Quiz mesures, tribus et boréliens en L3

Quiz mesures, tribus et boréliens en L3 de maths

Dix questions courtes pour tester tes réflexes de théorie de la mesure : ensembles négligeables, mesures de Dirac et de comptage, continuité monotone et mesurabilité.

Pourquoi la mesure de l'intersection des \([n\,;+\infty[\) n'est-elle pas la limite de leurs mesures ?

A.aucun de ces ensembles n'est de mesure finieB.ces ensembles ne sont pas boréliensC.la suite d'ensembles n'est pas décroissanteD.la mesure de Lebesgue n'est pas σ-additive

Ce que ce quiz de L3 fait réviser

Ce quiz express travaille les réflexes de base du premier chapitre de théorie de la mesure en L3 : reconnaître un ensemble négligeable pour la mesure de Lebesgue, évaluer une mesure de Dirac ou de comptage, décrire une tribu engendrée, utiliser la σ-additivité sur une réunion disjointe et savoir quand la continuité décroissante s'applique. Une question porte sur l'ensemble de Cantor, exemple classique d'ensemble non dénombrable et pourtant négligeable.

Fais-le avant un TD ou un contrôle continu pour vérifier que les définitions sont devenues des automatismes. En cas d'erreur, reviens aux axiomes : stabilité par complémentaire et par réunion dénombrable pour une tribu, σ-additivité pour une mesure. Un score de 8 sur 10 montre que tu es prêt pour l'intégrale de Lebesgue ; sinon, relis la construction par Carathéodory et refais les contre-exemples du cours.

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Questions fréquentes : mesures, tribus et boréliens en L3

Un ensemble non dénombrable peut-il être de mesure nulle ?

Oui. L'ensemble triadique de Cantor est en bijection avec [0, 1] mais sa mesure de Lebesgue est nulle, car à l'étape n il est recouvert par des intervalles de longueur totale (2/3) puissance n.

Pourquoi la continuité décroissante demande-t-elle une hypothèse ?

Elle repose sur une soustraction de mesures, qui n'a de sens que si l'une d'elles est finie. Sans cela, la suite des intervalles [n, +∞[ donne un contre-exemple.

Comment montrer qu'une fonction réelle est mesurable ?

Il suffit que l'image réciproque de chaque intervalle ]a, +∞[ soit dans la tribu, car ces intervalles engendrent la tribu borélienne. Les fonctions continues et les limites simples de fonctions mesurables le sont.

Quiz mesures, tribus et boréliens en L3 de maths

Mesure de Lebesgue de \(\mathbb{Q}\) ?

Mesure de Lebesgue de l'ensemble triadique de Cantor ?

Mesure de Lebesgue des irrationnels de \([0\,;1]\) ?

Nombre d'éléments de la tribu engendrée par une partie \(A\) de \(X\), avec \(A\) ni vide ni égale à \(X\) ?

Que vaut \(\delta_2\big(]2\,;5]\big)\) pour la mesure de Dirac en 2 ?

Mesure de comptage de l'ensemble des entiers naturels \(n\) tels que \(n^2 \leq 50\) ?

Pourquoi la mesure de l'intersection des \([n\,;+\infty[\) n'est-elle pas la limite de leurs mesures ?

Mesure de Lebesgue de la réunion des \(\left[n\,;n + 2^{-n}\right]\) pour \(n \geq 1\) ?

La réunion de deux tribus sur un même ensemble est-elle une tribu ?

L'indicatrice \(\mathbf{1}_A\) est mesurable si et seulement si…

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