Tribus et mesure de Lebesgue en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Tribu engendrée sur un ensemble à cinq éléments

Soit \(\Omega=\{a,b,c,d,e\}\), \(A=\{a,b\}\) et \(B=\{b,c,d\}\). On note \(\mathcal{T}=\sigma(\{A,B\})\).

1. Déterminer la partition de \(\Omega\) en atomes associée à \(A\) et \(B\).
2. En déduire le cardinal de \(\mathcal{T}\).
3. Lister les éléments de \(\mathcal{T}\) qui contiennent à la fois \(a\) et \(e\).
4. Le singleton \(\{c\}\) appartient-il à \(\mathcal{T}\) ?
5. Montrer que \(f=\mathbf{1}_A+2\,\mathbf{1}_B\) est mesurable de \((\Omega,\mathcal{T})\) dans \((\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))\).

Exercice 2 – Ensembles dénombrables et intervalles disjoints

1. D’abord, montrer que \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Q}\) est dénombrable.
2. Ensuite, prouver que l’ensemble des intervalles \(]p,q[\) avec \(p,q\in\mathbb{Q}\) et \(p<q\) est dénombrable.
3. Soit \((I_j)_{j\in J}\) une famille d’intervalles ouverts non vides de \(\mathbb{R}\), deux à deux disjoints. Établir que \(J\) est dénombrable.
4. Enfin, vérifier que l’ensemble des suites d’entiers naturels nulles à partir d’un certain rang est dénombrable.

Exercice 3 – Mesures construites avec des masses de Dirac

Sur \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\), on pose \(\mu=\lambda+2\,\delta_{1/2}+5\,\delta_{3}\), où \(\lambda\) est la mesure de Lebesgue. On note aussi \(\nu(A)=\#(A\cap\mathbb{Z})\).

1. Justifier que \(\mu\) et \(\nu\) sont des mesures.
2. Calculer \(\mu([0,1])\), \(\mu(]1/2,3[)\), \(\mu(]1/2,3])\), \(\mu(\mathbb{Q})\) et \(\mu([3,+\infty[)\).
3. Calculer \(\nu([-5/2,4])\) et \(\nu(\mathbb{Q})\).
4. Les mesures \(\mu\) et \(\nu\) sont-elles finies ?

Exercice 4 – Mesures de Lebesgue par continuité

Calculer, en justifiant le passage à la limite, la mesure de Lebesgue des ensembles suivants.

1. \(\bigcap_{n\geqslant 1}\,]-1/n,\,2+1/n[\).
2. \(\bigcup_{n\geqslant 1}\,[1/n,\,3-1/n]\).
3. \(\bigcup_{n\geqslant 1}\,[n,\,n+3^{-n}]\).

Exercice 5 – Égalités presque partout

Sauf mention contraire, « presque partout » se rapporte à la mesure de Lebesgue.

1. Montrer que \(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}=0\) presque partout.
2. On pose \(g(x)=\lceil x\rceil-1\). Montrer que \(g\) et la partie entière \(x\mapsto\lfloor x\rfloor\) sont égales presque partout, mais pas partout.
3. Les fonctions \(\sin\) et \(|\sin|\) sont-elles égales presque partout ?
4. On munit \(\mathbb{R}\) de \(\mu=\delta_0+\delta_1\). Les fonctions \(x\mapsto x^2\) et \(x\mapsto x\) sont-elles égales \(\mu\)-presque partout ?

Exercice 6 – Mesurabilité de la partie entière

1. Pour \(a\in\mathbb{R}\), déterminer \(\{x\in\mathbb{R} : \lfloor x\rfloor\leqslant a\}\). En déduire que la partie entière est borélienne.
2. Ensuite, montrer que la partie fractionnaire \(h(x)=x-\lfloor x\rfloor\) est borélienne.
3. Calculer \(\lambda\big(\{x\in[0,5] : h(x)<1/3\}\big)\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Tribu image réciproque et parties symétriques

1. Soit \(f:\Omega\to\Omega^{\prime}\) et \(\mathcal{T}^{\prime}\) une tribu sur \(\Omega^{\prime}\). Montrer que \(f^{-1}(\mathcal{T}^{\prime})=\{f^{-1}(B) : B\in\mathcal{T}^{\prime}\}\) est une tribu sur \(\Omega\).
2. Soit \(\mathcal{T}\) une tribu sur \(\Omega\) et \(E\subset\Omega\). En déduire que la trace \(\{E\cap A : A\in\mathcal{T}\}\) est une tribu sur \(E\).
3. Par exemple, on prend \(f(x)=x^2\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). Montrer que \(f^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))\) est exactement l’ensemble des boréliens \(S\) tels que \(S=-S\).

Exercice 8 – Réunions de tribus

1. Sur \(\Omega=\{1,2,3\}\), montrer que \(\sigma(\{\{1\}\})\cup\sigma(\{\{2\}\})\) n’est pas une tribu.
2. Sur \(\mathbb{N}\), on note \(\mathcal{T}_n\) la tribu engendrée par les singletons \(\{0\},\dots,\{n\}\). Montrer que \(\mathcal{T}_n\) est formée des parties \(A\) telles que \(A\cap\{n+1,n+2,\dots\}\) soit vide ou égale à \(\{n+1,n+2,\dots\}\).
3. Ensuite, montrer que \(\mathcal{U}=\bigcup_n\mathcal{T}_n\) est une algèbre mais pas une tribu.
4. Enfin, déterminer \(\sigma(\mathcal{U})\).

