Maths PDF : quiz de maths de L3 pour réviser en ligne et s'auto-évaluer
Quiz de maths›L3›Complétude et contractions

Quiz complétude et contractions en L3 de maths

Dix questions rapides pour vérifier que tu sais reconnaître un espace complet, contrôler une contraction et estimer l'erreur d'une itération de Picard.

Muni de la distance usuelle, lequel de ces ensembles n'est pas complet ?

Dans un espace complet, une partie est complète si et seulement si elle est :

\( f(x)=\frac{x}{3}+\frac{\cos x}{4} \) est lipschitzienne sur \( \mathbb{R} \) de constante au plus :

Contraction de rapport \( \frac12 \), \( |x_1-x_0|=1 \). L'erreur a priori sur \( x_{10} \) est majorée par :

\( g(x)=x+e^{-x} \) sur \( [0,+\infty[ \) vérifie \( |g(x)-g(y)|<|x-y| \) si \( x\ne y \), sans point fixe. Que manque-t-il ?

\( C([0,1],\mathbb{R}) \) muni de \( \|\cdot\|_1 \) est-il complet ?

Dans un espace métrique quelconque, une suite de Cauchy est toujours :

Dans \( \mathbb{Q} \), la suite des troncatures décimales \( r_n=10^{-n}\lfloor 10^{n}\sqrt{2}\rfloor \) est :

Pour une contraction de rapport \( k \), l'itération de Picard converge à vitesse :

Une fonction uniformément continue de \( \mathbb{Q} \) dans \( \mathbb{R} \) :

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz express travaille les réflexes de topologie métrique autour de la complétude : repérer un espace qui ne l'est pas, savoir qu'une partie d'un complet l'est exactement quand elle est fermée, et retrouver les normes qui rendent un espace de fonctions complet. Il insiste sur le théorème de Banach-Picard : constante de contraction, hypothèse souvent oubliée, vitesse de convergence et majoration d'erreur après quelques itérations.

Fais-le avant une colle ou un TD d'analyse : un sans-faute rapide montre que ces arguments sont acquis. Lis la correction dès qu'une réponse te surprend, notamment sur les contre-exemples. Avant un partiel, rédige ensuite une application complète du point fixe en vérifiant les trois hypothèses une à une, puis calcule combien d'itérations garantissent six décimales exactes.

Aller plus loin sur complétude et contractions

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Questions fréquentes : complétude et contractions en L3

Une application vérifiant d(f(x),f(y)) strictement inférieur à d(x,y) a-t-elle un point fixe ?

Pas forcément sur un espace non compact : il faut une constante k strictement inférieure à 1 valable partout. Sur un compact, en revanche, cette inégalité stricte suffit à garantir un unique point fixe.

Comment montrer qu'un espace métrique n'est pas complet ?

On exhibe une suite de Cauchy de cet espace dont la limite, calculée dans un espace plus grand, n'appartient pas à l'espace étudié. L'unicité de la limite empêche alors toute convergence.

Quelle estimation d'erreur utiliser pour le point fixe ?

Avec une contraction de rapport k, l'écart entre le n-ième itéré et le point fixe est majoré par k puissance n divisé par 1 moins k, multiplié par la distance entre les deux premiers termes.

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