QCM : Hölder, Minkowski et Riesz-Fischer en L3 de maths

Réponse D.

On a \(\frac{1}{q}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\), donc \(q=3\). On peut aussi utiliser \(q=\frac{p}{p-1}\). Prendre l’inverse \(\frac{2}{3}\) est le piège le plus fréquent : un exposant conjugué d’un réel supérieur à 1 est lui aussi supérieur à 1. Quant à \(\frac{1}{3}\), c’est la valeur de \(\frac{1}{q}\) et non celle de \(q\).

Réponse D.

La mesure de Lebesgue sur \([0,1]\) est une probabilité. Par conséquent, Jensen appliqué à la fonction convexe \(t\mapsto t^2\) donne \(\varphi\left(\int|f|\right)\le\int\varphi(|f|)\). Le sens inverse est faux : avec \(f=2\cdot\mathbf{1}_{[0,1/4]}\), on trouve \(\int f^2=1\) alors que \(\left(\int|f|\right)^2=\frac{1}{4}\). Attention : sur \([0,2]\), sans masse totale égale à 1, l’inégalité peut tomber.

Réponse C.

La norme de \(L^\infty\) est un supremum essentiel : on ignore les ensembles négligeables. Or \(\mathbb{Q}\) est dénombrable, donc de mesure nulle ; ainsi \(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) est égale à 0 presque partout et sa classe est la classe nulle. Répondre 1 revient à confondre supremum et supremum essentiel. Enfin, \(\mathbb{Q}\) est un borélien, donc l’indicatrice est bien mesurable.

Réponse A.

On écrit \(\int_0^2|f|\cdot 1\) et on applique Hölder avec les exposants 3 et \(\frac{3}{2}\). Ainsi \(\|f\|_1\le\|f\|_3\,\|1\|_{3/2}\), avec \(\|1\|_{3/2}=2^{2/3}\). Le piège \(2^{1/3}\) vient d’une norme de la constante calculée avec le mauvais exposant. De plus, la constante 1 ne vaut que si la mesure totale vaut 1. Enfin, \(f=1\) montre que \(2^{2/3}\) est optimale.

Réponse C.

Prenons \(f=\mathbf{1}_{[0,1/2]}\) et \(g=\mathbf{1}_{]1/2,1]}\). Alors \(N_p(f)+N_p(g)=2^{1-1/p}\), qui est strictement inférieur à 1 puisque \(p<1\), alors que \(N_p(f+g)=1\). En revanche, l’homogénéité et la séparation sur les classes restent vraies. Le piège consiste à invoquer Minkowski, qui exige \(p\ge 1\) : sa preuve repose sur Hölder, donc sur la convexité de \(t\mapsto t^p\).

Réponse A.

Près de 0, \(x^{-a}\) est intégrable si et seulement si \(a<1\). Donc \(x^{-1/2}\) est dans \(L^1\), tandis que son carré \(x^{-1}\) ne l’est pas. Cependant, \(x^{-1/3}\) est dans les deux espaces, car son carré \(x^{-2/3}\) reste intégrable. Le logarithme appartient à tous les \(L^p\) avec \(p\) fini. Enfin, \(x^{-1}\) échoue dès \(L^1\).

Réponse B.

À l’infini, \(\frac{1}{1+|x|}\) se comporte comme \(\frac{1}{|x|}\), qui n’est pas intégrable ; en revanche, son carré l’est. Les deux fonctions suivantes sont dans tous les \(L^p\). La dernière fait l’inverse : elle est intégrable mais son carré ne l’est pas près de 0. Ainsi, sur une mesure infinie, aucune inclusion entre \(L^1\) et \(L^2\) n’a lieu : le défaut d’intégrabilité peut venir de l’infini ou d’une singularité.

Réponse A.

On calcule \(\|f_n\|_2^2=n^{2a}\cdot\frac{1}{n}=n^{2a-1}\), qui tend vers 0 si et seulement si \(2a<1\). Pour \(a=\frac{1}{2}\), la norme reste égale à 1 : la borne est donc stricte. La réponse \(a<1\) correspond au calcul de la norme \(L^1\). Pourtant, pour tout \(a\), la suite tend vers 0 presque partout, ce qui montre que cette convergence ne suffit pas.

Réponse C.

L’extraction d’une sous-suite convergente presque partout fait partie de la preuve de Riesz-Fischer. Cependant, la suite entière peut diverger en tout point. Sur \([0,1]\), on fait glisser des indicatrices d’intervalles de longueurs \(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{4},\dots\) qui balaient l’intervalle : leur norme tend vers 0, mais chaque point est recouvert une infinité de fois. Ce contre-exemple fonctionne pour tout \(p\) fini. Par ailleurs, une convergence uniforme est hors de portée.

Réponse B.

Posons \(g=\sum_k|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}|\). Par Minkowski puis convergence monotone, \(\|g\|_p\le\sum_k 2^{-k}\), donc \(g\) est finie presque partout. Ainsi la série télescopique converge absolument presque partout, ce qui définit la limite \(f\). Ensuite, Fatou montre que \(f_n\to f\) dans \(L^p\). Le piège de la bornitude est tentant, mais toute suite de Cauchy est déjà bornée.

Réponse B.

Quitte à modifier \(f\) sur un ensemble négligeable, on a \(|f|\le M\) partout. On pose alors \(s_n=\frac{1}{n}\lfloor nf\rfloor\), qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs et vérifie \(\|f-s_n\|_\infty\le\frac{1}{n}\). Le piège vient de \(L^p\) avec \(p\) fini : il faut des étagées à support de mesure finie, contrainte inutile ici. Ce qui échoue dans \(L^\infty\), c’est la densité des fonctions continues.

Réponse D.

Pour \(1\le p<\infty\), la densité de \(C_c\) se déduit de celle des étagées et de la régularité de la mesure de Lebesgue. En revanche, si \(g\) est continue, \(\|\mathbf{1}_{[0,1]}-g\|_\infty\ge\frac{1}{2}\), car \(g\) ne peut pas sauter de 0 à 1 en 0. Par conséquent, l’adhérence de \(C_c\) pour cette norme est l’espace des continues tendant vers 0 à l’infini, bien plus petit que \(L^\infty\).