(pq \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\).
2. En déduire que \(f\) est convexe.
3. Calculer \(f(x+t, y+t)\) et en déduire que \(f\) n’est pas strictement convexe.
4. Montrer que \(f\) n’admet pas de minimum sur \(\mathbb{R}^2\), puis expliquer pourquoi cela ne contredit pas la convexité.

Exercice 13 – Point d’une parabole le plus proche

On note \(\mathcal{P}\) la parabole d’équation \(x^2 = 4y\) et \(A = (0, 3)\).

1. Justifier qu’il existe un point de \(\mathcal{P}\) le plus proche de \(A\).
2. Écrire le système de Lagrange pour minimiser \(d(x,y) = x^2 + (y-3)^2\) sur \(\mathcal{P}\), et le résoudre.
3. En déduire la distance de \(A\) à \(\mathcal{P}\). Quelle est la nature du point candidat situé sur l’axe de symétrie ?

La figure suivante représente la parabole et le point \(A\).

Exercice 14 – Hessienne du lagrangien sur l’espace tangent

On cherche les extrema de \(f(x,y) = x^2 – y^2\) sur la droite \(D : x – 2y = 3\).

1. Résoudre le système de Lagrange. On trouve un unique point \(a\) et un multiplicateur \(\lambda\).
2. Montrer que la Hessienne du lagrangien en \(a\) est indéfinie sur \(\mathbb{R}^2\).
3. Calculer sa restriction à la direction de \(D\) et conclure que \(a\) est un minimum local strict de \(f\) sur \(D\).
4. Retrouver ce résultat en paramétrant \(D\), et montrer que ce minimum est global.

Exercice 15 – Distance minimale à une hyperbole

On note \(H\) l’hyperbole d’équation \(xy = 2\).

1. Montrer que \(f(x,y) = x^2 + y^2\) admet un minimum sur \(H\), mais pas de maximum.
2. Déterminer ce minimum par la méthode de Lagrange.
3. Retrouver le résultat à l’aide de l’inégalité \(x^2 + y^2 \geq 2|xy|\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Entropie maximale d’une loi finie

Soit \(n \geq 2\) et \(\Delta = \{p \in [0,1]^n : p_1 + \dots + p_n = 1\}\). On pose \(\varphi(t) = t \ln t\) pour \(t > 0\) et \(\varphi(0) = 0\), puis \(\Phi(p) = \sum_{i=1}^{n} \varphi(p_i)\). L’entropie de la loi \(p\) vaut \(-\Phi(p)\).

1. Montrer que \(\varphi\) est continue sur \([0, +\infty[\) et strictement convexe. En déduire que \(\Phi\) est strictement convexe sur \(\Delta\).
2. Écrire le système de Lagrange pour minimiser \(\Phi\) sur \(\Delta \cap \left]0,1\right[^n\), et montrer qu’il a une unique solution \(u\).
3. Montrer que \(\Phi(p) \geq \Phi(u)\) pour tout \(p \in \Delta\), y compris sur le bord, en utilisant l’inégalité \(\varphi(t) \geq \varphi(s) + \varphi^{\prime}(s)(t – s)\).
4. En déduire la valeur maximale de l’entropie et la loi qui la réalise.

Exercice 17 – Quotient de Rayleigh et valeurs propres

Soit \(A\) une matrice symétrique réelle de taille \(n\) et \(q(x) = x^{T} A x\).

1. Montrer que \(q\) atteint un maximum et un minimum sur la sphère unité \(S\) de \(\mathbb{R}^n\).
2. Montrer qu’en tout extremum \(x\) de \(q\) sur \(S\), on a \(Ax = \lambda x\) avec \(\lambda = q(x)\).
3. En déduire que le maximum de \(q\) sur \(S\) est la plus grande valeur propre de \(A\), et le minimum la plus petite.
4. Application : déterminer les extrema de \(q(x,y,z) = x^2 + y^2 – 2z^2 + 4xy\) sur \(S\), et les points où ils sont atteints.

Exercice 18 – Problème – Extrema sur un disque et sensibilité

On note \(D\) le disque fermé \(x^2 + y^2 \leq 1\) et \(f(x,y) = x^2 + 2y^2 – x\).

1. Justifier que \(f\) admet un maximum et un minimum sur \(D\).
2. Montrer que \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}^2\). Déterminer son unique point critique et en déduire le minimum de \(f\) sur \(D\).
3. Montrer que le maximum ne peut pas être atteint à l’intérieur du disque.
4. Étudier \(f\) sur le cercle \(x^2 + y^2 = 1\) par la méthode de Lagrange. En déduire le maximum de \(f\) sur \(D\) et les points où il est atteint.
5. Pour \(c \geq \tfrac{1}{4}\), on note \(V(c)\) le maximum de \(f\) sur le cercle \(x^2 + y^2 = c\). Montrer que \(V(c) = 2c + \tfrac{1}{4}\), puis vérifier que \(V^{\prime}(c)\) est égal au multiplicateur associé.

La figure montre les lignes de niveau de \(f\) et le disque \(D\).

Pour aller plus loin

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