Solutions maximales et explosion : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « solutions maximales et explosion », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se place à la fin du chapitre sur les équations différentielles non linéaires, au semestre 6. D’abord, l’exercice 1 montre ce qui se passe quand le second membre n’est plus localement lipschitzien. Ensuite, vous calculerez une solution maximale qui explose en temps fini, puis vous comparerez une seconde équation à la première. L’exercice 3 fait démontrer le lemme de Gronwall, utilisé aussitôt pour l’unicité et pour un argument de solution globale fondé sur le théorème des bouts. Après un exercice court sur la méthode d’Euler, le problème étudie un système autonome plan grâce à une intégrale première : équilibres, stabilité, solution bornée et trajectoire qui part à l’infini.
Ce qu’évalue le contrôle : solutions maximales et explosion
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Cauchy-Lipschitz, Gronwall et systèmes autonomes (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Vérifier les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz et reconnaître une perte d’unicité au voisinage d’un équilibre
- Déterminer explicitement une solution maximale et en déduire son temps d’explosion
- Démontrer le lemme de Gronwall puis l’utiliser pour prouver l’unicité et le caractère global d’une solution
- Appliquer le théorème des bouts pour conclure qu’une solution bornée est définie sur tout l’intervalle
- Étudier les équilibres d’un système autonome plan à l’aide d’une intégrale première et tracer son portrait de phase
Avant de commencer le devoir
Avant chaque calcul, énoncez le théorème employé et vérifiez ses hypothèses une à une, car la moitié des points de rédaction en dépend. Pour une explosion, cherchez d’abord un changement d’inconnue qui rend l’équation linéaire ou séparable. Ensuite, pour une solution globale, montrez simplement qu’elle reste dans un compact, puis invoquez le théorème des bouts. Enfin, dans le problème, utilisez la conservation de l’énergie à chaque question au lieu de résoudre le système.
Le sujet du contrôle : solutions maximales et explosion
Exercice 1 – Un pinceau de solutions issu d’un même point (3 points)
On considère l’équation scalaire \((E_1) : y^{\prime} = f(t, y)\), où \(f(t, y) = 2\sqrt{|y – 2|}\) pour tout \((t, y) \in \mathbb{R}^2\). On s’intéresse en particulier au problème de Cauchy associé à la condition \(y(0) = 2\).
- Justifier que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\) et de classe \(C^1\) sur l’ouvert \(\mathbb{R} \times \left(\mathbb{R} \setminus \{2\}\right)\). En déduire que, pour tout \((t_0, y_0)\) avec \(y_0 \neq 2\), le problème de Cauchy en \((t_0, y_0)\) admet une unique solution maximale dans cet ouvert.
- Pour \(a \geq 0\), on pose \(z_a(t) = 2\) si \(t \leq a\) et \(z_a(t) = 2 + (t – a)^2\) si \(t > a\). Montrer que \(z_a\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et solution de \((E_1)\) avec \(z_a(0) = 2\). Qu’en conclure pour le problème de Cauchy en \((0, 2)\) ? Expliquer pourquoi ce résultat ne contredit pas le théorème de Cauchy-Lipschitz.
- Montrer précisément que \(f\) n’est lipschitzienne par rapport à \(y\) sur aucun voisinage de \((0, 2)\).
Exercice 2 – Une équation exponentielle qui explose avant t = 1 (4 points)
On étudie d’abord le problème \(y^{\prime} = \mathrm{e}^{y}\), \(y(0) = 0\), puis le problème perturbé \(z^{\prime} = \mathrm{e}^{z} + t^2\), \(z(0) = 0\). La figure ci-dessous représente le champ de directions du second problème ; la droite d’équation \(t = 1\) y est tracée en pointillés.
- Justifier que chacun des deux problèmes admet une unique solution maximale, notée \((J, y)\) pour le premier et \((I, z)\) pour le second. Montrer que \(y\) et \(z\) sont strictement croissantes.
- On pose \(u = \mathrm{e}^{-y}\) sur \(J\). Calculer \(u^{\prime}\), puis en déduire que \(J \subset \left]-\infty, 1\right[\) et que \(y(t) = -\ln(1 – t)\). Démontrer enfin que \(J = \left]-\infty, 1\right[\).
- On pose cette fois \(v = \mathrm{e}^{-z}\) sur \(I\). Montrer que \(v^{\prime} \leq -1\), puis que \(v(t) \leq 1 – t\) pour tout \(t \in I \cap \left[0, +\infty\right[\). En déduire que \(\sup I \leq 1\) et que \(z \geq y\) sur \(I \cap \left[0, +\infty\right[\).
- Montrer que, pour tout \(t \in I\) avec \(t \leq 0\), on a \(t + \frac{t^3}{3} \leq z(t) \leq 0\). Conclure, à l’aide du théorème des bouts, que \(\inf I = -\infty\).
Exercice 3 – Le lemme de Gronwall et deux usages (4 points)
Dans cet exercice, \(T > 0\) et \(\|\cdot\|\) désigne une norme sur \(\mathbb{R}^n\).
