Quiz boules, adhérences et continuité métrique en L3

Quiz boules, adhérences et continuité métrique en L3 de maths

Dix questions éclair pour tester tes réflexes de topologie métrique : boules, intérieur, adhérence, frontière, continuité uniforme et comparaison de distances.

Dans l'espace de dimension 3, quel encadrement entre distance euclidienne et distance sup est vrai ?

A.\(\delta_{\mathrm{eucl}} \leqslant \delta_{\max} \leqslant \sqrt{3}\;\delta_{\mathrm{eucl}}\)B.\(\delta_{\max} \leqslant \delta_{\mathrm{eucl}} \leqslant \sqrt{2}\;\delta_{\max}\)C.\(\delta_{\max} \leqslant \delta_{\mathrm{eucl}} \leqslant \sqrt{3}\;\delta_{\max}\)D.\(\sqrt{3}\;\delta_{\max} \leqslant \delta_{\mathrm{eucl}} \leqslant 3\;\delta_{\max}\)

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz express rassemble les réflexes de topologie métrique attendus en troisième année : décrire une boule pour la distance discrète, calculer un intérieur, une adhérence ou une frontière sur des parties simples de la droite réelle, reconnaître une partie ouverte dans un sous-espace muni de la distance induite, et repérer l'axiome qui manque à une fausse distance. Deux questions séparent continuité uniforme et caractère lipschitzien.

Chaque question se tranche sans calcul, à condition d'avoir les définitions et les exemples de référence en tête. Passe le quiz avant un TD de topologie, puis la semaine de l'examen. Si tu te trompes sur un sous-espace, reprends la description des ouverts induits ; si c'est sur la continuité, compare les fonctions carré et racine carrée, qui illustrent à elles deux presque toutes les nuances du chapitre.

Aller plus loin sur boules, adhérences et continuité métrique

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Questions fréquentes : boules, adhérences et continuité métrique en L3

Existe-t-il des parties ouvertes qui sont aussi fermées ?

Oui. L'espace entier et l'ensemble vide le sont toujours, et dans un espace non connexe d'autres parties le sont aussi, par exemple chaque point pour la distance discrète.

Pourquoi le carré n'est-il pas uniformément continu sur R ?

Pour un écart h fixé, la différence (x + h)² − x² vaut 2xh + h², qui devient aussi grande qu'on veut quand x grandit. Aucun module de continuité ne convient pour tous les points.

Comment montrer que deux distances sont équivalentes ?

On cherche deux constantes strictement positives encadrant l'une par l'autre, valables pour tous les couples de points. Dans ce cas, une partie ouverte pour l'une l'est pour l'autre, et une suite convergente pour l'une converge aussi pour l'autre.

Quiz boules, adhérences et continuité métrique en L3 de maths

Pour la distance discrète, la boule ouverte de centre x et de rayon \(\frac{1}{2}\) est :

Intérieur, dans la droite réelle, de \([0,1[\,\cup\,\{2\}\) ?

Frontière, dans la droite réelle, de l'intervalle \(]0,1]\) ?

Adhérence des rationnels dans la droite réelle usuelle ?

Dans le sous-espace métrique \([0,2]\), la partie \([0,1[\) est :

Sur la droite réelle, la fonction carré est :

Sur \([0,+\infty[\), la fonction racine carrée est :

Sur la droite réelle, quel axiome échoue pour \(d(x,y)=(x-y)^2\) ?

Une partie A est fermée si et seulement si toute suite de A qui converge :

Dans l'espace de dimension 3, quel encadrement entre distance euclidienne et distance sup est vrai ?

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

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