Espaces complets et point fixe en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Bornitude et valeur d’adhérence d’une suite de Cauchy

Soit \((E,d)\) un espace métrique et \((u_n)\) une suite de Cauchy de \(E\).

1. Montrer que \((u_n)\) est bornée, c’est-à-dire contenue dans une boule.
2. On suppose qu’une suite extraite \((u_{\sigma(n)})\) converge vers \(\ell \in E\). Montrer que \((u_n)\) converge vers \(\ell\).
3. En déduire qu’une suite de Cauchy possède au plus une valeur d’adhérence.

Exercice 2 – Deux sommes partielles face au critère de Cauchy

Pour \(n \geq 1\), on pose \(u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k\,2^k}\) et \(v_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\).

1. Montrer que, pour \(q > p \geq 1\), \(|u_q – u_p| \leq \frac{1}{(p+1)\,2^p}\). En déduire que \((u_n)\) converge.
2. Minorer \(v_{2n} – v_n\) et montrer que \((v_n)\) n’est pas de Cauchy.
3. Vérifier pourtant que \(v_{n+1} – v_n\) tend vers \(0\). Quelle leçon en tirer ?

Exercice 3 – Une distance exponentielle sur R

Pour \(x, y \in \mathbb{R}\), on pose \(d(x,y) = |e^x – e^y|\).

1. Montrer que \(d\) est une distance sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrer que la suite \(x_n = -n\) est de Cauchy pour \(d\), mais qu’elle ne converge pas dans \((\mathbb{R}, d)\).
3. Montrer que \([0, +\infty[\), muni de la restriction de \(d\), est complet.

Exercice 4 – Une suite de Cauchy dans l’espace à trois dimensions

Pour \(n \geq 0\), on pose \[U_n = \left(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{3^k},\ \frac{n}{n+2},\ \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{2k+1}\right) \in \mathbb{R}^3.\]

1. Montrer qu’une suite de \(\mathbb{R}^3\) est de Cauchy pour \(\|\cdot\|_\infty\) si et seulement si ses trois suites de coordonnées sont de Cauchy dans \(\mathbb{R}\).
2. Montrer que la troisième coordonnée vérifie \(|w_q – w_p| \leq \frac{1}{2p+3}\) pour \(q > p\), où \(w_n\) désigne cette coordonnée.
3. En déduire que \((U_n)\) converge dans \(\mathbb{R}^3\) et donner les deux premières coordonnées de sa limite.
4. Justifier que \((U_n)\) est aussi de Cauchy pour la norme \(\|x\|_1 = |x_1| + |x_2| + |x_3|\).

Exercice 5 – Une contraction affine du plan

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme \(\|\cdot\|_\infty\) et on définit \[F(x,y) = \left(\frac{x-y}{4} + 1,\ \frac{x+y}{4} – 2\right).\]

1. Montrer que \(F\) est \(\frac{1}{2}\)-contractante.
2. En déduire que \(F\) admet un unique point fixe, puis le calculer.
3. On part de \(X_0 = (0,0)\) et on pose \(X_{n+1} = F(X_n)\). Calculer \(X_1\) et majorer \(\|X_n – A\|_\infty\), où \(A\) est le point fixe.
4. Déterminer un rang \(n\) à partir duquel \(\|X_n – A\|_\infty \leq 10^{-3}\) est garanti.

Exercice 6 – Une racine d’un polynôme cubique par itération

On considère l’équation \(x^3 – 4x + 1 = 0\) et la fonction \(g(x) = \frac{x^3 + 1}{4}\).

1. Montrer que \(g\) envoie \(I = [0, \frac{1}{2}]\) dans lui-même et qu’elle y est \(\frac{3}{16}\)-contractante.
2. En déduire que l’équation possède une unique solution \(a\) dans \(I\).
3. On part de \(x_0 = 0\). Calculer \(x_1\) et \(x_2\) sous forme de fractions.
4. Déterminer un nombre d’itérations qui garantit \(|x_n – a| \leq 10^{-6}\).