Exercice 9 – Parties dénombrables ou de complémentaire dénombrable

On note \(\mathcal{D}\) l’ensemble des parties \(A\subset\mathbb{R}\) telles que \(A\) ou \(\mathbb{R}\setminus A\) soit dénombrable.

1. D’abord, montrer que \(\mathcal{D}\) est une tribu.
2. Ensuite, prouver que \(\mathcal{D}\) est la tribu engendrée par les singletons.
3. De plus, établir que \(\mathcal{D}\) est strictement incluse dans \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\).
4. Enfin, on pose \(m(A)=0\) si \(A\) est dénombrable et \(m(A)=1\) sinon, pour \(A\in\mathcal{D}\). Vérifier que \(m\) est une mesure sur \(\mathcal{D}\).

Exercice 10 – Engendrer les boréliens par des demi-droites

1. Montrer que \(\mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma\big(\{[a,+\infty[ : a\in\mathbb{Q}\}\big)\).
2. En déduire qu’une fonction \(f:(\Omega,\mathcal{A})\to\mathbb{R}\) est mesurable si et seulement si \(\{f\geqslant a\}\in\mathcal{A}\) pour tout \(a\in\mathbb{Q}\).
3. En revanche, montrer que la tribu engendrée par les singletons de \(\mathbb{R}\) n’est pas \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) (on pourra utiliser l’exercice 9).

Exercice 11 – Continuité décroissante prise en défaut

1. Pour \(A_n=[n,+\infty[\), comparer \(\lim_n\lambda(A_n)\) et \(\lambda\big(\bigcap_n A_n\big)\).
2. On note \(\nu(A)=\#(A\cap\mathbb{Q})\) pour \(A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\). Avec \(B_n=]0,1/n[\), comparer \(\lim_n\nu(B_n)\) et \(\nu\big(\bigcap_n B_n\big)\).
3. Soit \(\mu\) une mesure et \((C_n)\) une suite décroissante de parties mesurables. On suppose seulement qu’il existe un rang \(N\) tel que \(\mu(C_N)<+\infty\). Montrer que \(\mu\big(\bigcap_n C_n\big)=\lim_n\mu(C_n)\).

Exercice 12 – Réels sans chiffre 7

Tout \(x\in[0,1[\) admet un unique développement décimal propre \(x=\sum_{k\geqslant 1}d_k10^{-k}\), c’est-à-dire qui ne se termine pas par une infinité de 9. On note \(E\) l’ensemble des \(x\in[0,1[\) dont aucun chiffre \(d_k\) ne vaut 7, et \(E_n\) l’ensemble de ceux dont les \(n\) premiers chiffres diffèrent de 7.

1. Montrer que \(E_n\) est une réunion disjointe de \(9^n\) intervalles de la forme \([j\,10^{-n},(j+1)10^{-n}[\).
2. En déduire que \(E\) est un borélien et calculer \(\lambda(E)\).
3. Cependant, montrer que \(E\) n’est pas dénombrable.

Exercice 13 – Ensemble de convergence d’une suite de fonctions

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions mesurables de \((\Omega,\mathcal{A})\) dans \(\mathbb{R}\).

1. Montrer que \(C=\{x\in\Omega : (f_n(x))\text{ converge dans }\mathbb{R}\}\) s’écrit
   \[C=\bigcap_{p\geqslant 1}\ \bigcup_{N\geqslant 0}\ \bigcap_{m,n\geqslant N}\big\{|f_m-f_n|<1/p\big\}.\]
2. En déduire que \(C\in\mathcal{A}\).
3. Ensuite, prouver que la fonction égale à \(\lim_n f_n\) sur \(C\) et à 0 hors de \(C\) est mesurable.
4. Application : pour \(f_n(x)=x^n\) sur \(\mathbb{R}\), déterminer \(C\) et calculer \(\lambda(C\cap[-2,2])\).

Exercice 14 – Approximation étagée de la racine carrée

Soit \(f(x)=\sqrt{x}\) sur \([0,+\infty[\), et \((\varphi_n)\) la suite de fonctions étagées du cours :
\[\varphi_n=\sum_{k=0}^{n2^n-1}\frac{k}{2^n}\,\mathbf{1}_{\{k2^{-n}\leqslant f<(k+1)2^{-n}\}}+n\,\mathbf{1}_{\{f\geqslant n\}}.\]

1. Expliciter \(\varphi_1\) et calculer \(\lambda(\{\varphi_1=1/2\})\).
2. De même, expliciter \(\varphi_2\) et calculer \(\lambda(\{\varphi_2=3/4\})\).
3. Dans le cas général, montrer que \(0\leqslant f-\varphi_n<2^{-n}\) sur \([0,n^2[\).
4. Finalement, la suite \((\varphi_n)\) converge-t-elle uniformément vers \(f\) sur \([0,+\infty[\) ? Sur \([0,M]\) pour \(M>0\) fixé ?