- Soit \(a \geq 0\), et soient \(\varphi\), \(k\) deux fonctions continues et positives sur \([0, T]\) telles que \(\varphi(t) \leq a + \int_0^t k(s)\varphi(s)\,\mathrm{d}s\) pour tout \(t \in [0, T]\). On pose \(F(t) = a + \int_0^t k(s)\varphi(s)\,\mathrm{d}s\) et \(K(t) = \int_0^t k(s)\,\mathrm{d}s\). Étudier le sens de variation de \(F\mathrm{e}^{-K}\), puis démontrer que \(\varphi(t) \leq a\,\mathrm{e}^{K(t)}\) pour tout \(t \in [0, T]\).
- Soit \(g : [0, T] \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) continue et \(L\)-lipschitzienne par rapport à sa seconde variable. Soient \(y\) et \(w\) deux solutions de \(x^{\prime} = g(t, x)\) sur \([0, T]\). Montrer que \(\|y(t) – w(t)\| \leq \|y(0) – w(0)\|\,\mathrm{e}^{Lt}\) pour tout \(t \in [0, T]\), puis en déduire un résultat d’unicité.
- Soit \(c \in \mathbb{R}\). On note \((J, y)\) la solution maximale du problème \(y^{\prime} = \frac{y\cos y}{1 + t^2}\), \(y(0) = c\). Justifier son existence, puis montrer que \(|y(t)| \leq |c|\,\mathrm{e}^{\pi/2}\) pour tout \(t \in J \cap \left[0, +\infty\right[\). En déduire que \(\sup J = +\infty\).
Exercice 4 – La méthode d’Euler face à une explosion (3 points)
On considère le problème de Cauchy \(y^{\prime} = y^2\), \(y(0) = 1\). Pour un pas \(h > 0\), la méthode d’Euler explicite définit la suite \(y_0 = 1\) et \(y_{k+1} = y_k + h\,y_k^2\), censée approcher \(y(kh)\).
- Déterminer la solution maximale de ce problème et son intervalle de définition.
- Avec \(h = \frac{1}{2}\), calculer \(y_1\), \(y_2\) et \(y_3\) sous forme de fractions. Comparer \(y_1\) à la valeur exacte \(y\left(\frac{1}{2}\right)\).
- Montrer que la solution exacte est convexe sur son intervalle de définition. En déduire, pour tout pas \(h\) et tout entier \(k\) tel que \(kh < 1\), l’inégalité \(y_k \leq y(kh)\).
- Expliquer pourquoi la suite d’Euler ne permet pas, à elle seule, de détecter l’explosion.
Exercice 5 – Problème : un système conservatif à un col et un centre (6 points)
On étudie le système autonome \((S)\) d’inconnue \(t \mapsto (x(t), y(t))\) à valeurs dans \(\mathbb{R}^2\) : \(x^{\prime} = 2y\) et \(y^{\prime} = 3 – 3x^2\). On pose \(V(x) = x^3 – 3x\) et \(H(x, y) = y^2 + V(x)\). La figure donne le graphe de \(V\) et quelques valeurs utiles.
- Justifier que, pour toute condition initiale \((x_0, y_0)\), le système \((S)\) admet une unique solution maximale. Montrer ensuite que \(H\) est constante le long de chaque solution.
- Déterminer les deux équilibres de \((S)\) et la matrice jacobienne du champ en chacun d’eux. Montrer que l’équilibre \((-1, 0)\) est instable. Expliquer pourquoi la linéarisation ne permet pas de conclure en \((1, 0)\), puis montrer que \((1, 0)\) est un minimum local strict de \(H\). On admettra que cela entraîne la stabilité de cet équilibre.
- Soit \((x, y)\) la solution maximale telle que \((x(0), y(0)) = (0, 1)\). Calculer la valeur de \(H\) le long de cette solution. Grâce aux signes de \(p(x) = 1 + 3x – x^3\) en \(-1\), \(0\) et \(2\), montrer que \(x(t)\) reste dans \(\left]-1, 2\right[\), puis que la solution est bornée. Conclure qu’elle est définie sur \(\mathbb{R}\).
- Soit maintenant \((x, y)\) la solution maximale, définie sur \(J\), telle que \((x(0), y(0)) = (-2, -2)\). On note \(\beta = \sup J\).
- Montrer que \(x(t) < -1\) et \(y(t) < 0\) pour tout \(t \in \left[0, \beta\right[\), puis que \(y = (x + 1)\sqrt{2 – x}\) sur cet intervalle.
- On pose \(u = \sqrt{2 – x}\). Établir que \(u^{\prime} = u^2 – 3\) et \(u(0) = 2\). Dériver ensuite \(\ln\left(\frac{u – \sqrt{3}}{u + \sqrt{3}}\right)\).
- En déduire que \(\beta = \frac{\ln\left(2 + \sqrt{3}\right)}{\sqrt{3}}\) et décrire le comportement de \(x(t)\) quand \(t\) tend vers \(\beta\).
- Tracer l’allure du portrait de phase de \((S)\) en faisant apparaître les deux équilibres, les trajectoires des questions 3 et 4, et le sens de parcours.
Réviser solutions maximales et explosion avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours cauchy-lipschitz, gronwall et systèmes autonomes ; entraînez-vous sur les exercices cauchy-lipschitz, gronwall et systèmes autonomes avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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