Exercice 7 – Sous-ensembles complets ou non de l’espace des fonctions continues

On munit \(C([0,1])\) de la norme \(\|\cdot\|_\infty\). On considère \[F = \{f \in C([0,1]) : f(0) = 0 \text{ et } \|f\|_\infty \leq 1\},\qquad U = \{f \in C([0,1]) : \forall t \in [0,1],\ f(t) > 0\}.\]

1. Montrer que \(F\) est fermée dans \(C([0,1])\). En déduire que \(F\) est complète.
2. Montrer que \(U\) n’est pas complète en exhibant une suite de Cauchy de \(U\) sans limite dans \(U\).
3. L’ensemble \(G = \{f \in C([0,1]) : \int_0^1 f(t)\,dt = 1\}\) est-il complet ?

Pour s’entraîner

Exercice 8 – Polynômes et norme uniforme

On munit \(\mathbb{R}[X]\) de \(\|P\| = \sup_{x \in [0,1]} |P(x)|\). Pour \(n \geq 0\), on pose \(P_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}\).

1. Justifier que \(\|\cdot\|\) est une norme sur \(\mathbb{R}[X]\).
2. À l’aide de l’inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que \(\sup_{x \in [0,1]} |e^x – P_n(x)| \leq \frac{e}{(n+1)!}\). En déduire que \((P_n)\) est de Cauchy.
3. Montrer que \((P_n)\) ne converge vers aucun polynôme. Conclure.

Exercice 9 – Fonctions dérivables et norme uniforme

Pour \(n \geq 1\) et \(t \in [-1,1]\), on pose \(f_n(t) = \sqrt{t^2 + \frac{1}{n^2}}\). La figure montre quelques-unes de ces fonctions et leur limite.

1. Montrer que \(0 \leq f_n(t) – |t| \leq \frac{1}{n}\) pour tout \(t \in [-1,1]\).
2. En déduire que \(C^1([-1,1])\), muni de \(\|\cdot\|_\infty\), n’est pas complet.
3. On munit maintenant \(C^1([-1,1])\) de \(N(f) = \|f\|_\infty + \|f^{\prime}\|_\infty\). Montrer que \((f_n)\) n’est pas de Cauchy pour \(N\), en comparant \(f_n^{\prime}\) et \(f_{2n}^{\prime}\) au point \(\frac{1}{n}\).
4. Montrer que \((C^1([-1,1]), N)\) est complet.

Exercice 10 – Une norme intégrale qui ne rend pas complet

On munit \(C([0,1])\) de \(N_1(f) = \int_0^1 |f(t)|\,dt\). Pour \(n \geq 1\), on pose \(f_n(t) = \min\!\left(n, \frac{1}{\sqrt{t}}\right)\) si \(t > 0\), et \(f_n(0) = n\).

1. Vérifier que \(f_n\) est continue sur \([0,1]\).
2. Pour \(m > n\), montrer que \(N_1(f_m – f_n) \leq \frac{2}{n}\). Conclure que \((f_n)\) est de Cauchy.
3. Soit \(g \in C([0,1])\) et \(M = \|g\|_\infty\). Montrer que, pour \(n \geq M+1\), \(N_1(f_n – g) \geq \frac{1}{(M+1)^2}\).
4. En déduire que \((C([0,1]), N_1)\) n’est pas complet.

Exercice 11 – Une équation intégrale de Fredholm

Sur \(E = C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), on définit \(T\) par \[T(f)(x) = x^2 + \frac{1}{3}\int_0^1 x\,y\,f(y)\,dy.\]

1. Montrer que \(T\) envoie \(E\) dans \(E\) et qu’elle est \(\frac{1}{6}\)-contractante.
2. En déduire que l’équation \(f = T(f)\) admet une unique solution continue.
3. Chercher cette solution sous la forme \(f(x) = x^2 + c\,x\) et déterminer \(c\).
4. Calculer \(f_1 = T(0)\) et \(f_2 = T(f_1)\). Comparer l’erreur réelle \(\|f_2 – f\|_\infty\) à la majoration a priori.

Exercice 12 – Estimation a posteriori pour une équation logarithmique

On étudie l’équation \(x = 2 + \ln x\) sur \(I = [3,4]\). On pose \(g(x) = 2 + \ln x\).

