Topologie des espaces métriques en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Trois candidats à la distance sur R

Pour chacune des applications suivantes, définies sur \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\), dire si c’est une distance sur \(\mathbb{R}\). Appuyer chaque réponse sur une démonstration ou sur un contre-exemple chiffré.

1. \(d_1(x, y) = |e^x – e^y|\).
2. \(d_2(x, y) = (x – y)^2\).
3. \(d_3(x, y) = |x – 2y|\).
4. Enfin, pour \(d_1\), décrire la boule ouverte de centre 0 et de rayon 1, puis celle de centre 0 et de rayon 3.

Exercice 2 – Distance tronquée au niveau 2

Soit \((X, d)\) un espace métrique. On pose \(\delta(x, y) = \min(d(x, y), 2)\) pour tous \(x, y\) de \(X\).

1. Montrer que \(\delta\) est une distance sur \(X\).
2. Ensuite, comparer les boules \(B_\delta(a, r)\) et \(B_d(a, r)\) selon que \(r \leqslant 2\) ou \(r > 2\).
3. En déduire que \(d\) et \(\delta\) définissent les mêmes ouverts.
4. Enfin, montrer que \((X, \delta)\) est toujours borné. Les distances \(d\) et \(\delta\) sont-elles fortement équivalentes lorsque \(X = \mathbb{R}\) et \(d\) est la distance usuelle ?

Exercice 3 – Un point et trois boules du plan

Dans \(\mathbb{R}^2\), on note \(d_1\), \(d_2\) et \(d_\infty\) les distances associées aux normes \(\| \cdot \|_1\), \(\| \cdot \|_2\) et \(\| \cdot \|_\infty\). On fixe \(a = (1, -1)\) et le point \(p = (2, \tfrac{1}{2})\).

1. Dessiner les trois boules ouvertes de centre \(a\) et de rayon 2.
2. Ensuite, calculer \(d_1(a, p)\), \(d_2(a, p)\) et \(d_\infty(a, p)\).
3. Dire à quelles boules le point \(p\) appartient.
4. Enfin, trouver le plus petit rayon \(r\) pour lequel \(p\) se trouve simultanément dans les trois boules fermées \(B_f(a, r)\).

La figure ci-dessous représente les trois boules et le point \(p\).

Exercice 4 – Intérieur et adhérence d’une réunion disparate

Dans \(\mathbb{R}\) muni de la distance usuelle, on considère \(A = [0, 1[\ \cup\ \{3\}\ \cup\ (\mathbb{Q} \cap\ ]4, 5[)\).

1. Déterminer l’intérieur de \(A\).
2. Déterminer l’adhérence de \(A\).
3. Écrire la frontière de \(A\).
4. Dire si \(A\) est ouverte, puis si elle est fermée.

Exercice 5 – Tout est ouvert pour la distance discrète

On considère un ensemble \(X\) comptant au moins deux points, et on le munit de la distance discrète \(d\).

1. Pour \(a \in X\), décrire \(B(a, \tfrac{1}{2})\), \(B(a, 1)\), \(B_f(a, 1)\) et \(B(a, 2)\).
2. Prouver que chaque partie de \(X\) est ouverte, et aussi fermée.
3. De plus, montrer que toute application de \((X, d)\) dans un espace métrique quelconque est continue.
4. Caractériser les suites convergentes de \((X, d)\).

