Anneaux principaux et factoriels en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Évaluation en i√2 et quotient de R[X]

On considère l’application \(\varphi : \mathbb{R}[X] \to \mathbb{C}\) définie par \(\varphi(P) = P(i\sqrt{2})\).

1. Justifier que \(\varphi\) est un morphisme d’anneaux.
2. Montrer que \(\varphi\) est surjective.
3. Montrer que \(\ker \varphi = (X^2 + 2)\).
4. En déduire que \(\mathbb{R}[X]/(X^2 + 2)\) est isomorphe à \(\mathbb{C}\), puis que \((X^2 + 2)\) est un idéal maximal de \(\mathbb{R}[X]\).

Exercice 2 – Idéaux premiers de Z/20Z

1. Déterminer tous les idéaux de \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\) et donner pour chacun un générateur.
2. Pour chacun, identifier l’anneau quotient de \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\) par cet idéal.
3. En déduire les idéaux premiers et les idéaux maximaux de \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\).

Exercice 3 – Normes et unités des entiers de Gauss

Pour \(z = a + bi \in \mathbb{Z}[i]\), on pose \(N(z) = a^2 + b^2\).

1. Montrer que \(N(zw) = N(z)N(w)\) pour tous \(z, w \in \mathbb{Z}[i]\).
2. Déterminer le groupe des inversibles de \(\mathbb{Z}[i]\).
3. Montrer que \(1 + i\) est irréductible et que \(1 – i\) lui est associé.
4. Montrer que \(7\) est irréductible dans \(\mathbb{Z}[i]\), mais que \(17\) ne l’est pas.

Exercice 4 – Un polynôme de degré 3 sans racine rationnelle

Soit \(P = X^3 – 2X^2 + 4 \in \mathbb{Z}[X]\).

1. Montrer qu’une racine rationnelle de \(P\) est un entier qui divise \(4\).
2. En déduire que \(P\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\), puis dans \(\mathbb{Z}[X]\).
3. Montrer en revanche que la réduction de \(P\) modulo \(3\) est réductible dans \(\mathbb{F}_3[X]\). Pourquoi cela ne contredit-il rien ?

Exercice 5 – Trois applications directes d’Eisenstein

Montrer que les polynômes suivants sont irréductibles dans \(\mathbb{Z}[X]\), en précisant à chaque fois le nombre premier utilisé.

1. \(P_1 = 2X^5 – 21X^3 + 14X – 35\).
2. \(P_2 = 3X^4 + 10X^2 – 15X + 5\).
3. \(P_3 = X^6 + 22X – 44\).
4. Le polynôme \(P_4 = X^4 + 6X^2 + 12\) vérifie-t-il le critère ? Est-il irréductible dans \(\mathbb{Z}[X]\) ?

Exercice 6 – Un idéal premier non maximal de Z[X]

1. Montrer que l’application \(P \mapsto P(0)\) induit un isomorphisme \(\mathbb{Z}[X]/(X) \simeq \mathbb{Z}\).
2. En déduire que \((X)\) est un idéal premier de \(\mathbb{Z}[X]\), mais pas maximal.
3. Donner explicitement un idéal maximal de \(\mathbb{Z}[X]\) contenant \((X)\).
4. Montrer qu’au contraire l’idéal \((X)\) de \(\mathbb{Q}[X]\) est maximal.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Corps des fractions de Z[i]

On note \(\mathbb{Q}(i) = \{x + iy,\ x, y \in \mathbb{Q}\}\).

1. Montrer que \(\mathbb{Q}(i)\) est un sous-corps de \(\mathbb{C}\) contenant \(\mathbb{Z}[i]\).
2. Montrer que tout élément de \(\mathbb{Q}(i)\) s’écrit \(z/d\) avec \(z \in \mathbb{Z}[i]\) et \(d \in \mathbb{N}^{*}\).
3. En déduire que \(\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}[i])\) est isomorphe à \(\mathbb{Q}(i)\).
4. Écrire l’inverse de \(3 – 5i\) sous la forme \(z/d\).

Exercice 8 – Algorithme d’Euclide dans Z[i]

On pose \(a = 23 + 6i\) et \(b = 4 – 3i\).

1. Effectuer la division euclidienne de \(a\) par \(b\) dans \(\mathbb{Z}[i]\), en vérifiant que la norme du reste est strictement inférieure à \(N(b)\).
2. Poursuivre l’algorithme d’Euclide et en déduire un pgcd de \(a\) et \(b\).
3. Trouver \(u, v \in \mathbb{Z}[i]\) tels que \(au + bv = 1\).
4. Retrouver le résultat de la question 2 en factorisant \(b\).

Exercice 9 – Factorisations dans Z[i]

1. Décomposer \(11 + 7i\) en produit d’irréductibles de \(\mathbb{Z}[i]\).
2. Décomposer l’entier \(360\) en produit d’irréductibles de \(\mathbb{Z}[i]\), en précisant l’inversible.
3. Combien \(360\) possède-t-il de diviseurs dans \(\mathbb{Z}[i]\), à association près ?