La figure montre \(f\) et les deux premières approximations sur \([0,5]\).

Exercice 15 – Une mesure extérieure sur trois points

Sur \(\Omega=\{1,2,3\}\), on pose \(m^{*}(\varnothing)=0\), \(m^{*}(A)=1\) si \(A\) a un ou deux éléments, et \(m^{*}(\Omega)=2\).

1. D’abord, montrer que \(m^{*}\) est croissante et sous-additive.
2. Ensuite, déterminer les parties \(m^{*}\)-mesurables au sens de Carathéodory.
3. Enfin, on remplace \(m^{*}\) par \(n^{*}\), avec \(n^{*}(A)=0\) si \(A\subset\{3\}\) et \(n^{*}(A)=1\) sinon. Montrer que \(n^{*}\) est une mesure extérieure et déterminer ses parties mesurables.

Pour approfondir

Exercice 16 – Ensemble de Cantor : topologie et mesure

On reprend les fermés \(K_n\) du cours et \(K=\bigcap_n K_n\). On admet que \(x\in[0,1]\) appartient à \(K\) si et seulement si \(x\) admet un développement en base 3 sans chiffre 1.

1. D’abord, montrer que \(K\) est un compact non vide.
2. Ensuite, calculer \(\lambda(K)\) par continuité décroissante.
3. En déduire que \(K\) est d’intérieur vide.
4. Par ailleurs, prouver que \(K\) n’est pas dénombrable.
5. Enfin, vérifier que \(1/4\in K\), alors que \(1/4\) n’est extrémité d’aucun segment de l’un des \(K_n\).

Exercice 17 – Un ensemble de Cantor de mesure un demi

On part de \(F_0=[0,1]\). Pour \(n\geqslant 1\), on obtient \(F_n\) en retirant, au milieu de chacun des \(2^{n-1}\) segments de \(F_{n-1}\), un intervalle ouvert de longueur \(4^{-n}\). On pose \(F=\bigcap_n F_n\).

1. Montrer que \(\lambda(F_n)=\frac{1}{2}+2^{-n-1}\), puis que chaque segment de \(F_n\) a une longueur \(\ell_n\geqslant 2^{-n-1}\). En déduire que la construction est possible.
2. Ensuite, justifier que \(F\) est fermé et calculer \(\lambda(F)\).
3. De plus, établir que \(F\) est d’intérieur vide.
4. Enfin, montrer qu’aucune fonction continue sur \([0,1]\) n’est égale presque partout à \(\mathbf{1}_F\) sur \([0,1]\).

Exercice 18 – Lemme de Borel-Cantelli et approximation rationnelle

1. Soit \((A_n)\) une suite de boréliens telle que \(\sum_n\lambda(A_n)<+\infty\). On pose \(L=\bigcap_{n\geqslant 0}\bigcup_{k\geqslant n}A_k\), ensemble des points qui appartiennent à une infinité de \(A_k\). Montrer que \(\lambda(L)=0\).
2. Pour \(q\geqslant 1\), on note \(A_q\) l’ensemble des \(x\in[0,1]\) pour lesquels il existe \(p\in\mathbb{Z}\) tel que \(|x-p/q|<q^{-3}\). Montrer que \(\lambda(A_q)\leqslant 4/q^2\).
3. En déduire que l’ensemble \(L\) des \(x\in[0,1]\) qui appartiennent à une infinité de \(A_q\) est négligeable.
4. Enfin, montrer que \(L\) contient \(\mathbb{Q}\cap[0,1]\). Par conséquent, l’ensemble \(L\) est-il dense dans \([0,1]\) ?

Exercice 19 – Problème – Fonction de répartition et atomes d’une mesure finie

Soit \(\mu\) une mesure finie sur \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\). On pose \(F(x)=\mu(]-\infty,x])\) pour \(x\in\mathbb{R}\).

1. Montrer que \(F\) est croissante, puis que \(F\) tend vers 0 en \(-\infty\) et vers \(\mu(\mathbb{R})\) en \(+\infty\).
2. Ensuite, prouver que \(F\) est continue à droite en tout point.
3. De même, établir que \(F\) admet en tout \(x\) une limite à gauche \(F(x^-)=\mu(]-\infty,x[)\), puis que \(\mu(\{x\})=F(x)-F(x^-)\).
4. Par ailleurs, pour \(k\geqslant 1\), montrer que l’ensemble des \(x\) tels que \(\mu(\{x\})>1/k\) a au plus \(k\,\mu(\mathbb{R})\) éléments. En déduire que l’ensemble des atomes de \(\mu\), c’est-à-dire des \(x\) tels que \(\mu(\{x\})>0\), est dénombrable.
5. Application : on pose \(\mu(A)=\lambda(A\cap[0,2])+\delta_1(A)+3\,\delta_{5/2}(A)\). Calculer \(F\), déterminer ses atomes et vérifier la formule \(\mu(]a,b])=F(b)-F(a)\) pour \(a=1/2\) et \(b=5/2\).

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