1. Montrer que \(g(I) \subset I\) et que \(g\) est \(\frac{1}{3}\)-contractante sur \(I\).
2. En déduire que l’équation a une unique solution \(a\) dans \(I\).
3. On part de \(x_0 = 3\). Calculer \(x_1, \dots, x_5\) à \(10^{-7}\) près, ainsi que les majorants a posteriori correspondants.
4. Quel est le premier rang pour lequel la borne a posteriori garantit \(|x_n – a| \leq 10^{-3}\) ? Comparer avec le rang fourni par la borne a priori.

Exercice 13 – Images de suites de Cauchy

Soient \((E,d)\) et \((F,\delta)\) deux espaces métriques et \(f : E \to F\).

1. Montrer que si \(f\) est uniformément continue, l’image par \(f\) de toute suite de Cauchy est de Cauchy.
2. Sur \(]0,1]\), on pose \(f(x) = \sin\frac{1}{x}\) et \(x_n = \frac{2}{(2n+1)\pi}\). Montrer que \((x_n)\) est de Cauchy mais que \((f(x_n))\) ne l’est pas. Que peut-on en conclure sur \(f\) ?
3. Montrer que, pour \(x, y \geq 0\), \(|\sqrt{x} – \sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|}\). En déduire que la racine carrée transforme toute suite de Cauchy de \(]0,1]\) en suite de Cauchy.

Exercice 14 – Point fixe dépendant d’un paramètre

Pour \(\lambda \in \mathbb{R}\), on pose \(g_\lambda(x) = \lambda + \frac{1}{3}\arctan x\) pour \(x \in \mathbb{R}\).

1. Montrer que \(g_\lambda\) admet un unique point fixe, noté \(a(\lambda)\). Donner \(a(0)\).
2. Montrer que, pour tous \(\lambda, \mu\), \(|a(\lambda) – a(\mu)| \leq \frac{3}{2}|\lambda – \mu|\). Que peut-on dire de la fonction \(a\) ?
3. Montrer que \(|a(\lambda) – \lambda| < \frac{\pi}{6}\) pour tout \(\lambda\), puis que \(a(\lambda)\) a le signe de \(\lambda\).

Exercice 15 – Contractions au sens large

On dit que \(g : E \to E\) est strictement contractante au sens large si \(d(g(x), g(y)) < d(x,y)\) pour tous \(x \neq y\).

1. On pose \(g(x) = x + e^{-x}\) sur \(E = [0, +\infty[\). Montrer que \(g(E) \subset E\), que \(g\) vérifie la propriété précédente, mais qu’elle n’a aucun point fixe.
2. Montrer que \(g\) n’est \(k\)-contractante pour aucun \(k < 1\).
3. On suppose maintenant \(E\) compact. Montrer, en minimisant \(x \mapsto d(x, g(x))\), que \(g\) admet un unique point fixe.

Pour approfondir

Exercice 16 – Espace des fonctions lipschitziennes

Soit \(E\) l’ensemble des fonctions lipschitziennes de \([0,1]\) dans \(\mathbb{R}\). Pour \(f \in E\), on note \(L(f) = \sup_{x \neq y} \frac{|f(x) – f(y)|}{|x – y|}\) et on pose \(N(f) = |f(0)| + L(f)\).

1. Montrer que \(E\) est un espace vectoriel et que \(N\) est une norme sur \(E\).
2. Montrer que \(\|f\|_\infty \leq N(f)\) pour tout \(f \in E\).
3. Montrer que \((E, N)\) est complet.
4. Avec \(h_n(t) = \sqrt{t + \frac{1}{n}}\), montrer que \((E, \|\cdot\|_\infty)\) n’est pas complet.