Exercice 10 – Deux quotients de Z[i]

La figure représente le réseau \(\mathbb{Z}[i]\) et, en couleur, les multiples de \(2 + i\).

1. Montrer que \(\mathbb{Z}[i] \simeq \mathbb{Z}[X]/(X^2 + 1)\).
2. En déduire que \(\mathbb{Z}[i]/(3) \simeq \mathbb{F}_3[X]/(X^2 + 1)\), puis que \((3)\) est maximal dans \(\mathbb{Z}[i]\). Combien ce quotient a-t-il d’éléments ?
3. Montrer que l’application \(a + bi \mapsto \overline{a – 2b}\) est un morphisme surjectif de \(\mathbb{Z}[i]\) sur \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\), de noyau \((2 + i)\).
4. Conclure que \((2 + i)\) est maximal et que la figure contient une classe sur cinq.

Exercice 11 – Trois factorisations de 21 dans Z[i√5]

On note \(A = \mathbb{Z}[i\sqrt{5}] = \{a + bi\sqrt{5},\ a, b \in \mathbb{Z}\}\) et \(N(a + bi\sqrt{5}) = a^2 + 5b^2\).

1. Montrer que \(N\) est multiplicative et que \(A^{\times} = \{1, -1\}\).
2. Montrer qu’aucun élément de \(A\) n’a pour norme \(3\) ou \(7\).
3. Vérifier que \(21 = 3 \times 7 = (1 + 2i\sqrt{5})(1 – 2i\sqrt{5}) = (4 + i\sqrt{5})(4 – i\sqrt{5})\).
4. Montrer que les six facteurs écrits sont irréductibles et deux à deux non associés. Conclure.

Exercice 12 – Racines rationnelles et facteurs unitaires

1. Soit \(P \in \mathbb{Z}[X]\) unitaire et \(r = u/v\) une racine rationnelle écrite sous forme irréductible, avec \(v \geq 1\). Montrer que \(v = 1\).
2. En déduire que \(\sqrt[3]{12}\) est irrationnel.
3. Soit \(P \in \mathbb{Z}[X]\) unitaire tel que \(P = FG\) avec \(F, G \in \mathbb{Q}[X]\) unitaires. Montrer à l’aide du lemme de Gauss que \(F\) et \(G\) sont à coefficients entiers.
4. Montrer que \(X^4 + 3X + 1\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).

Exercice 13 – Eisenstein après un changement de variable

On pose \(F = X^4 + 4X^3 + 6X^2 + 4X + 3\) et \(G = X^5 + 5X^4 + 10X^3 + 10X^2 + 5X + 7\).

1. Montrer que le critère d’Eisenstein ne s’applique directement à \(F\) pour aucun nombre premier.
2. Calculer \(F(X – 1)\) et en déduire que \(F\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).
3. Même question pour \(G\), en justifiant que la translation préserve l’irréductibilité.

Exercice 14 – Idéaux contenant un polynôme de degré 4

On pose \(P = X^4 – 4\).

1. Décomposer \(P\) en produit d’irréductibles dans \(\mathbb{Q}[X]\), puis dans \(\mathbb{R}[X]\).
2. Déterminer tous les idéaux de \(\mathbb{Q}[X]\) qui contiennent \(P\). Lesquels sont maximaux ?
3. Même question dans \(\mathbb{R}[X]\).
4. Combien l’anneau \(\mathbb{Q}[X]/(P)\) a-t-il d’idéaux ? Est-il intègre ?

Exercice 15 – Écrire 65 comme somme de deux carrés

La figure montre le cercle de centre \(0\) et de rayon \(\sqrt{65}\) tracé sur le réseau \(\mathbb{Z}[i]\).

1. Factoriser \(65\) dans \(\mathbb{Z}[i]\).
2. Montrer que \(a^2 + b^2 = 65\) équivaut à \((a + bi)(a – bi) = 65\), et en déduire que \(a + bi\) est associé à un produit de la forme \(\pi_1\pi_2\), où \(\pi_1\) divise \(5\) et \(\pi_2\) divise \(13\).
3. Déterminer tous les couples \((a, b) \in \mathbb{Z}^2\) tels que \(a^2 + b^2 = 65\). Combien y en a-t-il ?

Exercice 16 – L’idéal (2, X) de Z[X]

1. Construire un morphisme surjectif de \(\mathbb{Z}[X]\) sur \(\mathbb{F}_2\) de noyau \((2, X)\). En déduire que \((2, X)\) est maximal.
2. Montrer que \((2, X)\) n’est pas principal.
3. Montrer que le pgcd de \(2\) et \(X\) dans \(\mathbb{Z}[X]\) vaut \(1\), mais qu’il n’existe pas de relation de Bézout entre eux.
4. Quelle conclusion en tirer sur la place de \(\mathbb{Z}[X]\) dans la hiérarchie des anneaux ?

