Bases hilbertiennes et Fourier en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Polarisation et normes qui ne viennent pas d’un produit scalaire

1. Deux vecteurs \(u\), \(v\) d’un espace préhilbertien réel vérifient \(\|u\| = 3\), \(\|v\| = 4\) et \(\|u + v\| = 6\). Calculer \(\langle u, v \rangle\), puis \(\|u – v\|\).
2. Ensuite, vérifier que la valeur trouvée respecte l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
3. Par ailleurs, montrer que la norme \(\|(x_1, x_2)\|_1 = |x_1| + |x_2|\) de \(\mathbb{R}^2\) ne provient d’aucun produit scalaire.
4. Enfin, faire de même pour la norme \(\|(x_1, x_2)\|_\infty = \max(|x_1|, |x_2|)\).

Exercice 2 – Projection sur la boule unité fermée

Soit \(H\) un espace de Hilbert réel et \(B = \{y \in H : \|y\| \leqslant 1\}\).

1. Justifier que \(B\) est un convexe fermé non vide.
2. À l’aide de la caractérisation par l’angle obtus, montrer que \(P_B(x) = x\) si \(\|x\| \leqslant 1\), et \(P_B(x) = x / \|x\|\) sinon.
3. En déduire \(d(x, B)\) en fonction de \(\|x\|\).
4. Enfin, dans \(\ell^2\), on pose \(x = (2^{-n})_{n \geqslant 0}\). Calculer \(\|x\|\), puis \(P_B(x)\) et \(d(x, B)\).

Exercice 3 – Fonctions paires et impaires de L2(-1, 1)

Dans l’espace réel \(H = L^2(-1, 1)\), les fonctions paires forment un sous-espace \(F\) et les fonctions impaires un sous-espace \(G\).

1. Montrer que \(F\) est fermé, en utilisant l’application \(f \mapsto f(-\,\cdot)\).
2. Ensuite, prouver que \(F^\perp = G\).
3. Déterminer alors la projection de \(f(t) = e^t\) sur \(F\).
4. Enfin, calculer la distance de \(f\) à \(F\).

Exercice 4 – Une forme linéaire sur L2(0, 1) et son représentant

Sur \(L^2(0, 1)\) réel, on pose \(\varphi(f) = \int_0^{1/3} f(t)\, \mathrm{d}t – 2\int_{2/3}^{1} f(t)\, \mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(\varphi\) est une forme linéaire continue.
2. Déterminer ensuite la fonction \(g\) qui la représente au sens de Riesz.
3. Calculer la norme de \(\varphi\) et trouver une fonction \(f\) de norme 1 qui l’atteint.
4. En revanche, sur l’espace \(C([0, 1])\) muni de la norme de \(L^2\), on considère \(\psi(f) = f(0)\). Avec \(f_n(t) = \max(0, 1 – nt)\), montrer que \(\psi\) n’est pas continue.

Exercice 5 – Deux premières transformées de Fourier

On utilise la convention \(\widehat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}} f(x)\, e^{-ix\xi}\, \mathrm{d}x\).

1. Calculer la transformée de \(f(x) = e^{-3|x|}\).
2. De même, calculer la transformée de \(g = \mathbf{1}_{[1, 3]}\) et la mettre sous la forme \(e^{-2i\xi} \times\) une fonction réelle.
3. Enfin, vérifier sur ces deux exemples la continuité, la majoration par la norme \(L^1\) et le lemme de Riemann-Lebesgue.

Exercice 6 – Une famille de sinus et l’inégalité de Bessel

Dans \(L^2(0, 1)\) réel, on pose \(f_n(t) = \sqrt{2} \sin(n\pi t)\) pour \(n \geqslant 1\).

1. Montrer que la famille \((f_n)_{n \geqslant 1}\) est orthonormale.
2. Ensuite, calculer \(\langle u, f_n \rangle\) pour \(u(t) = t\).
3. Écrire l’inégalité de Bessel pour \(u\) et en déduire une majoration de \(\sum_{n \geqslant 1} 1/n^2\).
4. Enfin, déterminer la projection de \(u\) sur \(\mathrm{Vect}(f_1, f_2)\) et la distance de \(u\) à ce plan.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Projection sur le cône des fonctions positives

Dans \(H = L^2(0, 2\pi)\) réel, on considère \(C = \{f \in H : f \geqslant 0 \text{ presque partout}\}\).

1. Montrer que \(C\) est un convexe fermé. On pourra utiliser une suite extraite qui converge presque partout.
2. Pour \(f \in H\), on note \(f^+ = \max(f, 0)\) et \(f^- = \max(-f, 0)\). Montrer que \(P_C(f) = f^+\).
3. En déduire que \(d(f, C) = \|f^-\|\).
4. Par exemple, calculer \(P_C(\sin)\) et la distance de la fonction sinus au cône \(C\).

