Quiz compacts et parties connexes en L3

Quiz compacts et parties connexes en L3 de maths

Dix questions éclair pour reconnaître un compact, choisir entre Borel-Lebesgue et Bolzano-Weierstrass, et prouver vite qu'une partie est connexe ou ne l'est pas.

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz rapide fait travailler les réflexes de topologie de troisième année : repérer un compact dans la droite réelle, énoncer la propriété de Borel-Lebesgue, appliquer Bolzano-Weierstrass, utiliser le théorème de Heine et les bornes atteintes, et se souvenir que la boule unité fermée n'est jamais compacte en dimension infinie. La seconde partie porte sur la connexité : connexes de la droite réelle, connexité par arcs et image continue d'un connexe.

Utilise-le avant un TD ou un partiel, sans notes. Pour chaque erreur, cherche le contre-exemple qui te manquait : un intervalle ouvert, une fonction qui explose au bord, un ensemble en deux morceaux. Ces contre-exemples sont souvent la meilleure façon de retenir les hypothèses. Recommence jusqu'à dix sur dix, puis rédige entièrement une preuve d'extremum atteint par compacité.

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Questions fréquentes : compacts et parties connexes en L3

Compacité et compacité séquentielle, est-ce la même chose ?

Dans un espace métrique, oui : la propriété de Borel-Lebesgue équivaut à la propriété de Bolzano-Weierstrass. Dans un espace topologique général, les deux notions peuvent différer.

Un fermé borné est-il toujours compact ?

Seulement en dimension finie. Dans un espace vectoriel normé de dimension infinie, la boule unité fermée est fermée et bornée mais n'est jamais compacte, d'après le théorème de Riesz.

Comment montrer qu'une partie n'est pas connexe ?

On exhibe une fonction continue sur cette partie à valeurs dans un ensemble à deux points qui prend les deux valeurs. On peut aussi l'écrire comme réunion de deux ouverts relatifs disjoints non vides.

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Laquelle de ces parties de \(\mathbb{R}\) est compacte ?

En dimension infinie, la boule unité fermée d'un espace normé est :

Borel-Lebesgue : de tout recouvrement d'un compact par des ouverts, on extrait :

Une fonction continue sur \(]0,1]\) est-elle forcément bornée ?

Théorème de Heine : une fonction continue sur un compact est :

Toute suite bornée de \(\mathbb{R}^n\) admet :

Les parties connexes de \(\mathbb{R}\) sont exactement :

\(\mathbb{R}^2\) privé d'un point est-il connexe par arcs ?

Une fonction continue de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{Z}\) est forcément :

\(f\) continue sur \(\mathbb{R}\), tendant vers \(+\infty\) en \(\pm\infty\). Alors \(f\) admet :

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