Exercice 17 – Morphismes de Z[i] vers Z/13Z

1. Montrer qu’un morphisme d’anneaux \(f : \mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}\) est entièrement déterminé par \(f(i)\), qui vérifie \(f(i)^2 = -\bar{1}\).
2. Résoudre \(x^2 = -1\) dans \(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}\) et en déduire qu’il existe exactement deux tels morphismes.
3. Montrer que leurs noyaux sont des idéaux maximaux.
4. Identifier ces noyaux à \((3 + 2i)\) et à \((3 – 2i)\), en précisant lequel correspond à chaque morphisme.

Pour approfondir

Exercice 18 – Démontrer le lemme de Gauss

Pour \(P \in \mathbb{Z}[X]\) non nul, on note \(c(P)\) le pgcd positif de ses coefficients.

1. Montrer que tout \(P \in \mathbb{Z}[X]\) non nul s’écrit \(P = c(P)P_0\) avec \(P_0\) primitif.
2. Soit \(p\) premier. Montrer que la réduction modulo \(p\) est un morphisme de \(\mathbb{Z}[X]\) vers \(\mathbb{F}_p[X]\) et que ce dernier anneau est intègre.
3. En déduire qu’un produit de deux polynômes primitifs est primitif, puis que \(c(PQ) = c(P)c(Q)\).
4. Montrer qu’un polynôme primitif de \(\mathbb{Z}[X]\), irréductible dans \(\mathbb{Z}[X]\) et de degré au moins \(1\), est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).
5. Application : décomposer \(6X^3 – 6\) en produit d’irréductibles de \(\mathbb{Z}[X]\).

Exercice 19 – Le polynôme X⁴ + 1 modulo p

1. Montrer que \(X^4 + 1\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\) en étudiant \((X + 1)^4 + 1\).
2. Montrer que \(X^4 + 1\) est réductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\).
3. Soit \(p\) premier impair. On admet que le groupe \(\mathbb{F}_p^{\times}\) est cyclique. Montrer que les carrés non nuls forment un sous-groupe d’indice \(2\), puis que l’un des trois éléments \(-1\), \(2\), \(-2\) est un carré dans \(\mathbb{F}_p\).
4. Dans chacun des trois cas, factoriser \(X^4 + 1\) en produit de deux polynômes de degré \(2\) de \(\mathbb{F}_p[X]\).
5. Expliquer pourquoi ce résultat montre que la réduction modulo un premier ne peut pas toujours prouver une irréductibilité.

Exercice 20 – Premiers qui sont somme de deux carrés

Soit \(p\) un nombre premier impair.

1. Montrer que si \(p \equiv 3 \pmod 4\), alors \(p\) est irréductible dans \(\mathbb{Z}[i]\).
2. On suppose qu’il existe \(x \in \mathbb{Z}\) tel que \(p\) divise \(x^2 + 1\). Montrer que \(p\) ne divise ni \(x + i\) ni \(x – i\) dans \(\mathbb{Z}[i]\), et en déduire que \(p\) n’est pas irréductible.
3. En déduire que \(p\) est alors somme de deux carrés d’entiers.
4. Application à \(p = 41\) : vérifier que \(41\) divise \(9^2 + 1\), puis calculer un pgcd de \(41\) et \(9 + i\) par l’algorithme d’Euclide, en prenant \(4\) comme premier quotient. En déduire une écriture de \(41\) comme somme de deux carrés.

Exercice 21 – Problème – Un idéal maximal non principal de Z[i√5]

On reprend \(A = \mathbb{Z}[i\sqrt{5}]\), avec la norme \(N(a + bi\sqrt{5}) = a^2 + 5b^2\), et l’on admet que \(A^{\times} = \{1, -1\}\). On pose \(\alpha = 1 + i\sqrt{5}\), \(\beta = 1 – i\sqrt{5}\), \(P = (3, \alpha)\) et \(Q = (3, \beta)\).

1. Montrer que \(3\), \(\alpha\) et \(\beta\) sont irréductibles dans \(A\).
2. Montrer que \(3\) divise \(\alpha\beta\) mais ne divise ni \(\alpha\) ni \(\beta\). Que peut-on en déduire sur l’anneau \(A\) ?
3. Montrer qu’il existe un unique morphisme d’anneaux \(\psi : A \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) tel que \(\psi(i\sqrt{5}) = -\bar{1}\), et le décrire.
4. Montrer que \(\ker \psi = P\). En déduire que \(P\) est maximal.
5. Montrer que \(P\) n’est pas principal. On pourra raisonner sur la norme d’un éventuel générateur.
6. Montrer que \(PQ = (3)\), où \(PQ\) désigne l’idéal engendré par les produits \(xy\) avec \(x \in P\) et \(y \in Q\).

Pour aller plus loin

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