Exercice 6 – Lipschitzienne ou seulement uniformément continue

1. Montrer que \(f(x) = \sqrt{1 + x^2}\) est 1-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrer que \(g(x) = \sqrt{x}\) est uniformément continue sur \([0, 1]\), mais qu’elle n’est pas lipschitzienne sur cet intervalle.
3. Enfin, on munit \(\mathbb{R}^2\) de la distance \(d_\infty\). Montrer que \(m(x, y) = \max(x, y)\) est 1-lipschitzienne de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – La distance de la rivière

Une rivière suit l’axe des abscisses. Pour rejoindre un point situé sur une autre verticale, il faut descendre jusqu’à la rivière, la longer, puis remonter. Pour \(p = (x, y)\) et \(q = (x^{\prime}, y^{\prime})\) dans \(\mathbb{R}^2\), on pose donc :

\[ d(p, q) = \begin{cases} |y – y^{\prime}| & \text{si } x = x^{\prime}, \\ |y| + |x – x^{\prime}| + |y^{\prime}| & \text{si } x \neq x^{\prime}. \end{cases} \]

1. Montrer que \(d\) est une distance sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Décrire \(B((0, 2), 1)\).
3. Décrire ensuite \(B((0, 2), 3)\), puis la dessiner.
4. Enfin, étudier la convergence pour \(d\) des suites \(\big(\tfrac{1}{n}, 0\big)\) et \(\big(\tfrac{1}{n}, 1\big)\), pour \(n \geqslant 1\). Comparer avec la distance euclidienne.

La figure montre le trajet qui réalise la distance entre deux points de verticales différentes.

Exercice 8 – Ouverts et fermés définis par des équations

1. Prouver l’ouverture de \(U = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + e^y < 5 \text{ et } xy \neq 3\}\).
2. Établir que \(F = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y \leqslant x^3 \text{ et } x + y = 1\}\) est fermé.
3. De même, montrer que l’ensemble \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) des matrices orthogonales est un fermé de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
4. Montrer que l’ensemble des matrices de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) de rang au plus 1 est un fermé, et que celui des matrices de rang 2 est un ouvert.

Exercice 9 – Une même partie pour deux distances

Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues de \([0, 1]\) dans \(\mathbb{R}\). Pour \(f, g \in E\), on pose \(d_\infty(f, g) = \sup_{[0, 1]} |f – g|\) et \(d_1(f, g) = \displaystyle\int_0^1 |f(t) – g(t)|\, \mathrm{d}t\). On admet que \(d_\infty\) est une distance. Soit \(A\) la partie formée des fonctions \(f \in E\) telles que \(f(0) = 1\).

1. Vérifier les axiomes d’une distance pour \(d_1\), puis comparer \(d_1\) et \(d_\infty\).
2. Prouver que \(A\) est fermée dans \((E, d_\infty)\).
3. Soit \(g \in E\). Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(f_n(t) = g(t) + (1 – g(0)) \max(0, 1 – nt)\). Justifier que \(f_n\) appartient à \(A\), puis évaluer \(d_1(f_n, g)\).
4. Conclure à la densité de \(A\) pour \(d_1\). Que dire alors du caractère fermé de \(A\) pour \(d_1\) ?
5. Enfin, conclure que \(d_1\) et \(d_\infty\) ne sont pas topologiquement équivalentes.

Exercice 10 – Trois parties denses

1. Prouver que les nombres \(k / 2^n\), avec \(k \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\), forment une partie \(D\) dense dans \(\mathbb{R}\).
2. Dans \(\mathbb{R}^2\) euclidien, montrer que \(P = \{(x, y) : x \in \mathbb{Q}\}\) est dense et que son intérieur est vide.
3. Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Justifier que \(t \mapsto \det(M – t I_n)\) possède un nombre fini de zéros. Établir ensuite la densité de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Exercice 11 – Une corne entre deux paraboles

Dans \(\mathbb{R}^2\) euclidien, on considère \(A = \{(x, y) : 0 < x \leqslant 1 \text{ et } |y| < x^2\}\).

1. Représenter \(A\).
2. Déterminer l’intérieur de \(A\).
3. Déterminer l’adhérence de \(A\). Le point \((0, 0)\) est-il adhérent à \(A\) ?
4. Donner la frontière de \(A\), puis préciser si \(A\) est ouverte ou fermée.

Exercice 12 – Arctangente et distance usuelle

Sur \(\mathbb{R}\), on note \(d(x, y) = |x – y|\) et \(\delta(x, y) = |\arctan x – \arctan y|\).