Exercice 17 – Itération de Picard pour une équation de Volterra

Sur \(E = C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), on définit \[T(f)(x) = 1 + 2\int_0^x t\,f(t)\,dt.\]

1. Montrer que \(\|T(f) – T(g)\|_\infty \leq \|f – g\|_\infty\), et que la constante \(1\) ne peut pas être améliorée.
2. Montrer par récurrence que \(|T^n(f)(x) – T^n(g)(x)| \leq \frac{x^{2n}}{n!}\|f – g\|_\infty\) pour tout \(x \in [0,1]\).
3. Soit \((X,d)\) un espace complet et \(S : X \to X\) telle que \(S^p\) soit contractante pour un entier \(p \geq 1\). Montrer que \(S\) admet un unique point fixe.
4. En déduire que l’équation \(f = T(f)\) admet une unique solution continue. Calculer les itérés \(f_n = T^n(1)\) pour \(n \leq 2\), puis identifier la solution.

Exercice 18 – La méthode de Newton vue comme un point fixe

Pour approcher \(\sqrt{3}\), on pose \(g(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{3}{x}\right)\) sur \(I = [\frac{3}{2}, 2]\).

1. Montrer que \(g(I) \subset I\) et que \(g\) est \(\frac{1}{6}\)-contractante sur \(I\). Quel est son point fixe ?
2. Pour \(x \in I\), établir l’égalité \(g(x) – \sqrt{3} = \frac{(x – \sqrt{3})^2}{2x}\).
3. On part de \(x_0 = 2\) et on note \(e_n = x_n – \sqrt{3}\). Montrer que \(0 \leq e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{3}\).
4. Calculer \(x_1, x_2, x_3\) sous forme de fractions. Majorer \(e_3\) de deux façons : par la récurrence précédente et par l’estimation a priori de Banach-Picard. Commenter.

Exercice 19 – Prolonger les puissances rationnelles de 2

On admet que, pour \(q = \frac{p}{s}\) rationnel (\(p \in \mathbb{Z}\), \(s \geq 1\)), le réel \(2^q = \left(2^{1/s}\right)^p\) est bien défini, que \(2^{q+r} = 2^q\,2^r\) et que \(q \mapsto 2^q\) est croissante sur \(\mathbb{Q}\).

1. Soit \(h = \frac{p}{s} \in \mathbb{Q} \cap [0,1]\). À l’aide de l’inégalité arithmético-géométrique appliquée à \(p\) nombres égaux à \(2\) et \(s – p\) nombres égaux à \(1\), montrer que \(2^h \leq 1 + h\).
2. Soit \(N \geq 1\) un entier. Montrer que \(|2^r – 2^q| \leq 2^N |r – q|\) pour tous \(q, r \in \mathbb{Q} \cap [-N, N]\).
3. En déduire qu’il existe une unique fonction continue \(F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telle que \(F(q) = 2^q\) pour tout rationnel \(q\).
4. Montrer que \(F(x + y) = F(x)\,F(y)\) pour tous réels \(x, y\), puis que \(F\) est strictement croissante.

Exercice 20 – Problème : une équation fonctionnelle résolue par point fixe

On note \(E = C([0,1])\), muni de \(\|\cdot\|_\infty\), et \(h(x) = x(1-x)\). Pour \(f \in E\), on définit \[T(f)(x) = h(x) + \frac{1}{2} f(x^2).\] On cherche les fonctions continues \(\varphi\) telles que \(\varphi = T(\varphi)\).

1. Montrer que \(T\) envoie \(E\) dans \(E\) et qu’elle est \(\frac{1}{2}\)-contractante.
2. En déduire l’existence et l’unicité de \(\varphi\).
3. Soit \(F_0 = \{f \in E : f(0) = f(1) = 0\}\). Montrer que \(F_0\) est fermé et stable par \(T\). En déduire \(\varphi(0) = \varphi(1) = 0\).
4. On pose \(f_0 = 0\) et \(f_{n+1} = T(f_n)\). Montrer que \(f_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} 2^{-k}\, h\!\left(x^{2^k}\right)\) pour \(n \geq 1\). En déduire une expression de \(\varphi\) comme somme de série.
5. Montrer que \(\|\varphi – f_n\|_\infty \leq 2^{-n-1}\) et comparer avec la majoration a priori. Combien d’itérations garantissent une erreur inférieure à \(10^{-3}\) ?
6. Montrer que \(0 \leq \varphi \leq \frac{1}{2}\) sur \([0,1]\), puis donner une valeur approchée de \(\varphi(\frac{1}{2})\) à \(10^{-3}\) près.

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