Quiz complétude et normes d’opérateurs en L3

Quiz complétude et normes d’opérateurs en L3 de maths

Dix questions éclair pour tester tes réflexes d’analyse fonctionnelle : complétude, normes d’opérateurs, continuité des applications linéaires et pièges de la dimension infinie.

Dans \(\ell^\infty\), la boule unité fermée est-elle compacte ?

A.Oui, elle est fermée et bornéeB.Oui, car l’espace est completC.Non, car elle n’est pas ferméeD.Non, l’espace est de dimension infinie

Sur les suites à support fini, normées par \(\|\cdot\|_\infty\), \((u_n) \mapsto (n\,u_n)\) est-elle continue ?

A.Non, l’image de \(e_n\) a pour norme \(n\)B.Oui, car elle est linéaireC.Oui, de norme égale à 1D.Non, car elle est non injective

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz express travaille les réflexes de base de l’analyse fonctionnelle en licence : reconnaître un espace de Banach grâce aux séries absolument convergentes, savoir qu’un espace de fonctions continues peut ne pas être complet pour une norme intégrale, calculer une norme d’opérateur sur \(C([0,1])\) ou sur un espace de suites, et repérer une application linéaire qui n’est pas continue.

Plusieurs questions portent sur les contre-exemples typiques de la dimension infinie, avec le théorème de Riesz et l’existence de normes non équivalentes. Réponds vite, puis justifie chaque réponse par une suite ou une fonction test bien choisie : c’est le geste attendu en TD comme à l’examen. Refais le quiz avant un partiel pour vérifier que les critères de continuité et de complétude sont devenus automatiques.

Aller plus loin sur complétude et normes d’opérateurs

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Questions fréquentes : complétude et normes d’opérateurs en L3

Comment calculer la norme d’une forme linéaire sur \(C([0,1])\) ?

Majore d’abord \(|\varphi(f)|\) par une constante fois \(\|f\|_\infty\), puis cherche une fonction de norme 1, ou une suite de telles fonctions, qui atteint ou approche cette constante.

Une application linéaire est-elle toujours continue ?

C’est garanti quand l’espace source est de dimension finie, pas au-delà. Sinon, il suffit d’une suite de vecteurs de norme 1 dont les images ont des normes non bornées pour casser la continuité.

À quoi sert le théorème de Riesz ?

Il caractérise la dimension finie : un espace normé l’est exactement quand sa boule unité fermée est compacte. On s’en sert pour montrer qu’un argument de compacité ne marche plus en dimension infinie.

Quiz complétude et normes d’opérateurs en L3 de maths

Un espace normé est de Banach si et seulement si :

Dans \(\ell^\infty\), la boule unité fermée est-elle compacte ?

Norme de \(f \mapsto \int_0^1 t\, f(t)\, dt\) sur \(C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\) ?

Norme de \(f \mapsto 3f(0) - f(1)\) sur \(C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\) ?

\(C([0,1])\) muni de \(\|f\|_1 = \int_0^1 |f|\) est-il un Banach ?

Pourquoi \(\mathbb{R}[X]\) admet-il deux normes non équivalentes ?

Norme subordonnée du décalage \((u_n) \mapsto (u_{n+1})\) sur \(\ell^1\) ?

Sur les suites à support fini, normées par \(\|\cdot\|_\infty\), \((u_n) \mapsto (n\,u_n)\) est-elle continue ?

Plus petite constante \(C\) telle que \(\|u\|_\infty \leq C\,\|u\|_1\) pour tout \(u \in \ell^1\) ?

\(B\) bilinéaire est continue si et seulement si \(\|B(x,y)\|\) est majorée par :

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

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