1. Établir que \(\delta\) vérifie les axiomes d’une distance et qu’elle est majorée par \(d\).
2. Prouver la continuité de l’identité de \((\mathbb{R}, \delta)\) vers \((\mathbb{R}, d)\).
3. Conclure que \(d\) et \(\delta\) ont les mêmes ouverts.
4. Prouver qu’aucune constante \(\beta\) ne vérifie \(d \leqslant \beta\, \delta\).
5. Enfin, montrer que \(\delta(n, n + 1)\) tend vers 0, puis que la suite \((n)\) ne converge pas dans \((\mathbb{R}, \delta)\).

Exercice 13 – Continuité uniforme : oui ou non

Soient \((X, d)\) et \((Y, \delta)\) deux espaces métriques et \(f : X \to Y\).

1. Prouver l’équivalence suivante : \(f\) est uniformément continue exactement lorsque, pour tout couple de suites vérifiant \(d(x_n, x^{\prime}_n) \to 0\), les distances \(\delta(f(x_n), f(x^{\prime}_n))\) tendent vers 0.
2. Appliquer ce critère à la fonction carré sur \(\mathbb{R}\).
3. Prouver, toujours avec ce critère, que la continuité uniforme fait défaut à \(x \mapsto \sin(1/x)\) sur \(]0, 1]\).
4. Établir en revanche la continuité uniforme de \(x \mapsto \cos(\sqrt{x})\) sur \([0, +\infty[\).
5. Vérifier qu’en composant deux applications uniformément continues, on obtient encore une application de ce type.

Exercice 14 – Ouverts relatifs dans une partie de R

On munit \(Y = \,]0, 1] \cup \{2\}\) de la distance induite par la distance usuelle de \(\mathbb{R}\).

1. Déterminer \(B_Y(1, \tfrac{1}{2})\), \(B_Y(2, \tfrac{1}{2})\) et \(B_Y(2, \tfrac{3}{2})\).
2. Prouver que \(\{2\}\) et \(]0, 1]\) sont simultanément ouverts et fermés relativement à \(Y\).
3. La partie \(]0, \tfrac{1}{2}]\) est-elle fermée dans \(Y\) ? ouverte dans \(Y\) ?
4. Enfin, montrer que la suite \((1/n)_{n \geqslant 1}\) ne converge pas dans \(Y\).

Exercice 15 – Distances sur un produit

On fixe deux espaces métriques \((X, d)\) et \((Y, \delta)\), et l’on définit sur \(X \times Y\) les deux applications \(D_\infty((x, y), (x^{\prime}, y^{\prime})) = \max(d(x, x^{\prime}), \delta(y, y^{\prime}))\) et \(D_1((x, y), (x^{\prime}, y^{\prime})) = d(x, x^{\prime}) + \delta(y, y^{\prime})\).

1. Vérifier que \(D_\infty\) satisfait les axiomes d’une distance, puis encadrer \(D_1\) entre \(D_\infty\) et \(2 D_\infty\).
2. Prouver que les deux projections sont 1-lipschitziennes pour \(D_\infty\).
3. Pour \(f : X \to Y\) continue, établir que le graphe \(\Gamma = \{(x, f(x)) : x \in X\}\) est fermé dans \(X \times Y\).
4. On munit \(X \times X\) de \(D_1\). Montrer que \((x, x^{\prime}) \mapsto d(x, x^{\prime})\) est 1-lipschitzienne. En déduire que la diagonale \(\Delta = \{(x, x) : x \in X\}\) est fermée.

Pour approfondir

Exercice 16 – Homéomorphismes et propriétés non topologiques

Dans \(\mathbb{R}^n\) euclidien, la lettre \(B\) désigne la boule unité ouverte.