Exercice 8 – Orthogonal d’une partie et fermeture

1. Soit \(A\) une partie d’un espace de Hilbert \(H\). Montrer que \(A^\perp\) est un sous-espace fermé.
2. Dans \(\ell^2\), soit \(F_0\) le sous-espace des suites à support fini. Montrer que \(F_0\) est dense et que \(F_0^\perp = \{0\}\). Pourquoi n’a-t-on pas \(\ell^2 = F_0 \oplus F_0^\perp\) ?
3. Ensuite, toujours dans \(\ell^2\), on pose \(G = \{u \in \ell^2 : u_0 = u_1\}\). Montrer que \(G\) est fermé et déterminer \(G^\perp\).
4. Enfin, donner la projection d’une suite \(u\) quelconque sur \(G\), puis la distance de \(e_0 = (1, 0, 0, \dots)\) à \(G\).

Exercice 9 – Riesz dans l’espace des suites de carré sommable

Sur \(\ell^2\) réel, on pose \(\varphi(u) = \sum_{n \geqslant 0} u_n / 3^n\).

1. Justifier que la série converge et que \(\varphi\) est une forme linéaire continue.
2. Déterminer le représentant \(a\) de \(\varphi\) et calculer \(\|\varphi\|\).
3. Ensuite, calculer la distance de \(e_0 = (1, 0, 0, \dots)\) à l’hyperplan \(\ker \varphi\).
4. Enfin, donner la projection de \(e_0\) sur \(\ker \varphi\).

Exercice 10 – Gram-Schmidt et meilleure approximation de la valeur absolue

Dans \(L^2(-1, 1)\) réel, on note \(\mathbb{R}_2[t]\) l’espace des polynômes de degré au plus 2.

1. Orthonormaliser la famille \((1, t, t^2)\) par le procédé de Gram-Schmidt. On notera \((e_0, e_1, e_2)\) le résultat.
2. Ensuite, calculer les produits scalaires de \(f(t) = |t|\) avec \(e_0\), \(e_1\) et \(e_2\).
3. En déduire le polynôme \(p \in \mathbb{R}_2[t]\) le plus proche de \(f\) au sens de \(L^2\).
4. Enfin, calculer la distance de \(f\) à \(\mathbb{R}_2[t]\).

Exercice 11 – Parseval pour une indicatrice périodique

On note \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique égale à 1 sur \([0, \tfrac{\pi}{2}]\) et à 0 sur le reste de \([-\pi, \pi[\). Le produit scalaire de \(L^2_{2\pi}\) est normalisé par \(1/2\pi\).

1. Calculer \(c_0(f)\), puis \(c_n(f)\) pour \(n \neq 0\). Donner \(c_1(f)\), \(c_2(f)\) et \(c_4(f)\).
2. Ensuite, montrer que \(|c_n(f)|^2 = \dfrac{1 – \cos(n\pi/2)}{2\pi^2 n^2}\) pour \(n \neq 0\).
3. Écrire l’égalité de Parseval et en déduire \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1 – \cos(n\pi/2)}{n^2}\).
4. Enfin, en séparant les indices selon leur reste modulo 4, en déduire la valeur de \(\sum_{n \geqslant 1} 1/n^2\).

Exercice 12 – Le noyau de Fejér en détail

Pour \(N \in \mathbb{N}\), on pose \(D_k(t) = \sum_{|n| \leqslant k} e^{int}\) et \(K_N = \frac{1}{N + 1} \sum_{k = 0}^{N} D_k\).

1. Montrer que \(K_N(t) = \sum_{|n| \leqslant N} \big(1 – \frac{|n|}{N + 1}\big) e^{int}\).
2. Ensuite, montrer que \(D_k(t) = \dfrac{\sin\big((k + \frac{1}{2})t\big)}{\sin(t/2)}\) pour \(t \notin 2\pi\mathbb{Z}\).
3. Établir l’identité \(\sum_{k = 0}^{N} \sin\big((2k + 1)u\big) = \dfrac{\sin^2\big((N + 1)u\big)}{\sin u}\), puis en déduire l’expression de \(K_N\) en carré de quotient de sinus.
4. Enfin, soit \(P(t) = 2 + \cos t – 4\sin(3t)\). Pour \(N \geqslant 3\), calculer \(\sigma_N P\) et montrer que \(\|\sigma_N P – P\|_\infty \leqslant \dfrac{13}{N + 1}\).

Exercice 13 – Exponentielle tronquée, translations et dilatations

On pose \(f(x) = e^{-x}\) pour \(x > 0\) et \(f(x) = 0\) pour \(x \leqslant 0\).

1. Calculer \(\widehat{f}\). Vérifier que \(\widehat{f}\) tend vers 0 à l’infini, mais qu’elle n’est pas intégrable sur \(\mathbb{R}\).
2. En déduire les transformées de \(x \mapsto f(x – 2)\), de \(x \mapsto e^{3ix} f(x)\) et de \(x \mapsto f(5x)\).
3. Ensuite, exprimer \(x \mapsto e^{-|x|}\) à l’aide de \(f\) et retrouver sa transformée.
4. Enfin, calculer la transformée de \(x \mapsto x f(x)\) de deux façons : directement, puis par la règle de dérivation.