1. Montrer que \(\varphi(x) = \dfrac{x}{1 – \|x\|}\) définit un homéomorphisme de \(B\) sur \(\mathbb{R}^n\), de réciproque \(\psi(y) = \dfrac{y}{1 + \|y\|}\).
2. Par conséquent, que peut-on dire du caractère borné ?
3. Une suite \((x_k)\) d’un espace métrique est qualifiée de suite de Cauchy lorsque \(d(x_k, x_m)\) devient arbitrairement petit pour \(k\) et \(m\) assez grands. Vérifier que \(x \mapsto 1/x\) réalise un homéomorphisme entre \(]0, 1]\) et \([1, +\infty[\). Prouver ensuite qu’il transforme une certaine suite de Cauchy en une suite qui ne l’est pas.
4. Montrer que l’identité de \(\mathbb{R}\), muni au départ de la distance discrète et à l’arrivée de la distance usuelle, est une bijection continue qui n’est pas un homéomorphisme.

Exercice 17 – Distance sur les suites binaires

On note \(X\) l’ensemble des suites binaires \(u = (u_k)_{k \geqslant 0}\). Lorsque \(u \neq v\), l’entier \(\nu(u, v)\) désigne le premier rang où les deux suites diffèrent, et l’on pose \(d(u, v) = 2^{-\nu(u, v)}\). Par convention, \(d(u, u) = 0\).

1. Établir l’inégalité ultramétrique \(d(u, w) \leqslant \max(d(u, v), d(v, w))\), puis en tirer que \(d\) est une distance.
2. Soit \(k \in \mathbb{N}\) et \(r\) un réel tel que \(2^{-(k+1)} < r \leqslant 2^{-k}\). Décrire la boule \(B(u, r)\).
3. Prouver que chaque point d’une boule ouverte peut en servir de centre. Établir ensuite que les boules ouvertes sont aussi fermées.
4. Prouver que \((u^{(m)})_m\) tend vers \(u\) exactement lorsque chaque coordonnée \(u^{(m)}_k\) finit par être égale à \(u_k\).
5. Montrer que le décalage \(\sigma\), défini par \(\sigma(u) = (u_{k+1})_{k \geqslant 0}\), est 2-lipschitzien.
6. Montrer que l’ensemble des suites qui n’ont qu’un nombre fini de termes égaux à 1 est dense dans \(X\).

Exercice 18 – Problème de la distance à une partie

Soit \((X, d)\) un espace métrique. Pour une partie non vide \(A\) de \(X\) et \(x \in X\), on pose \(d(x, A) = \inf_{a \in A} d(x, a)\).

1. Montrer que \(|d(x, A) – d(y, A)| \leqslant d(x, y)\) pour tous \(x, y\) de \(X\).
2. Établir l’équivalence entre \(d(x, A) = 0\) et \(x \in \overline{A}\). Caractériser alors les fermés non vides \(F\) par l’égalité \(F = \{x \in X : d(x, F) = 0\}\).
3. On prend maintenant deux fermés \(F\) et \(G\), non vides, sans point commun. Montrer que \(d(x, F) + d(x, G) > 0\) pour tout \(x\), puis que \(\phi(x) = \dfrac{d(x, F)}{d(x, F) + d(x, G)}\) définit une application continue de \(X\) dans \([0, 1]\), qui vaut 0 exactement sur \(F\) et 1 exactement sur \(G\).
4. Construire deux ouverts \(U \supset F\) et \(V \supset G\) qui ne se rencontrent pas.
5. On se place à présent dans le plan euclidien, avec \(F = \{(x, y) : xy = 1,\ x > 0\}\) et \(G = \mathbb{R} \times \{0\}\). Prouver que ces deux parties sont fermées et disjointes, mais que \(\inf \{\|p – q\|_2 : p \in F,\ q \in G\} = 0\).
6. Pour cet exemple, calculer \(d(x, G)\) pour \(x = (s, t)\). Expliquer pourquoi la question 4 s’applique malgré tout.

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