Exercice 14 – Fonction triangle et produit de convolution

On note \(\chi = \mathbf{1}_{[-1/2, 1/2]}\) et \(T(x) = \max(0, 1 – |x|)\).

1. Calculer \(\widehat{\chi}\).
2. Ensuite, montrer que \(\chi * \chi = T\).
3. En déduire \(\widehat{T}\) à l’aide du théorème de convolution.
4. Enfin, retrouver \(\widehat{T}\) par un calcul direct, puis vérifier que \(\widehat{T}\) est intégrable sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 15 – Transformée de la gaussienne par une équation différentielle

On pose \(\gamma(x) = e^{-x^2/2}\) et on admet que \(\int_{\mathbb{R}} \gamma = \sqrt{2\pi}\).

1. Justifier que \(\widehat{\gamma}\) est de classe \(C^1\) et exprimer \(\widehat{\gamma}^{\,\prime}\) par une intégrale.
2. Ensuite, par une intégration par parties, montrer que \(\widehat{\gamma}^{\,\prime}(\xi) = -\xi\, \widehat{\gamma}(\xi)\).
3. En déduire \(\widehat{\gamma}\).
4. Enfin, pour \(a > 0\), calculer la transformée de \(x \mapsto e^{-a x^2}\), puis celle de \(x \mapsto x\, e^{-x^2/2}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Une base hilbertienne de sinus sur L2(0, 1)

On reprend la famille \(f_n(t) = \sqrt{2}\sin(n\pi t)\), \(n \geqslant 1\), de l’exercice 6. On admet que les fonctions \(t \mapsto e^{in\pi t}\), \(n \in \mathbb{Z}\), forment une base hilbertienne de \(L^2(-1, 1)\) muni du produit scalaire \(\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} f \overline{g}\).

1. Soit \(g \in L^2(0, 1)\) orthogonale à tous les \(f_n\). On note \(G\) son prolongement impair à \(]-1, 1[\). Montrer que \(G\) est orthogonale à toutes les fonctions \(t \mapsto e^{in\pi t}\).
2. En déduire que \((f_n)_{n \geqslant 1}\) est une base hilbertienne de \(L^2(0, 1)\).
3. Ensuite, écrire l’égalité de Parseval pour \(u(t) = t\) et en déduire \(\sum_{n \geqslant 1} 1/n^2\).
4. Développer la fonction constante 1 dans cette base. Pourquoi la série ne converge-t-elle pas vers 1 au point \(t = 1\) ? Cela contredit-il le résultat précédent ?

Exercice 17 – Tout Hilbert séparable ressemble à l’espace des suites

Soit \(H\) un espace de Hilbert muni d’une base hilbertienne \((e_n)_{n \geqslant 0}\).

1. Montrer que \(T : x \mapsto (\langle x, e_n \rangle)_{n \geqslant 0}\) est une application linéaire isométrique de \(H\) dans \(\ell^2\).
2. Soit \((a_n) \in \ell^2\). Montrer que la série \(\sum a_n e_n\) converge dans \(H\), et en déduire que \(T\) est surjective.
3. Ensuite, calculer \(\|e_n – e_m\|\) pour \(n \neq m\). Que peut-on dire de la compacité de la boule unité fermée de \(H\) ?
4. Montrer que \(\langle e_n, y \rangle \to 0\) pour tout \(y \in H\). On pose \(x_n = e_0 + e_n\) : comparer la limite de \(\langle x_n, y \rangle\) avec \(\langle e_0, y \rangle\), puis \(\|x_n\|\) avec \(\|e_0\|\).

Exercice 18 – Problème de comparaison entre sommes de Fourier et moyennes de Fejér

On note \(\mathcal{T}_N\) l’espace des polynômes trigonométriques \(\sum_{|n| \leqslant N} \alpha_n e^{int}\), et l’on travaille dans \(L^2_{2\pi}\) avec le produit scalaire normalisé.

1. Montrer que \(S_N f\) est la projection orthogonale de \(f\) sur \(\mathcal{T}_N\).
2. Montrer que \(\sigma_N f \in \mathcal{T}_N\), puis que \(\|f – S_N f\|_2 \leqslant \|f – \sigma_N f\|_2 \leqslant \|f – \sigma_N f\|_\infty\) pour \(f\) continue.
3. En déduire, à l’aide du théorème de Fejér, que \(\|f – S_N f\|_2 \to 0\) pour toute \(f\) continue et \(2\pi\)-périodique.
4. Désormais, soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique égale à \(|t|\) sur \([-\pi, \pi]\). Calculer ses coefficients de Fourier.
5. En déduire \(\sum_{k \geqslant 0} \dfrac{1}{(2k + 1)^4}\) par Parseval.
6. Enfin, expliciter \(S_1 f\) et calculer \(\|f – S_1 f\|_2^2\). Comparer avec \(\|f – \sigma_1 f\|_2^2\).

Pour aller plus loin

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